Halmazelmélet/A feladatok megoldásai

E fejezetben közlünk elképzelhető megoldásokat a könyvben szereplő gyakorlatokra. A feladatok megoldásánál néha feltételezzük, hogy az Olvasó ismeri a naiv halmazelmélet fogalmait, egyszerűbb módszereit (tehát néha lehetnek kisebb „előreugrások” ama „aktuális” fejezethez képest, amelyben a feladatot kitűztük, ha gond van a feladattal, néha célszerűbb az aktuális után következtő 1-2 fejezetet is átböngészni).

Alapfogalmak

1.

Adjunk meg öt osztályt!

1. megoldás: például {a}, {á}, {b}, {c}, {cs}, azaz a magyar ábécé első öt hangját tartalmazó osztályok;
2. megoldás: Például az univerzális osztály, a minimálosztály, az üres osztály, az egyedek osztálya, meg a halmazok osztálya.
3. megoldás: Például az Olvasóból álló osztály {O}, meg a Tankönyvíróból álló osztály {T}, valamint az az osztály, ami az előző kettő egyedet tartalmazza {O,T}; valamint az az osztály, ami az előző egy-egy egyedből álló egy-egy osztályt tartalmazza {{O},{T}}; valamint az az osztály, ami az olvasóból álló osztályt tartalmazza {{O}}.

... s.í.t.

Matematikai értelemben az 1). és 3). pontok alatt leírt osztályok csak akkor léteznek, ha az a,á,b,c,cs hangok, meg az Olvasó és a Tankönyvíró eleme az E egyedek osztályának. De ezt nyugodtan feltehetjük.

2.

Vajon az „izgalmas mozifilmek” sokasága miért nem osztály?

Sérti az egyértelmű meghatározottság axiómáját. Az „izgalmas” jelző köztudottan szubjektív, fuzzy tulajdonság; nem egyértelmű, mely filmekre igaz és melyekre nem.

3.

Tudjuk, hogy az osztályok = egyenlősége reflexív reláció: azaz tetszőleges A osztályra A=A. Lássuk be, hogy  meg irreflexív reláció, azaz egyetlen osztály sem nem-egyenlő önmagával!

Valóban, ha AA volna, az épp az ellenkezőjét jelentené (hogy ¬(A=A)) annak, ami az = reflexivitása miatt igaz, azaz annak, hogy A=A.

4.

Tranzitív-e  (ha ab és bc, igaz-e mindig ac)?

Nem. Például az a=0, b=1, c=a=0 esetben 01 és 10, mégsem igaz 00.

5.

Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!” Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)!

Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem minden krétaira igaz, hogy minden mondata hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek legalább egy mondata igaz.

Megjegyzés: Ez az ún. Epimenidész-paradoxon.

A paradoxon (legalábbis Filep László véleménye szerint, amit nincs okunk kétségbe vonni) nem igazán logikai jellegű (logikai eszközökkel kibogozható, hogy semmilyen klasszikus formállogikai alapelvet nem sért), tulajdonképpen nem önellentmondás; hanem inkább ismeretelméleti. Furcsa, hogy Epimenidész állításából a krétaiak beszédének (ide értve Epimenidész fenti kijelentését is) mindenfajta tapasztalati ellenőrzése nélkül, pusztán a logikai elemzésre hagyatkozva „ki lehet mutatni” egy „igazmondó” krétai létezését. Vajon ha Epimenidész nem kiáltja el magát, vagy nem lenne krétai; akkor is bizonyítottnak gondolhatnánk, hogy van egy „igazmondó” krétai? Eszerint egy tényigazság attól is függhet, hogy ki mit állít róla? Lehet bogozni, van-e hiba az utóbbi gondolatmenetben (és ha van, hol), mi nem vállalkozunk rá.

A paradoxont azért tartják sokan mégis logikai antinómiának, mert egyszerű átfogalmazása a Russell-paradoxon logikai megfelelője. Epimenidész kijelentése ugyanis egyes szám első személyben átfogalmazható így is: „Nekem, mint krétainak, minden mondatom hazugság”. Ez pedig - a „minden mondatom” kifejezést a szűkebb „ez a mondatom” kifejezésre cserélve: „Nekem, mint krétainak, ez a mondatom is hazugság”. Ez már maga a Russell-antinómia, ugyanis ha a fenti mondat igaz, akkor hazugság, míg ha nem igaz, akkor nem hazugság, tehát igaz.

6.

Adjuk meg azon osztály formális, intenzionális definícióját, amely pontosan azon halmazokat tartalmazza elemként, melyek maguk nem elemei egy halmaznak sem! Létezik-e ez az osztály? Segítség: _{(melyik közismert)} halmaz-e ez az osztály?

Legyen a neve Q, ekkor pl. Q := {x∈H | ¬∃y∈H:(x∈y)}. De természetesen írható az is, hogy Q := {x∈H | ∀y∈H:(x∉y)}. Persze Q üres, hiszen ha x halmaz, akkor mindig eleme a {x} halmaznak (egyelemű halmazt bármiből képezhetünk, csak valódi osztályból nem), tehát nincs olyan x halmaz, amely ne lenne eleme egy másik halmaznak, tehát Q-nak nincs eleme, ezért vagy egyed, vagy az üres osztály; de a feladat szerint osztály, nem lehet tehát egyed; ezért nem lehet más, csak az üres halmaz. Tehát Q halmaz, mégpedig az üres, és így persze létezik.

7.

1. 1. a). Igaz-e, hogy az Ü := {x | x≠x} definíció értelmes, létező osztályt ad meg, mégpedig az üres osztályt?
   2. b). Vajon az Ω := {x | x=x} definíció létező osztályt ad meg?

a). Mindenekelőtt azt kell tisztázni, mit értünk a ≠ jel alatt.

• Ha individuumegyenlőséget, akkor az a helyzet, hogy természetesen semmi sem nem-egyenlő önmagával. Az Ü osztálynak ezért nincs eleme, az valószínűleg az üres osztály. Azonban szigorú felépítésünkben Ü nem létezik, mert semmilyen axióma nem garantálja ezt. Az intenzionális definícióval adott sokaságok létezésére a részosztály-axióma vonatkozik, az azonban csak majoráns alakra hozható definíciók esetén garantálja a létezést.
• Ha viszont az osztály-nemegyenlőséget értjük, akkor ez az egyedekre is teljesül. Igen, ha x és y egyedek, ≠ pedig az osztályegyenlőség tagadásának jele, akkor érvényes x≠y. Tehát ez értelmezésben Ü, ha létezik, nem üres. Persze, mint fentebb mondtuk, nem létezik.

Lásd még itt: Definiálható-e az „egyed” fogalma?.

b). Az {x | x=x} definíció az összes egyedre és osztályra is teljesül, vagyis a „dolgok” sokasága! Ez a mi felépítésünkben nem létezik, semmiképp sem osztály, így aztán nem létezik.

8.

Tudjuk, hogy az osztályok osztálya nem létezhet, de mi a véleménye ennek valódi részéről, a valódi osztályok V := {x | x∉E ∧ ∀y:(x∉y)} sokaságáról? Ez vajon osztály (azaz: létezik)?

A V sokaság természetesen nem létezik az osztályelméletben. A valódi osztályok azért valódiak, mert nem foglalhatóak osztályba, tehát a V osztály létezése emiatt képtelenség.

9.

„Fejezzük be” az individuum-egyenlőség tranzitivitásának és szimmetriájának bizonyítását!

Teljesen annak mintájára megy, mint a bizonyítás 2). részében ismertetett gondolatmenetben látható.

10.

Mi a véleménye az E' := {x|x∉E} definícióról, megad-e egy osztályt az „egyedek osztályának komplementere”?

Nem. Ha ez osztály lenne, akkor persze tartalmazná az üres osztályt, ami nem egyed. Mármost, az egyértelmű meghatározottság axiómájából következően vagy E'∈E, vagy E'∉E. Az első esetben E' maga is egyed. Ez nem lehetséges, hiszen van legalább egy eleme, az üres halmaz, márpedig egy egyednek nem lehet eleme. A második esetben E' nem egyed, akkor tehát eleme E'-nek, önmagának. Ezt a gyenge regularitási axióma kizárja. Látjuk: egy reguláris halmazelméletben az E' osztály, a „nem egyedi dolgok osztálya”, nem létezik – teljesen függetlenül attól, hogy maga E ontológiai státusza milyen: halmaz (akár üres), vagy valódi osztály. Persze, azt tekintve, hogy tulajdonképp az U valódi osztály is eleme kellene legyen, még a regularitási axióma sem szükséges.

Russell tételei

1.

Olvassuk át figyelmesen újra A reguláris osztályok nem alkotnak osztályt c. gondolatmenetet. Figyelemreméltó, hogy nem használtuk benne a regularitási axiómát. Vajon ha használnánk, megmenekülnénk az ellentmondástól?

Nem. Ez esetben csak annyit érünk el, hogy a Ψ∈Ψ „ág kiesik” a gondolatmenetből, marad tehát a Ψ∉Ψ, de ez ugyanúgy ellentmondásos.

Párok

1.

Érvényes-e a rendezett párok alaptétele, ha az <a,b> := {a,{a,b}} modellt választjuk?

Nem. Például ha a = {x} és b = y, továbbá c = {y}   és   d = x, akkor $\langle \left\{x\right\},y\rangle _{lem}$ $=$ $\left\{\ \left\{x\right\},\ \left\{y\right\}\ \right\}$ $=$ $\left\{\ \left\{y\right\},\ \left\{x\right\}\ \right\}$ $=$ $\langle \left\{y\right\},x\rangle _{lem}$ annak ellenére, hogy nem feltétlenül teljesül {x} = {y} és y = x. Például ha x = 1-et és y = 2-t választunk, vagy bármilyen olyan x,y objektumokat, melyekre x≠y.

2.

Ez a modell persze természetesebbnek tűnik pl. az a=1 és b=2 választással a rendezett párok számára, tulajdonképp az a,b elemekből képezett rendezett pár egy f:{0,1}→{a,b} leképezés. Ha a rendezettséget matematikailag próbáljuk megfogni, először ilyesmire gondolhatunk.

Azonban egy ilyen definíció a halmazelmélet felépítéséhez teljességgel használhatatlan. .