1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/2. feladat

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

< 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Ugrás: navigáció, keresés

1. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

3. feladat

Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre.^[1]

A feladat:

Milyen $x$ valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

a)

$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt2$

b)

$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$

c)

$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$

[szerkesztés] Megoldás

A $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=a$ egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív.) Ebből rendezés után a következőt kapjuk: $2x+2\sqrt{x^2-2x+1}=a^2$ . A gyök alatt $(x - 1) 2$ , található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív) $x - 1$ vagy $1 - x$ . Tegyük fel, hogy $\frac12\le x\le 1$ ( $x$ legalább $\frac12$ , mivel különben nem lenne értelme a $\sqrt{2x-1}$ -nek). Ekkor az egyenlet: $2 x + 2 - 2 x = 2 = a 2$ , azaz $a=\sqrt2$ . Ha $x > 1$ , akkor az egyenlet: $2 < 4 x - 2 = a 2$ . Tehát $a>\sqrt2$ , így az $a)$ egyenletet pontosan az $\frac12\le x\le1$ értékek elégítik ki, a $b)$ egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő $x$ . Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor $a = 2$ . Ekkor $4 x - 2 = 4$ , vagyis $4 x = 6$ , tehát $x=\frac32$ . Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük.