Numerikus sorozatok/Konvergencia

Konvergens sorozatok

A konvergencia definíciója és sűrűsödési pontok

Vizsgálódásunk homlokterébe most azon sorozatok kerülnek, amiknek létezik véges értékű sűrűsödési pontjuk és csak egyetlen sűrűsödési pontjuk létezik.

Állítás. Ha az (an) sorozatnak egyetlen sűrűsödési pontja az A ∈ R szám, akkor az A minden ε > 0 sugarú környezetén kívül csak véges sok eleme van.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel ugyanis, hogy az (A - ε,A + ε) intervallumon kívül is van végtelen sok elem. Ekkor vagy nem korlátos, és akkor a +∞ vagy a -∞ általános értelemben vett sűrűsödési pontja, ami a feltétel szerint lehetetlen. Vagy korlátos, például az [a,b] intervallum tartalmazza és akkor az [a,b] / (A - ε,A + ε) zárt halmazban a sorozatnak végtelen sok eleme van. Ekkor vagy felül, vagy alul egy zárt korlátos intervallumában is végtelen sok eleme található, amely egy sorozatot alkot, melynek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint van sűrűsödési pontja. Ez a pont az eredeti sorozatnak is sűrűsödési pontja, ami lehetetlen a feltevés szerint.

Most foglalkozzunk azokkal a sorozatokkal, melyek olyanok, hogy egy A valós szám minden ε > 0 sugarú környezetén kívül csak véges sok eleme van. Például minden ε > 0 szám esetén az (A - ε,A + ε) intervallumon kívül csak véges sok elem található. Világos, hogy ekkor van olyan N természetes szám, hogy az N-edik tagtól kezdve a sorozatnak már minden eleme az (A - ε,A + ε)-ben van. Ezt a Wallistól eredő tulajdonságot fogjuk a konvergencia definíciójának tekinteni, és az ennek a tulajdonságnak eleget tevő sorozatokat fogjuk konvergensnek mondani.

Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan: $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \quad n\geq N_{\varepsilon }\quad \Rightarrow \quad |a_{n}-A|<\varepsilon$

Példák. Az $\left({\frac {1}{n}}\right)$, $\left({\frac {2}{3n+4}}\right)$, $\left({\frac {3}{n^{2}}}\right)$ sorozatok konvergensek.

Ugyanis, Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így A-ra alkalmas értéknek látszik a 0.

Legyen ε > 0. Mindegyikre keresünk olyan N-t, amire teljesül, hogy ha n > N, akkor |a_n| < ε. Rendezve az egyenlőtlenségeket:

${\begin{matrix}{\cfrac {1}{n}}<\varepsilon \quad \quad &{\cfrac {2}{3n+4}}<\varepsilon \quad \quad &{\cfrac {3}{n^{2}}}<\varepsilon \\&&\\n>{\cfrac {1}{\varepsilon }}\quad \quad &{\cfrac {3n+4}{2}}>{\cfrac {1}{\varepsilon }}\quad \quad &{\cfrac {n^{2}}{3}}>{\cfrac {1}{\varepsilon }}\\&&\\N>{\cfrac {1}{\varepsilon }}\quad \quad &N>{\cfrac {2}{3\varepsilon }}>{\cfrac {{\frac {2}{\varepsilon }}-4}{3}}\quad \quad &N>{\sqrt {\cfrac {3}{\varepsilon }}}\end{matrix}}$

Ha tehát N a fenti tulajdonságú, akkor |a_n| < ε mindháromnál teljesül minden n > N-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).

Feladat. Konvergens-e az $a_{n}={\frac {5n+2}{2n+7}}$ általános tagú sorozat?

(Útmutatás: képezzük az |a_n - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)

Megoldás

Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |a_n - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez

$\left|{\frac {5n+2}{2n+7}}-{\frac {5}{2}}\right|=\left|{\frac {2(5n+2)-5(2n+7)}{2\cdot (2n+7)}}\right|=\left|{\frac {10n+4-10n-35)}{2\cdot (2n+7)}}\right|=$

$\left|{\frac {-31}{2\cdot (2n+7)}}\right|={\frac {31}{2\cdot (2n+7)}}$

Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a

${\frac {31}{2\cdot (2n+7)}}<\varepsilon$

egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)

$2\cdot (2n+7)>{\frac {31}{\varepsilon }}$

$n>{\frac {{\frac {31}{2\varepsilon }}-7}{2}}$

Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az

$r={\frac {{\frac {31}{2\varepsilon }}-7}{2}}$

számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha

$n>N=\left[{\frac {{\frac {31}{2\varepsilon }}-7}{2}}\right]$,

ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor

$\left|{\frac {5n+2}{2n+7}}-{\frac {5}{2}}\right|<\varepsilon$

Megjegyzés. Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy n értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő A számot: helyettesítsünk n helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha n helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár naiv módszernek is.

A konvergencia lokalitása

Tétel – A konvergencia lokalitása – Ha (an) és (bn) olyan sorozatok, hogy egy N természetes számra $\forall n\in \mathbf {Z} ^{+}\quad n>N\Rightarrow a_{n}=b_{n}$ akkor (an) és (bn) ekvikonvergens, azaz vagy mindkettő konvergens, vagy egyik sem konvergens.

A konvergencia lokalitásának doktrínájáról és a küszöbindex fogalmáról. Az elv, ami az előző tételből következik az, hogy

a konvergencia tényén nem változtat, ha a sorozat első valamely véges sok elemét megváltoztatjuk.

Ebből vagy a definícióból ugyanis következik, hogy ha (a_n) konvergens és ε > 0, akkor létezik egy legkisebb N, melyre

n > N ⇒ |a_n - A| < ε

Ezt a számot néha küszöbindexnek is nevezik. A konvergencia tényének belátásához azonban (sőt a határérték meghatározásához) egyáltalán nincs szükség arra, hogy meghatározzuk ezt a legkisebb elemet. Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy küszöbindexet kell csak keresnünk és nem a legkisebbet. Persze mellőzhetjük is a küszöbindex kifejezés használatát és ezzel az elnevezésből adódó félreértéseket kiküszöböltük.

A határérték és egyértelműsége

Ahhoz, hogy konvergens sorozat határértékét definiálni tudjuk, annak jóldefiniáltsági tulajdonságát kell igazolnunk.

Állítás – A határérték egyértelműsége – Ha az (an) sorozat konvergens, akkor egyetlen olyan A valós szám van, melyre teljesül: ∀ε > 0 ∃N ∈ Z+ ∀n ∈ Z+ (n > N ⇒ |an - A| < ε)

Bizonyítás. Ha lenne B < A két ilyen szám, akkor az

$I_{1}=\left(B-{\frac {A-B}{2}},B+{\frac {A-B}{2}}\right)$ és $I_{2}=\left(A-{\frac {A-B}{2}},A+{\frac {A-B}{2}}\right)$

diszjunkt intervallumokhoz lenne N₁ és N₂, hogy ezektől kezdve rendre a sorozat összes tagja az $I_{1}$ és $I_{2}$ intervallumokban van. Ez viszont lehetetlen, mert ha n > N₁,N₂, akkor a_n mindkét intervallumban benne lenne.

Definíció – Konvergens sorozat határértéke – Az (an) konvergens számsorozat határértékének nevezzük azt az A számot, mely a konvergencia definíciójában foglalt tulajdonságok szerint létezik és az előző állítás szerint egyértelmű. Jelölése: $\lim(a_{n})\,$ vagy $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\,$

Az alábbi állítást a konvergencia korlátossággal megfogalmazott szükséges kritériumnak nevezik és ugyanolyan egyszerű, de lényeges következménye a konvergencia definíciójának, mint a határérték egyértelműsége.

Konvergens sorozat korlátos

Állítás – A konvergencia korlátossággal megfogalmazott szükséges feltétele – Konvergens sorozat korlátos.

Bizonyítás. Legyen (a_n) konvergens sorozat, A olyan szám, amit a definíció biztosít és legyen ε = 1. Ekkor ehhez a számhoz létezik N, hogy minden n > N-re a_n ∈ (A - ε,A + ε). De akkor a sorozat korlátos, mert ha az a₁, a₂, ... , a_N-1, A - ε véges sok elem közül a legkisebbet tekintjük, akkor az alsó korlátja lesz a sorozatnak, ha a a₁, a₂, ... , a_N-1, A + ε véges sok elem közül a legnagyobbat tekintjük, akkor az felső korlátja lesz a sorozatnak.

Mindezek miatt a konvergencia megfogalmazható a sűrűsödési pont fogalmának felhasználásával is.

Következmény – Sűrűsödési pont egyértelmű létezése és a konvergencia – Egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha egyetlen (akár általános értelmében is vett) sűrűsödési pontja van és ez véges.

Bizonyítás. (1) A konvergencia definíciója előtti állításban azt az irányt már beláttuk, hogy ha csak egyetlen sűrűsödési helye van a sorozatnak és ez véges, akkor konvergens.

(2) A másik irány belátásához tegyük fel, hogy az (a_n) sorozat konvergens. Ekkor a definícióbeli A valós szám egyértelmű.

(a) A sűrűsödési helye a sorozatnak. Hiszen minden környezetében egy index után az összes elem benne van, azaz végtelen sok.

(b) A az egyetlen sűrűsödési helye, ugyanis ha B ≠ A is sűrűsödési helye lenne és r az két szám távolságának fele, akkor az (A - r, A + r) intervallumon kívül is végtelen sok eleme lenne a sorozatnak, amit kizár a konvergencia definíciója. Végtelen sűrűsödési helye pedig azért nem lehet, mert ekkor nem lenne korlátos a sorozat.