Numerikus sorozatok/Részsorozatok

Definíció

Definíció – Indexsorozat, részsorozatok – Azt mondjuk, hogy az (nk) pozitív természetes számokból álló számsorozat indexsorozat, ha szigorúan monoton növekvő. Ha (nk) indexsorozat, (an) pedig sorozat, akkor az $b_{k}=a_{n_{k}}\,$ általános tagú sorozat részsorozata az (an) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha s sorozat és σ indexsorozat, akkor $s\circ \sigma \,$ összetett sorozat részsorozata az s sorozatnak.

Megjegyzések. Valójában nem szükséges, hogy az indexsorozat szigorúan monoton növekvő legyen, elegendő, hogy természetes számokból álljon és a +∞-hez tartson (mely fogalmat később definiálunk). Világos persze, hogy ha az indexsorozat szigorúan monoton növekvő és természetes számokból áll, akkor minden előre megadott egész számnál egy indextől kezdve nagyobbá válik, így a végtelenbe tart.

Példák.

1) Ha n_k = k² és a_n = 1/n, akkor

$a_{k^{2}}={\frac {1}{k^{2}}}$

természetesen az indextől nem függ a sorozat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az

$a_{n^{2}}={\frac {1}{n^{2}}}$

melyet úgy kapunk, hogy az a_n sorozat minden négyzetszámadik tagját kiválasztjuk és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexsorozat) rakjuk:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅, a₁₆, a₁₇, ...

Ha tehát (a_n²) = (a_k²) = (b_k), akkor ( a₁, a₄, a₉, a₁₆,...)=( b₁, b₂, b₃, b₄,...)

2) Ha n_k = k + 5 vagy általánosabban n_k = k + k₀, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve k₀ tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅, a₁₆, a₁₇, ...

Ha tehát (a_n+5) = (a_k+5) = (b_k), akkor ( a₆, a₇, a₈, a₉,...)=( b₁, b₂, b₃, b₄,...)

Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal

Tétel – Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Megjegyzés. Ez a tétel közvetlenül következik a sűrűsödési ponttal megfogalmazott alakjából, de a csúcselemes bizonyítása olyan közkedvelt, hogy ezt is tálaljuk mellé.

Bizonyítás. A tétel állításánál többet bizonyítunk, éspedig egy lemmát is mellékelünk.

Lemma – Minden sorozatnak van monoton részsorozata.

A lemma bizonyítása. Legyen a_N csúcselem, ha minden m > n-re a_n > a_m. Esetszétválasztással folytatjuk.

1) Ha véges sok csúcselem van, akkor legyen N a legutolsó csúcselem indexe. Ekkor rekurzióval definiálunk egy monoton növekvő részsorozatot.

• Legyen

n₁ := N+1

• Tegyük fel, hogy minden l < k-ra definiáltuk n_l-t, világos, hogy $a_{n_{k-1}}$ nem csúcselem, azaz létezik M > n_k-1, hogy $a_{n_{k-1}}\leq a_{M}\,$. Legyen ekkor

  n_k := M

Ekkor két dolgot kell igazolni. Egyfelől, hogy (n_k) szigorúan monoton növekvő, másfelől, hogy

$(a_{n_{k}})$ monoton növekvő.

Elvileg mindkettőt teljes indukcióval lehet bizonyítani, ám az ezekhez szükséges egyenlőtlenségek világosan látszanak a definícióból.

2) Ha végtelen sok csúcselem van, akkor a csúcselemek indexeik szerinti sorba rendezésével olyan részsorozatot kapunk, mely nyilvánvalóan (szigorúan) monoton csökkenő lesz.

A tétel bizonyítása. Világos, hogy korlátos sorozat esetén a kiválasztott monoton részsorozat is korlátos, így a monoton-korlátos kritérium miatt konvergens.

Néhány konvergencia-kritérium részsorozatokkal

Állítás – Konvergens sorozat részsorozatai – Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens és határértékük a sorozat határértéke.

Bizonyítás. Legyen ugyanis (a_n) konvergens és legyen (n_k) tetszőleges indexsorozat. Ekkor minden ε > 0 esetén az (a_n)-hez létezik N, hogy minden n > N-re |a_n - lim(a_n)| < ε. Világos, hogy ekkor (n_k) szigorú monotonitása miatt létezik olyan K, hogy n_K > N és így minden k > K-ra:

$|a_{n_{k}}-\lim(a_{n})|<\varepsilon$

azaz a részsorozat definíció szerint konvergens.

Állítás – Részsorozat, konvergencia, monotonitás – Ha a monoton sorozatnak van korlátos részsorozata, akkor maga a sorozat konvergens.

Bizonyítás. Legyen ugyanis (a_n) a monoton sorozat. Monoton sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos. Ha a sorozat nem lenne korlátos, akkor minden K > 0 -ra lenne olyan n, hogy minden m > n-re |a_m| > K. De ez azt jelenti, hogy az állításbeli korlátos részsorozata sem lehet korlátos, ami ellentmondás.

Feladatok

1. Legyen (a_n) tetszőleges valós számsorozat. Az alábbi két kijelentés melyike következik a másikból és melyike nem?

1. $(a_{n}^{2})$ monoton,
2. $(a_{n^{2}})$ monoton.

(Útmutatás: fejtsük ki definíció, mit értünk a fenti két sorozaton. Vizsgáljuk milyen kapcsolatban vannak (szükséges és elégséges feltétel szempontjából) egyenként az (a_n) monotonitásával. A negatív állítást ellenpéldával, a pozitívat bizonyítással igazoljuk.)

Megoldás

$1.\not \Rightarrow 2.$

Előkészítő magyarázat: a négyzetsorozat monotonitásából nem következik a sorozat monotonitása. Pl. (-1,1,-1,1,-1,...) négyzete monoton, de maga nem. Az ebből kiválasztott fenti részsorozat sem fog nőni: páros négyzetszámadik tagja 1, páratlan négyzetszámadik tagja -1. Ellenben az előzőből olyan részsorozat is kiválasztható, mely monoton.

Indoklás: ((-1)ⁿ) ellenpélda.

$2.\not \Rightarrow 1.$

Előkészítő magyarázat: attól még, hogy a négyzetedik tagjai, mint részsorozat monoton sorozatot alkotnak, a sorozat nem biztos, hogy monoton.

Indoklás:

$a_{n}=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {ha} \;n\;\mathrm {n} {\overset {,}{\mathrm {e} }}\mathrm {gyzetsz} {\overset {,}{\mathrm {a} }}\mathrm {m} \\0,&\mathrm {ha} \;n\;\mathrm {nem} \;\mathrm {n} {\overset {,}{\mathrm {e} }}\mathrm {gyzetsz} {\overset {,}{\mathrm {a} }}\mathrm {m} \end{matrix}}\right.$

(a_n) ellenpélda.

Érdemes megjegyezni, hogy ha a sorozatot az (a_n) ≡ s funkcionális szimbolizmussal jelöljük, a négyzetre emelés hozzárendelését id²-vel, (illetve $\scriptstyle {\mathrm {id} _{\mathbf {R} }^{2}:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ;\,x\mapsto x^{2}}$ a valós számok négyzetreemelés függvénye és $\scriptstyle {\mathrm {id} _{\mathbf {Z} ^{+}}^{2}:\mathbf {Z} ^{+}\to \mathbf {Z} ^{+};\,n\mapsto n^{2}}$ a pozitív egész számok négyzetreemelés függvénye), akkor a két sorozat a következő függvénykompozícióként áll elő:

$(a_{n}^{2})\equiv \mathrm {id} _{\mathbf {R} }^{2}\circ s$ és

$(a_{n^{2}})\equiv s\circ \mathrm {id} _{\mathbf {Z} ^{+}}^{2}$

2. Legyen (a_n) tetszőleges valós számsorozat. Igazoljuk, hogy az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással!

1. $(a_{n})\,$ konvergens,
2. minden k természetes számra $(a_{n\!+\!k})$ konvergens,
3. létezik k természetes szám, hogy $(a_{n\!+\!k})$ konvergens.

(Útmutatás: A kijelentés lényegében a konvergencia lokalitásáról szóló tétel újrafogalmazása, hát használjuk föl ezt. Ekvivalencialáncolat igazolása a legtöbbször úgy történik, hogy belátjuk az 1. $\to$ 2., 2. $\to$ 3., ... n. $\to$ 1. implikációk igazságát.)

Megoldás

1. $\to$ 2. A konvergencia definíciója miatt az (a_n) sorozat esetén tetszőleges ε>0-hoz létezik N, hogy |lim(a_n) - a_n|<ε, valahányszor n > N. Így l > N - k-ra |lim(a_n) - a_l+k|<ε teljesül, hiszen l + k > N.

2. $\to$ 3.

3. Igazoljuk, hogy felülről nem korlátos sorozatból kiválasztható végtelenbe tartó részsorozat.

(Útmutatás: Adjunk meg olyan részsorozatot, melyet minorál a természetes számok (n) sorozata.)

Megoldás

Legyen (a_n) a sorozat. Minthogy felülről nem korlátos, ezért minden K > 0 számra létezik n, hogy a_n > K. Eszerint minden k természetes számra az

$\{m\mid a_{m}>k\}\,$

nem üres.

1) Legyen

$n_{1}:=\min\{m\mid a_{m}>1\}$

2) Ha az indexsorozat k-1-re már definiált, akkor legyen

$n_{k}:=\min\{m\mid a_{m}>k,m>k-1\}$

Világos, hogy az előbb felírt halmaz sem üres minden k-ra, továbbá, látszik a sorozat olyan rekurzív tulajdonsága, mely a szigorú monotonitást biztosítja.