Numerikus sorozatok/Végtelen határérték

A végtelen mint határérték

Definíció – Végtelen határértékű sorozatok – Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat határértéke a +∞, ha minden K valós számhoz található olyan N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra $a_{n}>K\,$ Ezt a tényt úgy jelöljük, hogy $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=+\infty \,$ vagy $\lim(a_{n})=+\infty \,$ Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat határértéke a -∞, ha minden k valós számhoz található olyan N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra $a_{n}<k\,$ Ezt a tényt úgy jelöljük, hogy $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=-\infty \,$ vagy $\lim(a_{n})=-\infty \,$

Megjegyzések. 1) Az, hogy (a_n) valós számsorozat határértéke a +∞, többet jelent annál, mint hogy ez a sorozat felülről nem korlátos. Azt jelenti, hogy minden K előre megadott értéket egy indextől kezdve meghalad. Például a

$\left((-1)^{n}\cdot n\right)=(-1,2,-3,4,-5,6,...)$

sorozat felülről nem korlátos, de nem tart a +∞-be, mert minduntalan negatív értékeket is felvesz. Ennek a sorozatnak tehát nincs, még végtelen határértéke sem.

2) Az sem igaz, hogy egy +∞-be tartó sorozatnak monoton növekvőnek kell lennie. A

$\left(2\cdot \sin \left({\frac {\pi n}{2}}\right)+n\right)=(3,2,1,4,7,6,...)$

általános tagú sorozat az (n) sorozat körül ingadozik 2 amplitúdóval, de ha K tetszőleges valós szám, akkor az

$a_{n}=2\cdot \sin \left({\frac {\pi n}{2}}\right)+n\geq n-2>K\,$

csökkentéssel N > K + 2 természetes számot választva igaz lesz, hogy minden n > N-re a_n > K. Tehát a sorozat határértéke a plusz végtelen.

Végtelen határérték és alapműveletek

Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és

1. a_n $\to$ a ∈ R és b_n $\to$ b ∈ R,
2. (a_n * b_n) értelmezett és
3. a * b is értelmezett,

akkor a_n * b_n $\to$ a * b.

Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:

1. a_n $\equiv$ 1 $\to$ 1 és b_n = 1/n $\to$ 0,
2. a_n/b_n $\equiv$ 1/(1/n) értelmezett, de
3. 1/0 nem értelmezett

és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.

Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +∞, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -∞-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden a_n $\to$ 1, és b_n $\to$ 0 sorozat esetén a_n/b_n $\to$ +∞ lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.

Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:

Ha A és B valamelyike a +∞ vagy -∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az A * B alapműveletet akkor értelmezzük a C szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +∞, -∞ egyike), ha minden, az A-hoz tartó (a_n) sorozatra és minden, a B-hez tartó (b_n) sorozatra az (a_n * b_n) sorozat szükségszerűen a C-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az

A * B = C

definíció jó.

Például a (+∞) + (+∞) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a +∞-hez tartó sorozat összege is a +∞-hez tart. Ellenben például a 0$\cdot$(+∞) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) $\cdot$ n $\to$ 1, de (1/n) $\cdot$ n² $\to$ +∞.

Definíció – Végtelen értékek és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +∞, -∞ szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban r tetszőleges valós szám, p tetszőleges pozitív szám: $(\pm \infty )+(\pm \infty )=\pm \infty ,\quad \quad (\pm \infty )+r=\pm \infty$, $(\pm \infty )-(\mp \infty )=\pm \infty ,\quad \quad (\pm \infty )-r=\pm \infty ,\quad \quad r-(\pm \infty )=\mp \infty$, $(\pm \infty )\cdot (\pm \infty )=+\infty ,\quad \quad (+\infty )\cdot (-\infty )=-\infty ,\quad \quad (\pm \infty )\cdot (\pm p)=+\infty ,\quad \quad (\pm \infty )\cdot (\mp p)=-\infty$, ${\frac {r}{\pm \infty }}=0\quad \quad {\frac {\pm \infty }{\pm p}}=+\infty ,\quad \quad {\frac {\pm \infty }{\mp p}}=-\infty$, és a szorzás és az összeadás kommutatív.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők: $(\pm \infty )-(\pm \infty )$, $0\cdot (\pm \infty ),\quad \quad (\pm \infty )\cdot 0$, ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }},\quad \quad {\frac {\pm \infty }{\mp \infty }},\quad \quad \left(\;{\frac {r}{0}}\;\right)$.

Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy a_n $\to$ 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (a_n) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a b_n $\to$ 0- kifejezésen azt értjük, hogy az (a_n) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden 0-ra vonatkozó művelet érvényes, valamint értelmezhető az alábbi művelet is:

${\frac {p}{0\pm }}=\pm \infty ,\quad \quad {\frac {-p}{0\pm }}=\mp \infty ,$.

de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.

Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók – Ha az (an) és (bn) sorozatoknak létezik határértéke, az (an * bn) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(an) * lim(bn) alapművelet elvégezhető, akkor az (an * bn) sorozatnak is van határértéke és ez: $\lim(a_{n}\,{\mbox{*}}\,b_{n})=\lim(a_{n})\,{\mbox{*}}\,\lim(b_{n})\,$ Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A tétel minden nehézség nélkül bizonyítható, de minden részletre kiterjedő bizonyítása rendkívül hosszadalmas és triviális lépések egymásutánjából áll. Ellenben az olvasó feladata lehet, hogy az összes határozatlan esetre találjon az értelmezhetetlenséget igazoló példát.

Feladatok

1. Igazoljuk, hogy az 1/0+ művelet értelmezhető!

(Útmutatás: igazoljuk a határérték és a 0+ definíciója szerint.)

Megoldás

Ha p_n pozitív értékű sorozat (vagy legalább is egy indextől kezdve pozitív) és határértéke a 0, akkor reciprokának határértéke a +∞. Ugyanis tetszőleges K > 0 szám esetén az 1/K számhoz van olyan N, hogy n > N index esetén

$p_{n}<{\frac {1}{K}}\,$

azaz

${\frac {1}{p_{n}}}>K\,$

2. Igazoljuk, hogy a (+∞) - (+∞) művelet nem értelmezhető!

(Útmutatás: Keressünk olyan sorozatpárokat, melyek mind a plusz végtelenhez tartanak, de a különbségük máshova tart az egyiknél, mint a másik sorozatpárnál. Kereshetünk olyan sorozatpárt is, melyek különbségének nincs határértéke. Vagy a kettőt az "összefésüléssel" kombinálhatjuk is.)

Megoldás

${\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{a_{n}}}\;-\;{\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{b_{n}}}$

alakú esetre

${\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{2n}}\;-\;{\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{n}}=n\quad \to +\infty$

miközben

${\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{(n+2)}}\;-\;{\underset {\underset {+\infty }{\downarrow }}{n}}=2\quad \to 2$

A másik megoldás: ( (n + (-1)ⁿ) – n ). Ennél a különbség a ((-1)ⁿ) alternálva divergens sorozat (nincs még végtelen határértéke sem).

Vagy "összefésüléssel": (a_n) párosokra 2n, páratlanokra n+2, (b_n) az (n). Ekkor a különbség párosokra n, páratlanokra 2, azaz szintén egy olyan sorozat, melynek nincs semmilyen határértéke.

3. Igazoljuk, hogy az 1^+∞ művelet nem értelmezhető!

(Útmutatás: ua., mint az előzőnél, csak hatványozásra.)

Megoldás

${\underset {\underset {1}{\downarrow }}{(a_{n})\!}}^{\overset {\overset {+\infty }{\uparrow }}{b_{n}}}$

alakú határozatlan eset:

${\underset {\underset {1}{\downarrow }}{1\!\!\!}}^{\overset {\overset {+\infty }{\uparrow }}{n}}\equiv 1\to 1$

de

${\underset {\underset {1}{\downarrow }}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\!\!\!}}^{\overset {\overset {+\infty }{\uparrow }}{n}}\to e$