Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Párok

• Témák jegyzéke
• Előző fejezet (Részhalmazok)
• Következő fejezet (Konnekció, operáció)

Miután a definiálatlan alapfogalmakat és a legfontosabb fogalmakat megismertük, e fejezetben ismertetünk néhány módszert arra, hogyan megengedett már létezőnek tekintett osztályokból vagy halmazokból újabb osztályokat vagy halmazokat képezni, illetve – hogy legyen miből építkezni – deklaráljuk néhány egyszerűbb halmaz létezését.

Rendezetlen pár

A rendezetlen pár definíciója

Definíció: Legyen a,b∈U két olyan dolog, melyek nem valódi osztályok (individuumok). Ekkor létezik olyan osztály, aminek pontosan e két dolog az eleme. Ezt az a,b elemekből képezett rendezetlen párnak nevezzük. Jele

{a,b} := {x∈U | x=a ∨ x=b}

.

(ahol = az individuum-egyenlőséget jelenti).

A gyenge páraxióma

(Gy7) Tetszőleges individuumok esetén létezik a belőlük (bármilyen sorrendben képezett) rendezett pár.

Minthogy a rendezetlen párok maguk osztályok, így aztán valódi osztályok „alapból” nem lehetnek elemeik, csak az individuumok, nyugodtan szerepeltethetjük az „x∈U” kikötést, az U-t mint majoránsosztályt a definícióban. Ennek előnye, hogy a később kimondott részosztály-axióma segítségével az individuumokból képezett rendezett pár létezése általánosan bizonyítható. Nincs szükség a két individuumból képezett rendezett pár létezését kimondó axiómára.

Egyelemű halmaz

Ha a=b, akkor {a,a} helyett {a}-t írunk (összhangban az osztály definíciójának azon részével, miszerint egy osztályban egy elem legfeljebb egyszer fordul elő). Ezt az a elemből képezett - vagy azt tartalmazó - egyelemű halmaznak nevezzük.

Az üreshalmaz „nemzetsége”

Már csak az üreshalmaz-axióma és a páraxióma segítségével is „végtelen sok halmazt” tudunk képezni. Ezek pl.: ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, ..., vagyis mindig képezzük a sorban az előző x halmazból az {x} halmazt. De képezhetünk rengeteg mást is, pl. {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} stb.

Megjegyzés: azért tettük a „végtelen számú halmazt képezhetünk” kifejezést idézőjelbe, mert - egyelőre - semmilyen axióma nem garantálja, hogy ezek a halmazok mind különbözőek! Egyes szerzők (a Quine, ill. Goodman által alapított ún. nominalista halmazelmélet hívei) filozófiai érvek alapján valóban megkérdőjelezik, hogy a fent felsorolt halmazok különböznének egymástól. Mi itt és most mégsem kötjük ki axióma formájában, hogy bármely x osztályra x≠{x} legyen, vagy hogy létezzen legalább egy is az ilyen x osztályokból, egyrészt mert vállalhatónak gondoljuk azt a kockázatot, hogy amikor a fent felsorolt objektumokat tanulmányozzuk, semmi másról nem beszélünk, csak magáról az üreshalmazról, másrészt meg később úgyis elfogadjuk a hagyományos végtelenségi axiómát, amelyben az üres halmazt ilyen x osztálynak állítjuk (az axióma nem egy az egyben azt állítja, hogy az üres halmaz a fenti tulajdonságú, mégis következik ez belőle). Következik azonban x≠{x} az ún. regularitási axiómából is. A regularitási axióma egyik - és legfontosabb - következménye ugyanis x∉x teljesülése tetszőleges x halmazra. Márpedig ha x={x}, akkor x∈{x}=x miatt x∈x-et kapnánk. Mellesleg ebből már rögtön az is következik, hogy ezek a fajta halmazok nagyon-nagyon sokan vannak. A „transzfinit sokan” kifejezés csak halvány, fantáziátlan leírása a valóságnak, hiszen „osztálynyi sok” halmazról van szó. Ugyanis az üreshalmazból képezhető halmazok sokasága tartalmazza az ún. Burali-Forti osztály elemeit, mely utóbbi valódi osztály.

Szimmetria- és regularitási tételek

Végül belátunk három fontos tételt: 1. Tétel: {a,b}={b,a} (szimmetria); 2. Tétel: ha {a,b}={a,c}, akkor b=c (jobbregularitás) ; 3. Tétel: ha {a,b}={c,b}, akkor a=c (balregularitás).

Bizonyítás: 1., az egyenlőségi axióma következménye, 2. is. 3. pedig következménye 1.-nek és 2.-nek. 2.-t kell bizonyítani: az egyenlőségi axióma szerint, ha {a,b}={a,c}, akkor a megegyezik a-val vagy c-vel, s ettől függetlenül, b megegyezik a-val vagy c-vel. Tehát négy eset van:

1. a=a és b=a; azaz a=b. ekkor {a,b}={a,a}={a}={a,c} és az egyenlőségi axióma miatt (ha már {a}={a,c}) szükségképp a=c, így az egyenlőség tranzitivitására és szimmetriájára is hivatkozva, b=a=c, azaz b=c.
2. a=a és b=c, q.e.d.
3. a=c és b=a, az egyenlőség tranzitivitása miatt b=a és a=c-ből b=c.
4. a=c és b=c, q.e.d.

Rendezett pár

Bízvást mondhatjuk, hogy ez a halmazelmélet legfontosabb, központi jelentőségű definiált fogalma.

A Kuratowski-modell

Definíció: Az a,b∈U elemekből e sorrendben képezett rendezett páron az {{a},{a,b}} halmazt (vagyis az {a} és {a,b} rendezetlen párokból képezett rendezetlen párt értjük). Jele <a,b>.

<a,b> := {{a},{a,b}}

Az a-t az <a,b> rendezett pár első tagjának vagy első koordinátájának, míg b-t a második tagjának vagy koordinátájának mondjuk.

A rendezett párok alaptétele

Érvényes a következő tétel:

A rendezett párok alaptétele: <a,b>=<c,d> akkor és csak akkor teljesül, ha a=c és b=d. Förmulával:

<a,b>=<c,d> ⇔ (a=c ∧ b=d)

Bizonyítás:

1. Ha a=c és b=d, akkor persze a=c és {a,b} = {c,d}, s ennélfogva <a,b> = {a,{a,b}} = {c, {c,d}} = <c,d>.
2. Ha <a,b>=<c,d>, akkor tehát {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} s két halmaz akkor egyenlő, ha elemeik egyenlőek. Azaz {a} egyenlő {c}-vel, vagy {c,d}-vel, továbbá ettől függetlenül {a,b} egyenlő {c}-vel, vagy {a,b} egyenlő {c-d}-vel. Tehát négy lehetőségünk van:

-	{a}={c}	{a}={c,d}
{a,b}={c}	1. eset	2. eset
{a,b}={c,d}	3. eset	4. eset

Vizsgáljuk meg ezen eseteket!

1. 1. esett. {a}={c} és {a,b}={c}, azaz a=c és innen {a,b}={c,b}={c}. Innen szükségképp (ld. egyenlőségi axióma) b=c. Tehát a=b=c. Azaz {{a},{a,b}}={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}} és ez egyenlő {{c},{c,d}}={{a},{a,d}}:=Z-vel. Minthogy Z={{a}} is, így Z minden eleme {a}, tehát {a,d}={a}, innen d=a. Összességében a=d=b=c, tehát a=c és b=d.
   2. eset. {a}={c,d} és {a,b}={c}. Ekkor tehát a=c=d és c=a=b. Így ismét a=b=c=d, azaz a=c és b=d.
   3. eset. {a}={c} és {a,b}={c,d}. Az első egyenlőségből a=c, ezt is felhasználva a másodikból {a,b}={a,d}, ahonnan egy előző tételből b=d. Azaz a=c is meg b=d is igaz már megint.
   4. eset. {a}={c,d} és {a,b}={c,d}. Az első egyenlőségből a=c=d, ezt is használva, a másodikból {a,b}={a,a}={a}, azaz a=b. Összességében a=b=c=d, azaz a=c és b=d.
   5. nincs több lehetőség. QED.

Megjegyzések

Más modellekről

Felmerülhet a kérdés, miért éppen <a,b>:={{a},{a,b}} a rendezett pár definíciója, miért nem {a,{b}} vagy éppen {{b}, {a,b}}, {a,{a,b}} vagy valami hasonló. A válaszunk a következő:

1. egyrészt az {a,{b}} modell túl egyszerű lenne (ld. Gyakorlatok - 1. fa.). Ennek csekély módosítása, {a,{a,b}} már megfelel modellnek - bár modell voltának bizonyításához kell a regularitási axióma is, a Kuratowski-modellel ellentétben, utóbbi esetben csak a pár- és az egyenlőségi axióma a bizonyításban felhasznált eszközök, vagyis a naiv halmazelméletben is könnyen használható. Ilyen értelemben Kuratowski modellje „egyszerűbb”, mint az {a,{a,b}}, noha eggyel több zárójelet tartalmaz.
2. a másik {{b}, {a,b}} modell is megfelelő lenne, ugyanúgy, ahogy a nála és az általunk elfogadottnál is „egyszerűbb” {a,{a,b}} modell. Hagyomány szerint (és talán a fentebb említett, regularitással kapcsolatos nehézségek miatt) azonban a Kazimierz Kuratowski-tól származó modellt használjuk, amelyet ő 1921-ben fedezett fel, azaz az <a,b> := {{a},{a,b}} definíciót fogadjuk el. Még számtalan féle más definíció is elképzelhető, számunkra azonban ezek csekély jelentőségűek, sőt sokuk egyenesen problémás. Ezzel többet azonban nem foglalkozunk, mert a kérdésnek nincs túl nagy jelentősége.

Gyakorlatok

1. Érvényes-e a rendezett párok alaptétele, ha az <a,b> := {a,{a,b}} modellt választjuk?
2. F. Hausdorff 1914-ben a következő definíciót javasolta: <a,b> := {{x,a}, {y,b}}, "ahol x és y olyan elemek, amik nem szerepelnek az a,b-ként szóba jövő elemek között". Tud-e pár érvet gyűjteni amellett, hogy ez a definíció "jobb", mint a Kuratowski-féle? És ellene?

• Megoldások.

Jegyzetek

Lap teteje