1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/3. feladat

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

< 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Ugrás: navigáció, keresés

2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

4. feladat

Ezt a problémát Magyarország javasolta.^[1]

A feladat:

Tudjuk, hogy

$a \cos^{2} x+b \cos ^{2}x+c \ = \ 0$

Mutassunk másodfokú egyenletet $cos2 x$ -re úgy, hogy együtthatói csak az $a, b, c$ számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be $a = 4$ , $b = 2$ és $c = - 1$ -et.

[szerkesztés] Megoldás

Ismert, hogy $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}2$ , és így ennek az egyenletnek a négyzete is áll: $\cos^4x=\frac{1+2\cos2x+\cos^2x}4$ . Most nézzük az eredeti egyenletünket. Egy olyan egyenletet akarunk belőle alkotni, amiben csak $cos 4 x$ -es, $cos 2 x$ -es, valamint konstans tagok szerepelnek. Ehhez rendezzük át a következő módon: $b cos x = - a cos 2 x - c$ , majd pedig emeljük négyzetre: $b 2 cos 2 x = a 2 cos 4 x + a c cos 2 x + c 2$ . Most behelyettesítve $cos 4 x$ és $cos 2 x$ helyére, s a kövekezőt kapjuk: $a^2\frac{1+2\cos2x+\cos^22x}4+ (2ac-b^2)\frac{1+\cos2x}2+c^2=0$ . Azaz ezt rendezve kapjuk, hogy $\frac{a^2}4\cos^22x+\frac{a^2+2ac-b^2}2\cos2x+ \frac{a^2+4ac-2b^2+4c^2}4=0$ , ami a feladat feltételeinek megfelelő másodfokú egyenlet, s következik az eredetiből. Most behelyettesítve a megadott értékeket a következő egyenletet kapjuk: $4cos 22 x + 2cos2 x - 1 = 0$ . Azaz ugyanazt a másodfokú egyenletet kaptuk vissza, mint a helyettesítés előtt ( $4cos 2 x + 2cos x - 1 = 0$ ), csak épp az ismeretlen $cos x$ helyett $cos2 x$ lett.