Szerkesztő:Gubbubu

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Lásd itt


Bábel szerkesztői információk
hu Ennek a szerkesztőnek magyar az anyanyelve.
en-3 This user has advanced knowledge of English.
la-1 Hic usor simplici latinitate contribuere potest.
Felhasználók keresése nyelv szerint
html-2 Ez a felhasználó közepes szintű HTML tudással rendelkezik.


Aktuális[szerkesztés]

Régi[szerkesztés]

Szépen halad:

előkészületben:

A használata pedig: {{fejléc|tartalom=[[Lineáris algebra|Tartalomjegyzék]]|előző=[[Lineáris algebra - 1.|(Bevezetés)]]|következő=[[Lineáris algebra - 3.|(Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai)]]}}

Mi legyen a kimithisz cikksorozat címe?

Még gondolkodok ... Gubbubu 2005. július 11., 08:08 (UTC)

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Ϯ ϯ

Különösen érdekes:

  • Webliográfia, wikipedia, webxicon, wikibooks, invisible-web stb. részletes bemutatása, elemzése (Az internetes publikációk típusai, angol, német, orosz és magyar virtuális lexikonok, enciklopédiák, digitális dokumentumok. Keresőgépekkel közvetlenül nem elérhető, rejtett adatbázisok a weben, a történelem és segédtudományai köréből.)

Ez a Wikikönyvek egyik felhasználói lapja.
Ha ezt a lapot nem a Wikikönyvekben olvasod, akkor egy tükrözést látsz. Légy tudatában annak, hogy a lap elavult lehet, és hogy ezen felhasználónak valószínűleg nincs kapcsolata a Wikikönyveken kívül semmilyen más, ezt a lapot tartalmazó weboldallal. Az eredeti felhasználói lapot a http://hu.wikibooks.org/wiki/Szerkesztő:Gubbubu címen találod meg.
Wikimedia Alapítvány

Bizonyítások[szerkesztés]

Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás[szerkesztés]

Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szemközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó mc := m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,

 \overline{AT}^{2} + \overline{TC}^{2} = \overline{AC}^{2}
 \overline{BT}^{2} + \overline{TC}^{2} = \overline{BC}^{2}

azaz

 x^{2}+m^{2} = b^{2}
 (c-x)^{2}+m^{2} = a^{2}

Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m2 mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:

 m^{2} = b^{2} - x^{2}     (*)
 (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}

A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó nevezetes azonosságot, nevezetesen, hogy akármilyen A,B valós számokra (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}, ennélfogva az A := c és B := x háromszög-oldalhosszakra (c-x)^{2} = c^{2} -2cx + x^{2} ;

c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}

Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:

 c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}

Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,

 -a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2cx

részint 2c-vel való osztás után:

 x = \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c}

Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:

 m^{2}    =  b^{2}-x^{2}  =    b^{2} - \left( \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} \right) ^{2}    =    b^{2} -  \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ \left( 2c \right) ^{2} }    =    b^{2} -  \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ 4c^{2} }    =
 =    \frac { 4c^{2} \cdot b^{2} } { 4c^{2} } - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} }    =    \frac { 4b^{2} c^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} }    =    \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} }    =  
 =  \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } .

Alkalmazva az  A^{2} - B^{2} = \left( A+B \right) \left( A-B \right)   „nevezetes azonosságot” az  A = 2bc és B = -a^{2}+b^{2}+c^{2} esetekre;

 m^{2}    =    \frac { \left[ \left( 2bc \right) + \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] \left[ \left( 2bc \right) - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} }    =    \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( 2bc + a^{2}-b^{2}-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} }    =
 =    \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} }    =  \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b^{2} -2bc + c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} }    =
 =    \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} }    =    \frac { \left[ \left( b+c \right)^{2} -a^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } .

Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó  B^{2}+2BC+C^{2} \ = \ \left( B+C \right) ^{2} , szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest:  B^{2}-2BC+C^{2} \ = \ \left( B-C \right) ^{2} .

Megint csak a már említett  A^{2} - B^{2} \ = \ \left( A+B \right) \left( A-B \right) azonosságot alkalmazva a fentebbi kifejezés szögletes zárójelbe rakott részkifejezéseire (az első esetében az  A \ := \  \left( b+c \right)   és  B \ := \ a ; míg a második esetében az A \ := \ a és  B \ := \ \left( b-c \right) helyettesítésekkel):

 m^{2}  =  \frac { \left[ \left( b+c+a \right) \left( b+c-a \right) \right] \cdot \left[ \left( a+(b-c) \right) \left( a-(b-c) \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} }