1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta.

Tartalomjegyzék 1 Feladatok 1.1 Első nap 1.1.1 1. 1.1.2 2. 1.1.3 3. 1.2 Második nap 1.2.1 4. 1.2.2 5. 1.2.3 6.

[szerkesztés] Feladatok

[szerkesztés] Első nap

[szerkesztés] 1.

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is n – a következő tört nem egyszerűsíthető:

Megoldás

[szerkesztés] 2.

Milyen x valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

a)

b)

c)

Megoldás

[szerkesztés] 3.

Tudjuk, hogy

Mutassunk másodfokú egyenletet cos2x-re úgy, hogy együtthatói csak az a,b,c számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be a = 4, b = 2 és c = − 1-et.

Megoldás

[szerkesztés] Második nap

[szerkesztés] 4.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

Megoldás

[szerkesztés] 5.

Az AB szakaszon mozog azM pont. Az AM és MB szakaszok fölé az AB egyenes ugyanazon oldalára az AMCD és a BMEF négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör M-ben és N-ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az AE és a BC egyenes is átmegy az N ponton. Mutassuk meg, hogy minden M-re az MN egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

Megoldás

[szerkesztés] 6.

A P és Q sík egymást a p egyenesben metszi, és A a P síknak, C a Q síknak olyan pontja, amely nincs rajta p-n. Szerkesszük meg azt az ABCD húrtrapézt (), melynek B csúcsa P-n, D csúcsa a Q síkban van, s amelybe kört írhatunk.

Megoldás