2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1960-ban, Sinaiában (Románia) rendezték, s öt ország 40 versenyzője vett részt rajta.

Tartalomjegyzék 1 Feladatok 1.1 Első nap 1.1.1 1. 1.1.2 2. 1.1.3 3. 1.2 Második nap 1.2.1 4. 1.2.2 5. 1.2.3 6. 1.2.4 7.

[szerkesztés] Feladatok

[szerkesztés] Első nap

[szerkesztés] 1.

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

Megoldás

[szerkesztés] 2.

Milyen valós x-ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

.

Megoldás

[szerkesztés] 3.

Az ABC derékszögű háromszög a hosszú BC átfogóját n egyenlő szakaszra osztottuk (n páratlan pozitív egész). Jelöljük α-val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik A-ból. Legyen h az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

.

Megoldás

[szerkesztés] Második nap

[szerkesztés] 4.

Adott az ABC háromszög A-ból és B-ből induló m_a ill. m_b magassága és az A-ból induló s_a súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

Megoldás

[szerkesztés] 5.

Vegyük az ABCDA'B'C'D' kockát (ahol A'B'C'D' pontosan ABCD fölött van).

a) Mi a mértani helye az XY szakaszok felezőpontjainak, ahol X az AC, Y pedig a B'D' lapátló tetszőleges pontja?

b) Mi a mértani helye azon Z pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen XY szakaszon úgy, hogy ZY = 2XZ?

Megoldás

[szerkesztés] 6.

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen V₁ a kúp, V₂ a henger térfogata.

a) Bizonyítsuk be, hogy .

b) Keressük meg a legkisebb k-t, amire V₁ = kV₂, majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet k minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

Megoldás

[szerkesztés] 7.

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja a illetve c, magassága pedig m.

a) Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon P pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.

b) Számítsuk ki P távolságát a száraktól.

c) Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen P pont?

Megoldás