Numerikus sorozatok/Részsorozatok

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Definíció[szerkesztés]

DefinícióIndexsorozat, részsorozatok – Azt mondjuk, hogy az (nk) pozitív természetes számokból álló számsorozat indexsorozat, ha szigorúan monoton növekvő. Ha (nk) indexsorozat, (an) pedig sorozat, akkor az

általános tagú sorozat részsorozata az (an) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha s sorozat és σ indexsorozat, akkor

összetett sorozat részsorozata az s sorozatnak.

Megjegyzések. Valójában nem szükséges, hogy az indexsorozat szigorúan monoton növekvő legyen, elegendő hogy természetes számokból álljon és a +∞-hez tartson (mely fogalmat később definiálunk). Világos persze, hogy ha az indexsorozat szigorúan monoton növekvő és természetes számokból áll, akkor minden előre megadott egész számnál egy indextől kezdve nagyobbá válik, így a végtelenbe tart.

Példák.

1) Ha nk = k2 és an = 1/n, akkor

természetesen az indextől nem függ a sorozat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az

melyet úgy kapunk, hogy az an sorozat minden négyzetszámadik tagját kiválasztjuk és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexsorozat) rakjuk:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an2) = (ak2) = (bk), akkor ( a1, a4, a9, a16,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

2) Ha nk = k + 5 vagy általánosabban nk = k + k0, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve k0 tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an+5) = (ak+5) = (bk), akkor ( a6, a7, a8, a9,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal[szerkesztés]

TételBolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Megjegyzés. Ez a tétel közvetlenül következik a sűrűsödési ponttal megfogalmazott alakjából, de a csúcselemes bizonyítása olyan közkedvelt, hogy ezt is tálaljuk mellé.

Bizonyítás. A tétel állításánál többet bizonyítunk, éspedig egy lemmát is mellékelünk.

Lemma – Minden sorozatnak van monoton részsorozata.

A lemma bizonyítása. Legyen aN csúcselem, ha minden m > n-re an > am. Esetszétválasztással folytatjuk.

1) Ha véges sok csúcselem van, akkor legyen N a legutolsó csúcselem indexe. Ekkor rekurzióval definiálunk egy monoton növekvő részsorozatot.

  • Legyen
n1 := N+1
  • Tegyük fel, hogy minden l < k-ra definiáltuk nl-t, világos, hogy nem csúcselem, azaz létezik M > nk-1, hogy . Legyen ekkor
    nk := M

Ekkor két dolgot kell igazolni. Egyfelől, hogy (nk) szigorúan monoton növekvő, másfelől, hogy

monoton növekvő.

Elvileg mindkettőt teljes indukcióval lehet bizonyítani, ám az ezekhez szükséges egyenlőtlenségek világosan látszanak a definícióból.

2) Ha végtelen sok csúcselem van, akkor a csúcselemek indexeik szerinti sorba rendezésével olyan részsorozatot kapunk, mely nyilvánvalóan (szigorúan) monoton csökkenő lesz.

A tétel bizonyítása. Világos, hogy korlátos sorozat esetén a kiválasztott monoton részsorozat is korlátos, így a monoton-korlátos kritérium miatt konvergens.

Néhány konvergencia-kritérium részsorozatokkal[szerkesztés]

ÁllításKonvergens sorozat részsorozatai – Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens és határértékük a sorozat határértéke.

Bizonyítás. Legyen ugyanis (an) konvergens és legyen (nk) tetszőleges indexsorozat. Ekkor minden ε > 0 esetén az (an)-hez létezik N, hogy minden n > N-re |an - lim(an)| < ε. Világos, hogy ekkor (nk) szigorú monotonitása miatt létezik olyan K, hogy nK > N és így minden k > K-ra:

azaz a részsorozat definíció szerint konvergens.

ÁllításRészsorozat, konvergencia, monotonitás – Ha a monoton sorozatnak van korlátos részsorozata, akkor maga sorozat konvergens.

Bizonyítás. Legyen ugyanis (an) a monoton sorozat. Monoton sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos. Ha a sorozat nem lenne korlátos, akkor minden K > 0 -ra lenne olyan n, hogy minden m > n-re |am| > K. De ez azt jelenti, hogy az állításbeli korlátos részsorozata sem lehet korlátos, ami ellentmondás.

Feladatok[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1. Legyen (an) tetszőleges valós számsorozat. Az alábbi két kijelentés melyike következik a másikból és melyike nem?

  1. monoton,
  2. monoton.

(Útmutatás: fejtsük ki definíció, mit értünk a fenti két sorozaton. Vizsgáljuk milyen kapcsolatban vannak (szükséges és elégséges feltétel szempontjából) egyenként az (an) monotonitásával. A negatív állítást ellenpéldával, a pozitívat bizonyítással igazoljuk.)


Nuvola apps important square.svg

2. Legyen (an) tetszőleges valós számsorozat. Igazoljuk, hogy az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással!

  1. konvergens,
  2. minden k természetes számra konvergens,
  3. létezik k természetes szám, hogy konvergens.

(Útmutatás: A kijelentés lényegében a konvergencia lokalitásáról szóló tétel újrafogalmazása, hát használjuk föl ezt. Ekvivalencialáncolat igazolása a legtöbbször úgy történik, hogy belátjuk az 1. 2., 2. 3., ... n. 1. implikációk igazságát.)


Nuvola apps important square.svg

3. Igazoljuk, hogy felülről nem korlátos sorozatból kiválasztható végtelenbe tartó részsorozat.

(Útmutatás: Adjunk meg olyan részsorozatot, melyet minorál a természetes számok (n) sorozata.)