Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
< Szerkesztő:Gubbubu‎ | Halmazelmélet(Russell-paradoxon szócikkből átirányítva)

avagy (alcím):

: A Russell-paradoxon és megoldása.

E fejezetben Bertrand Russell angol filozófus híres paradoxonának változatait és következményeit ismertetjük [1]

A Russell-paradoxon[szerkesztés]

Először is ismerjük meg a paradoxon eredeti formáját [2]:

A regularitás paradoxona[szerkesztés]

Russell (első) paradoxona: Legyen R az önmagukat elemként nem tartalmazó (reguláris) halmazok halmaza [3]! Kérdés, R eleme-e ennek a sokaságnak (önmagának) vagy sem.
  1. Ha R eleme R-nek, akkor olyan halmaz, ami önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem eleme R-nek. Az „R eleme R-nek” feltevés tehát ellentmondásos és ezért hamis. Igaz ezért ennek ellenkezője, nevezetesen:
  2. R nem eleme R-nek. Ez esetben tehát nem teljesül rá az a tulajdonság, hogy önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem igaz, hogy „R nem eleme R-nek”, ha ez nem igaz, akkor nincs mese, „R eleme R-nek”. Az „R nem eleme R-nek” feltevésből kikövetkeztettük, hogy R eleme R-nek. Ez ismét ellentmondás, így nem igaz, hogy R nem eleme R-nek.
  3. Összességében, nem igaz sem „R tartalmazza önmagát”, sem „R nem tartalmazza önmagát”. Ilyen nincs. Egy becsületes halmazra (osztályra) teljesül az egyértelmű meghatározottság axiómája, de R nem ilyen: R létezésének feltételezése ellentmondásra vezet. Mivel R halmazelméleti eszközökkel egyszerűen definiálható, a halmazelmélet ellentmondásos elmélet [4].

Az első - ugyan hatástalannak bizonyuló, de mégsem haszontalan - gondolat, ami a Russell-paradoxon eredeti formájának megoldására eszünkbe juthat, az, hogy az öntartalmazkodó halmazok megengedése okozza az ellentmondást. Egyáltalán, tartalmazhatja egy halmaz elemként önmagát? [5] Hiszen, ha egyetlen halmaz sem tartalmazhatja magát elemként (a gyenge regularitás axiómája), akkor nem kérdés, hogy R tartalmazza-e magát elemként vagy sem: nem tartalmazza. Tehát szóba sem jöhet az R∈R eset (1.). Sajnos, az R∉R (azaz a 2.) eset ebben az esetben is ellentmondást jelent. Ha R∉R, akkor R egy önmagát elemként nem tartalmazó halmaz, viszont R az összes ilyet tartalmazza, tehát R∈R. Nincs mese: R még a reguláris halmazelméletekben sem létezik. A regularitási axiómával nem oldható fel Russell paradoxona (sőt, egy újabb paradoxon is fellép). Ez mindenképp azt jelenti, hogy fel kell adni a komprehenzivitás elvét, tehát be kell látnunk, hogy nem létezik minden, látszólag kifogástalanul definiálható halmaz.

Az univerzalitás paradoxona[szerkesztés]

Russell a paradoxon fenti formájának taglalásához az egyik, típuselmélete mellett érvelő értekezésében [6] egy kiegészítést is fűzött, az alábbi „létezés-lehetetlenségi” (anti-egzisztencia-) bizonyítást:

Russell második (avagy járulékos) paradoxona: Tegyük fel axiómaként, hogy „egyetlen halmaz sem tartalmazza önmagát elemként”. Ebből három dolog következik:
  1. R megegyezik az U univerzális halmazzal, azaz az összes halmaz halmazával; ha ez létezik. Valóban: R a nem-öntartalmazkodó halmazok halmaza, és ha minden halmaz ilyen, akkor R=U.
  2. Az U nem tartalmazza magát elemként (ahogy egy halmaz se, ahogy ezt a feltett axióma mondja). Ergo, U nem eleme önmagának.
  3. Ergo, U nem halmaz, hisz ha az lenne, eleme kell hogy legyen U-nak, mivel az minden halmazt tartalmaz.
  4. Ergo, U - azaz R - nem létezik.

Mi ebben a paradoxon? - kérdezhetné bárki. Az U-ról ugyanis az axióma alapján nyilvánvaló, hogy kizárható a létezése. Az persze igaz, hogy a komprehenzivitási elv fenntartása mellett U nemlétezése ellentmondás, feloldhatatlan antinómiát jelent; s ez egy újabb érv a komprehenzivitás elvetése mellett. No de ha elvetjük a komprehenzivitási elvet, akkor is paradoxon a fenti érvelés? U (vagy akár R) nemlétező, na és? Ha bizonyos halmazok létezését axiómával, kikötésekkel kizárjuk, akkor nem meglepő, hogy bizonyos halmazok nem léteznek. Hol van itt ellentmondás?

Ilyen értelemben talán valóban: sehol. Mégis van néhány dolog, ami miatt a fenti anti-egzisztenciabizonyítás tanulságos számunkra:

  1. Az egyik maga az eredmény, amit Russell kihoz belőle. Ő e paradoxonnal - számára az volt - egyébként azt akarta megmutatni, hogy az összes halmaz halmaza nem létezik, még a reguláris halmazelméletekben sem (sőt, mondhatni, pláne azonban nem), és így szükséges az osztályok típushierarchiába rendezése (az összes halmaz sokasága nem lehet első típusú halmaz, mint a halmazok legtöbbje, hanem második típusú halmaz. Tulajdonképp az osztályrealista halmazelméletek is erre az alapgondolatra épülnek, csak nem annyira következetesen viszik végig a tipizálást, mint Russell; ld. lentebb).
  2. Nemcsak az U valódi osztálysága avagy második típusúsága az érdekes, hanem az is, hogy maga a regularitás axiómája is okozhat paradoxonokat. Azt ugyanis a legtöbb, a Russelléhez hasonló paradoxonokkal foglalkozó szerző megemlíti, hogy az ismert paradoxonok közös jellemzője az önreferencia, hogy valamilyen formális nyelvi függvényt (funktort) önmagára alkalmazunk bennük. Ennek halmazokra vonatkozó megfelelője az, hogy a halmazok önmagukat elemként tartalmazhatják, vagyis irregulárisak. Ennélfogva természetesen kínálkozó gondolat, hogy az antinómiákat az irregularitás kizárásával, vagyis a regularitási axiómával oldjuk meg. Ez azonban az eddigiek szerint nem elegendő (egyáltalán, szükséges-e?). Fent láttuk, hogy a klasszikus Russell-antinómiát a regularitási axióma egyáltalán nem oldja meg. Sőt, a komprehenzivitás megtartása mellett, a regularitási axióma még egy újabb paradoxont is okoz. A komprehenzivitás paradigmájának részleges félretétele, a halmazelmélet tiltó axiómákkal való „kifoltozása” (pl. a regularitási axiómával) önmagában nem feltétlenül oldja meg megnyugtató módon az ellentmondásokat, sőt újakat is generálhat.
  3. Ezért a fenti gondolatmenet nem csak egy újabb érv a komprehenzivitás naiv elve ellen, hanem rávilágít az antikomprehenzív halmazelméletek egyik központi problémájára: mely halmazok nem léteznek, és hogyan lehet ezt eldönteni? Nagyon érdekes például, hogy míg a fenti U halmaz nemlétezése a gyenge regularitás feltétele mellett egészen nyilvánvaló, a vele egyenlő R nem-létezése azonban egyáltalán nem annyira. Hogyan lehet látni egy intenzionális halmazdefinícióról, hogy paradox? Erre a kérdésre mai tudásunk szerint nem tudunk válaszolni.

Russell még érdekesebb és még kruciálisabban fontos megjegyzést fűzött ehhez (a szögletes zárójelekben lévő szavak a mi kiegészítéseink): „Abból a tényből következik, hogy nincs ilyen osztály [értsd: halmaz], hogy ha feltételezzük a létezését, akkor ez a feltevés rögtön olyan új osztályokat [értsd:halmazokat] hoz létre (mint a fenti ellentmondásban is), amelyek az összes osztályok [értsd: halmazok] feltételezett összességén kívül vannak.” [7]

Hát ez az: a NBG-elmélet nagyjából azt teszi, amit Russell a fenti megjegyzésében mint nemkívánatos dolgot utasít el: elismeri olyan osztályok létét, amik az összes halmazok feltételezett összességén kívül vannak [8]. Ezek a kívül levő osztályok épp a valódi osztályok. Nézzük is meg, miként szelídül ezáltal Russell két paradoxona egyszerű matematikai tétellé.

Hogy oldódik meg a Russell-antinómia a NBG-elméletben?[szerkesztés]

Russell első tétele[szerkesztés]

A reguláris halmazok valódi osztályt alkotnak[szerkesztés]

Russell regularitási tétele: legyen Rh azon halmazok osztálya, melyek nem tartalmazzák elemként önmagukat. Ez az osztály, az ún. szűkebb értelemben vett Russell-osztály - ha létezik - nem halmaz, tehát valódi osztály [9].

Bizonyítás: tegyük fel, hogy az

Rh := {x | x∉x ∧ ∃y:(x∈y)} = {x∈H|x∉x}

osztály létezik, és halmaz! Felmerül a kérdés, eleme-e Rh-nek (önmagának) vagy sem (az egyértelmű meghatározottság axiómája miatt, vagy igen, vagy nem). Ha eleme Rh-nek (azaz önmagának), akkor (ahogy fentebb már láttuk) olyan halmaz, ami nem eleme önmagának (azaz Rh-nek), ez ellentmondás, tehát Rh nem eleme Rh-nek/önmagának. Ha meg nem eleme Rh-nek, akkor nem igaz, hogy nem eleme önmagának, tehát igaz, hogy eleme önmagának (Rh-nek). Ez is ellentmondás. Tehát ha Rh létezik, nem halmaz. Q.E.D.

Ennek következményeképp kimondhatjuk, hogy a reguláris halmazok valódi osztály alkotnak, a részosztály-axióma következményeképp ugyanis Rh egy ténylegesen létező osztály, a fenti tételből következően pedig ekkor valódi osztály.

Az ellentmondástalanság elemzése[szerkesztés]

Persze felmerül a kérdés: minthogy az egyértelmű meghatározottság axiómája, ami a végső ellentmondást okozza, osztályokra is teljesül; nem lehet tehát, hogy Rh esetében a létezésének feltételezése és nem a halmaz voltának feltételezése okozza a gondot? A megnyugtató válasz: nem. Rh definíciójában ugyanis az szerepel, hogy „azon halmazok halmaza ...”, így aztán ha Rh nem halmaz, akkor Rh semmiképp nem tartalmazza magát, mivel Rh kikötésében szerepel, hogy csak halmazokat tartalmaz elemként. Ahogy ez a valódi osztály definíciójával összhangban is van, hiszen Rh akkor valódi osztály, ha egy osztálynak sem eleme; tehát önmagának sem lehet eleme. Ergo, az Rh létezésének feltételezése a fenti gondolatmenettel bizonyított ellentmondást nem okoz, csak ha feltesszük még azt is, hogy halmaz. Mindez a tágabb értelemben vett Russell-osztályra (a h index nélküli R) is érvényes, az is létezik, és gondot csak akkor okoz, ha halmaznak vesszük. A definíciójában szereplő „azon individuumok halmaza” miatt még nem tartalmazza önmagát, csak egyedeket meg halmazokat (ezért ha maga nem halmaz - de nem is egyed persze, hisz van eleme - akkor nem tartalmazza önmagát.

Látjuk tehát, milyen jó volt bevezetni a valódi osztályok fogalmát. Az osztály és halmaz fogalmának megkülönböztetésével megszűnik R(h) definíciójának önreferens volta. R(h) többé már nem az összes nemtartalmazkodó halmaz halmaza, ami egy önreferenciát lehetővé tevő definíció, hanem az összes nemtartalmazkodó halmaz osztálya, a szintkülönbség bevezetése kizárja, hogy az önreferencia megvalósítása ellentmondást okozzon.

Az ellentmondássá átfogalmazhatóság kérdése[szerkesztés]

A másik, sokkal kellemetlenebb kérdés: és mi a helyzet Rh osztályelméleti analogonjával, az összes nemtartalmazkodó osztály osztályával? Minthogy ez esetben megint csak nincs önreferencia-kizárás, újra csak fellép a Russell-antinómia? A válaszunk rejtélyes: lényegében igen, valójában nem (avagy valójában igen, lényegében mégsem). A rejtély megoldását halasszuk néhány bekezdéssel későbbre, előbb vizsgáljuk meg, mi lesz Russell „járulékos” paradoxonából az NBG-elméletben.

Russell második tétele[szerkesztés]

Az univerzális halmaz tétele: Ha egyetlen halmaz sem tartalmazza önmagát elemként, akkor az összes halmaz osztálya valódi osztály és nem halmaz. Azaz: „az univerzális halmaz” - nem halmaz.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ∀x:x∉x. Ekkor Rh azon halmazokat tartalmazza, melyek nem elemei önmaguknak, vagyis mindet. Tehát Rh = H := {x | ∃y:(x∈y)}. Russell első tétele szerint Rh nem halmaz, hanem valódi osztály. Q.E.D.

Most persze megint megvizsgáljuk, hogyhogy nem kaptunk paradoxont. A második Russell-paradoxon első következtetése megállapítja, hogy Rh=H, ez most is igaz. A második megállapítása szerint a H osztály nem tartalmazza magát elemként. Persze, hogy nem, ha egyszer valódi osztály, akkor egyetlen osztály sem tartalmazhatja elemként, így önmaga sem. A harmadik megállapítás szerint: H nem halmaz. Szerintünk sem, hisz valódi osztály. A negyedik megállapítás szerint, Rh nem létezik. Na ez az, amit az NBG szerint másképp is gondolhatunk. Russell gondja az volt, hogy nincs másféle sokaság, csak halmaz, ezért H-nak önmagát tartalmaznia kell. A NBG-elmélet ezt gondolja másként. Ha H nem halmaz, hanem osztály, akkor nem kell magát tartalmaznia, csak a halmazokat. Az osztály fogalmának bevezetése, azaz a sokaságok sokaságának bővítése felmenti H-t az önmagát tartalmazás kényszere alól. Hasonló érvényes R és U viszonyának esetében.

Márpedig mi elfogadtuk a „gyenge” regularitás axiómáját, tehát felépítésünkben nyugodtan fogalmazhatunk feltételek nélkül is: az univerzális osztály valódi osztály és nem halmaz.

Megoldódik-e Russell antinómiája a NBG-elméletben?[szerkesztés]

Amint az első Russell-tétel bizonyítása után feltett második kérdésből is sejthető, a Russell-antinómiától valójában nem olyan könnyű megszabadulni. A paradoxon következő, osztályelméleti keretben újrafogalmazott változata azt mutatja, hogy a Russell-paradoxon bizonyos értelemben a NBG(U)-elmélet számára is kihívást jelent, legalábbis nem mehetünk el mellette magyarázat nélkül; noha - véleményünk szerint - a NBG(U)-elmélet keretében e második változat sem jelent logikai ellentmondást.

Russell harmadik tétele[szerkesztés]

A reguláris osztályok nem alkotnak osztályt[szerkesztés]

Tétel: Nem létezik az összes reguláris, azaz önmagát nem tartalmazó osztály osztálya.

Bizonyítás: legyen ez az osztály Ψ := {x | x∉E ∧ x∉x} [10]. A meghatározottsági axióma miatt ekkor Ψ∈Ψ vagy Ψ ∉Ψ. Ha az első lehetőség áll, azaz Ψ∈Ψ, az azt jelenti, Ψ∉Ψ. Ez ellentmondás. Tehát a második áll, azaz Ψ∉Ψ. Ekkor viszont Ψ definíciója miatt Ψ∈Ψ. Tehát ez sem igaz. Ellentmondásra jutottunk. Ezért Ψ nem létezik. Q. E. D.

Az ellentmondásosság(?) elemzése[szerkesztés]

Ahogy várható volt, megjelent a Russell-antinómia, hiszen nem kell mást tennünk: az eredeti paradoxon leírásában a „halmaz” szót az „osztály” szóra cseréljük. Ergo, folytathatnánk az ottani sort, és mondhatnánk, hogy „Ψ létezésének feltételezése ellentmondásos. Ezért Ψ nem létezik. Ámde Ψ-t az osztályelmélet keretében, megengedett eszközökkel definiáltuk. Ergo, az osztályelmélet ellentmondásos”. Mivel pedig az NBG-elmélet az osztályelmélet egy speciális (axiomatikus) esete, mondhatnánk: „Ψ létezésének feltételezése ellentmondásos. Ezért Ψ nem létezik. Ámde Ψ-t az NBG-elmélet keretében, megengedett eszközökkel definiáltuk. Ergo, az NBG-elmélet ellentmondásos”.

Véleményünk szerint pontosan ez utóbbi idézőjeles állítás az, ami már nem igaz. Ugyanis az NBG egy axiomatikus elmélet, ami ugyanúgy félreteszi az ún. komprehenzivitási elvet (azt a naivnak bizonyuló feltételezést, hogy tetszőleges osztály létezik, amit intenzionálisan definiálni tudunk), mint a rivális ZFC-elmélet. A Ψ osztály már csak azért sem létezik, mert semelyik axiómánk nem mondja ki, hogy létezne, és létezése nem is vezethető le semelyik axiómánkból. Ez az a dolog, amiben az axiomatikus halmazelmélet különbözik a naiv halmazelmélettől. Osztályok léteznek, igen. Halmazok is léteznek, igen. Az összes halmaz osztálya létezik, igen. De semmi nem garantálja olyan „óriás” osztályok létezését, mint a fenti. Ezért az NBG-elméletben a Russell-antinómia - legalábbis a fenti formában - nem formalizálható. Az, hogy egyelőre az elmélet kifejtésének elején vagyunk, és ezért a korrekt NBG-elmélet helyett annak kevésbé formális és precíz, sok köznyelvi elemet tartalmazó formáját fejtjük ki, ne tévesszen meg senkit. A NBG-elmélet alapjául szolgáló informális elméletben (az osztályelmélet) megfogalmazható ugyan Russell antinómiája, az ennél jóval szűkebb NBG-elméletben azonban már nem.

Russell negyedik tétele[szerkesztés]

Tétel: ha egyetlen osztály sem tartalmazhatja önmagát elemként, akkor nem létezik az összes osztály osztálya.

Bizonyítás: Legyen Ω az összes osztály osztálya. Ha egyetlen osztály sem tartalmazza magát elemként, akkor az előzőleg definiált Ψ := {x | x∈Ω ∧ x∉x} osztályra Ψ=Ω. Minthogy Ψ nem létezik, így Ω sem [11].

Az osztályfogalom szerepe pontosabban[szerkesztés]

Russell paradoxona világosan rámutat, hogy a komprehenzivitási elv tarthatatlan a naivan felépített osztály- és halmazelmélet számára. Nem ez az egyetlen példa. Egy másik ismert példa Cantor paradoxona (erről a rendszámok felépítése során szólunk majd). Egy egyszerűbb példáról a következő fejezetben is szó esik.

Viszont ha nem az osztály, illetve valódi osztály fogalmának bevezetése okozza a Russell-antinómia végleges kiküszöbölését, hanem a komprehenzivitási elv félretétele (az osztályfogalom csak eggyel magasabb szintre tolja az antinómia felléptét), akkor miért kell pont az osztály fogalmát bevezetni, miért ne válasszuk mondjuk a ZFC-elméletet, vagy miért ne vezessünk be Russell mintájára egy tipizált halmazelméletet?

  1. Válaszunk összetett.
    1. Az osztályelmélet tulajdonképpen maga sem más, mint egy részlegesen tipizált halmazelmélet, vagyis valójában Russell gondolata tér vissza logikai helyett sokaságelméleti köntösben. Az „osztály” és a „halmaz” pontosan olyan viszonyban vannak, mint a „harmadik típusú” és „második típusú” kijelentések. Az individuumok, ha létezésüket elismerjük, az első típusú objektumok; az individuumokról szóló kijelentések a második típusú avagy elsőrendű kijelentések; ezek igazsághalmazai a halmazok, második típusú sokaságok. A halmazokról való kijelentések - pl. hogy „egy halmaz reguláris” - már egy új típusba tartoznak, a másodrendű kijelentések csoportjába, igazsághalmazaik a harmadik típusú sokaságok, azaz az osztályok. És így tovább. Definiálhatnánk a hiperosztályok, a hiper-hiperosztályok s.í.t. fogalmát, és minden szinten megfogalmazható lenne a Russell-antinómia úgy, hogy szükség legyen a következő szintű sokaságok létezésének feltételezésére. Látható, hogy a komprehenzivitási elvet nem kell félretenni, ha a tipizálást ténylegesen megvalósítjuk, végigvisszük. Ezt mi nem tesszük, mert minket a (hiper)osztályelmélet felépítése nem érdekel, megelégszünk egyik részletével, a halmazelmélettel. Ezért mesterségesen elvágtuk valahol a russelli „hierarchia-kumulálást”, félretéve a komprehenzivitási elvet; arra hivatkozva, hogy axiómáink hatóköre itt véget ér. De az osztályelmélet bármikor lehetőséget biztosít rá, hogy ezt ne tegyük. Tehát látjuk: nem is igaz egészen az, hogy az antinómia fel nem léptét a komprehenzivitási elv félretétele okozza, és az osztály fogalmának semmi szerepe nincs a paradoxon megoldásában. Valami azért van, és bármikor lehet több is. Minél magasabb szinten (minél később) tesszük félre a komprehenzivitási elvet, annál több hiperosztályszintet kell bevezetnünk; azaz minél komprehenzívebb az elméletünk, annál inkább hierarchizált kell legyen. Az antinómia végleges megoldásában az inkomprehenzivitás mértéke és a hierarchia-kumulálás szükséges mennyisége egyfajta sajátos fordított arányosságot mutat. Már csak azért is sajátosat, mert az arányossági tényező alef null, és megengedett bármelyik tényező 0 értéke, ez esetben a másiké végtelen.
    2. Az NBG-elméletet az teszi vonzóvá, hogy a fenti értelemben van ontológiája; azaz keretében a „halmaz” szónak van valami megfogható értelme; igaz; ez a formalista matematikusok szerint hátrány. Az ontológia megléte a tiszta ZFC-elméletre egyáltalán nem mondható el: tiszta formájában a ZFC-elmélet nem más, mint értelmetlen szimbólumok rendszere. Az eredeti ZFC keretében például még az sem fogalmazható meg, hogy egy objektum - halmaz. Ha a komprehenzivitási elvet feladjuk, és áttérünk a halmazelméleti konstrukciók axiomatikus korlátozására; de ragaszkodunk ahhoz, hogy a halmaz fogalmának értelme is legyen, és egy halmaz több legyen, mint a ∅ szimbólumból a {}, és ∪ stb. szimbólumok segítségével definiálható véges sorozatok egyik tagja, akkor szükséges valami keretfogalom, és erre pont megfelel az „osztály”. A modern szakmunkák- így Hajnal és Hamburger könyve is (ami pedig nagyjából a ZFC axiómáira alapoz), de Maurer és Komjáth művei szintúgy - vagy előbb, vagy utóbb lényegében kénytelenek hivatkozni a valódi osztályokra. Méltán: mai tudásunk szerint enélkül nem lehetséges a halmazelmélet didaktikus tárgyalása.
    3. Végül, a hagyomány megőrzésének elve is az osztályelmélet mellett szól. Az osztályelmélet (véleményünk szerint) sokkal szemléletesebb és természetesebb, mint a Zermelo-féle elmélet, hiszen megőriz vagy megment olyan, a naiv halmazelméletből örökölt, a kényelmet és eleganciát növelő objektumokat, mint az összes halmazok (osztálya), és/vagy a tárgyalási univerzum.

A ZFC elfogadása, a Russelli tipizálás, illetve a jelen munkában alkalmazott NBG-féle „félmegoldás” mellett; van egy negyedik lehetőség is: az „eleme” reláció és a meghatározottsági axióma módosítása: osztályokra ne legyen feltétlenül érvényes a meghatározottsági axióma. Ám ekkor az egyenlőségi axióma is megkérdőjeleződik. Ha nem tudjuk, hogy egy osztálynak valami eleme vagy nem eleme, akkor igaz maradhat-e, hogy egy halmazt meghatároznak az elemei? Ha kétséges, hogy egy halmaznak mik az elemei, nemkülönben az is kétségessé válik, hogy a halmaz milyen más halmazokkal egyenlő, hiszen ezt akkor dönthetnénk el, ha pontosan ismernénk, ugyanazok az elemeik vagy nem - de ha nem tudjuk, mik az elemek, azt sem tudhatjuk, ugyanazok-e. Az egyenlőségi axióma feladása pedig lényegében a Cantori, extenzionális halmazelmélet feladását jelenti: túl sok problémát vet fel. Mindenesetre a fuzzy halmazelmélettel való kísérletek megmutatták, hogy ez az út sem lehetetlen. Az extenzionalitás megtagadása lehetséges a fuzzy jelleg elfogadása nélkül is, erre példa Kőnig Gyula halmazelmélete. Kőnig lényegében az intenzionális definíciójukkal azonosította a halmazokat, azok extenziója, az elemek sokasága helyett; ezáltal az egyértelmű meghatározottság axiómája javarészt megmarad (nem úgy, mint a fuzzy halmazelméletben), de az egyenlőségi axiómát persze meg kell tagadni [12].

Gyakorlatok[szerkesztés]

  1. Olvassuk át figyelmesen újra A reguláris osztályok nem alkotnak osztályt c. gondolatmenetet. Figyelemreméltó, hogy nem használtuk benne a regularitási axiómát. Vajon ha használnánk, megmenekülnénk az ellentmondástól?

Hivatkozások[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A „paradoxon”, „antinómia”, „inkonzisztens” szavak jelentését ld. itt.
  2. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a paradoxon megfogalmazása a naiv halmazelmélet keretében történik, azaz most kilépünk egy pillanatra az általunk épp felépítendő osztályelméletből, a matematika kb. egy évszázaddal ezelőtti állapotába, amikor sem osztályelmélet, sem regularitási axióma nem létezett.
  3. A paradoxon leírásában szándékosan mellőzött formalizmussal tehát: R := {x∈H | x∉x}.
  4. Hogy egy matematikai elmélet ellentmondásos (szakszóval: inkonzisztens), azaz benne egy állítás és annak tagadása is bizonyítható (nevezzük az ilyen állítást az elmélet irreguláris állításának), azért baj, mert könnyű belátni, hogy ekkor minden, az elméletben megfogalmazható állítás irreguláris. Azaz egy ellentmondásos elméletnek bármely mondata igaz, és annak az ellenkezője is. Az ilyen elmélet nem túl hasznos és nem is túl érdekes.
  5. Ld. az Osztályok, amik elemei önmaguknak? c. megjegyzésünket.
  6. B. Russell: Mathematical logic as based on the theory of types; első megj.: The American Journal of Mathematics, 30. köt., 1908.; 222-262. o.; magyarul: A típuselméletre alkalmazott matematikai logika; in: I. M. Copi, J. A. Gould: Kortárs-tanulmányok a logikaelmélet kérdéseiről; Gondolat, Bp., 1985; 221-255. o., említett megj. a 225. old. alján kezdődik.
  7. Russell még nem használta (nem is igen használhatta) az „osztály” szót abban a neumanni értelemben, ahogy mi; de az „osztály” szó használata régen is szokás volt a „halmaz” szinonimájaként.
  8. Persze a Russell-antinómia felfedezése korában, az 1900-as évek elején, még nem vetődött fel a halmazok és valódi osztályok megkülönböztetésének gondolata, hiszen Kőnig, ill. Neumann e felvetése mintegy harminc évvel későbbi fejlemény. Ezért Russell, aki minden sokaságot „halmaznak” gondolt, joggal furcsállotta az összes sokaság halmazán kívül eső sokaság létezését (ld. még lentebb).
  9. Azért szűkebb értelemben vett, mert az egyedek nem tartoznak bele, a tágabb értelemben vett Russell-osztály ennek meg az egyedek osztályának az egyesítése. Létezésük az erős részosztály-axiómából következik.
  10. Itt most „feledkezzünk el” arról a kikötésünkről (ld. intenzionális definíciók), hogy az x változó szükségképp csak U-ból vehet fel elemeket, és "terjesszük ki" a hatókörét az összes osztályra. A definíció ettől eltekintve értelmes marad, mert az ∈ reláció ugyebár automatikusan értelmetlen akkor, ha x egy valódi osztály, de a ∉ jel ettől még, sőt éppen ettől, értelmezhető lehet!
  11. Megjegyzés: a bizonyítás nem kifogástalan, hiszen egy osztály nemlétezését azzal bizonyítottuk, hogy beláttuk, megegyezik egy nemlétező halmazzal, ami mindenképpen problémás (ha egy halmaz nem létezik, akkor nem lehet vele egyenlő semmi, nem?). A precizírozás - kis jelentősége miatt nem végezzük el - nem nehéz, egy mondatban összefoglalható: miután Ω egyenlő Ψ-vel, ugyanúgy, ahogy az előző tételben, belátható, hogy Ω nem létezik. Azaz a megelőző tétel bizonyításában kell kicserélni a Ψ betűt Ω-ra, és ekkor minden ugyanúgy megy, mint ott. Ha ilyen bizonyítások előfordulnának más fejezetekben, azokat mindig az itt leírt szellemben kell felfogni.
  12. Kőnig Gyula: Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre. Leipzig, 1914., 211-214. o.

Lásd még[szerkesztés]

Lap teteje