Szerkesztő:Gubbubu/Halmazrendszerek geometriája

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Wikikönyvek logó.

Halmazrendszerek geometriája

A jegyzetről - tájékoztató más szerkesztőknek és olvasóknak


A jelen jegyzet olyan témával foglalkozik, ami valahol részben a „kombinatorikus geometria”, részben a „halmazrendszerek kombinatorikája”, részben a „véges geometria" c. ismeretterületek határai között helyezhető el. A tartalmát találóan még leginkább a «strukturális kvázi-finit geometria» kifejezés írhatná le. A szerző jelen pillanatban úgy gondolja, hogy ezen, rögtön részletesebben kifejtett célú vizsgálatok a megfelelő irányban továbbhaladva és specializálva elvezetnek a klasszikus (euklideszi síkon történő) kombinatorikus geometriai vizsgálatokhoz is, ezeket azonban (kizárólag időhiány miatt) kénytelenek vagyunk hanyagolni, más szerkesztőre vagy másik jegyzetre, kézikönyvre bízni.

A fentebbi „strukturális” jelző azt jelenti, hogy axiomatikusan definiált struktúrákat vizsgálunk majd, részben szűkebb értelemben vett kombinatorikai (számossági kérdések), részben geometriai szempontból. Az itt vizsgálandó struktúrák valójában mindannyian beilleszthetőek a „halmazrendszerek” (hipergráfok) fogalmába. A halmazrendszerek elmélete, amely a kombinatorika része, azonban jobbára gráfelméleti irányultságú, azaz topológiai és számításelméleti problémákat vizsgál (utak, keresések), jelen jegyzetben viszont a definiált struktúrák iránt inkább véges geometriai szempontból érdeklődünk (egyenesek és más alakzatok) . A „kvázi-finit” jelző azt jelenti, hogy kiemelten kezeljük a véges számosságú példákat, de definícióink, fogalmaink nem csak ezekre szorítkoznak.

A jegyzet „színvonalát” főképp érdeklődő és önképzésre hajlamos középiskolások, illetve természettudományi karokon matematikát tanuló első-másodéves egyetemisták vélelmezett átlagos tudásszintjéhez igyekeztünk méretezni. Így aztán igyekszünk kerülni a logikai, sokkvantoros formulákat és a végsőkig menő precizitást, sőt néhány megfogalmazást kifejezetten szemléletesnek szántunk. A feltétlenül szükséges előismeretek: középiskolás kombinatorikai alapismeretek, permutációk, variációk és kombinációk, ezek száma, binomiális tétel, binomiális együtthatókra vonatkozó egyszerűbb összefüggések, illetve egyszerűbb halmazelméleti alapfogalmak (halmaz, eleme, (bináris) reláció, ilyenek inverze és kompozíciója; függvény, injektív, szürjektív és bijektív függvény, halmazműveletek - unió, metszet, különbség, direkt szorzat).


Tartalom


  1. Síkgeometria
    1. Halmazrendszerek és hipergráfok
    2. Hipergráfok izomorfiája
    3. Illeszkedési struktúrák
    4. Illeszkedési síkok
    5. Hilbert-féle illeszkedési síkok
    6. Uniform illeszkedési síkok
    7. Fogalommutató
    8. Feladatok


Ajánlott irodalom

  1. Hajnal Péter: Halmazrendszerek. Polygon Kiadó, Szeged, 2002. ISSN 1417-0590 .
  2. Reimann István: Fejezetek az elemi geometriából. Typotex/Nemzeti Tankönyvkiadó, 1998. ISBN 963-9132-28-4 .
  3. R. L. Graham - M. Grötschel - Lovász L.: Handbook of combinatorics. MIT Press, 1995.



Lap teteje