Numerikus sorozatok/Konvergenciakritériumok

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Konvergenciakritériumok[szerkesztés]

A definíció szerint ahhoz, hogy egy sorozat konvergens voltát belássuk, azt kell igazolni, hogy van egy olyan szám, amely a sorozatnak határértéke. Ahhoz tehát, hogy állíthassuk a konvergencia tényét, vagyis azt, hogy a sorozat egy számhoz konvergál, meg kell adnunk ezt a számot. Ha nem tudjuk, hogy mi a határérték, elvileg végig kéne ellenőriznünk az összes valós számot, hogy megállapítsuk, az a szám valóban határérték-e vagy sem. Világos, hogy ennek a vizsgálatnak az elvégzése, már csak elvi okokból is (ti. végtelen sok, sőt kontinuum sok valós szám van) nagy nehézségbe ütközik. A konvergens sorozatok vizsgálatánál tehát élesen elválik két tevékenység:

  1. a konvergencia tényének belátása, az hogy a sorozatnak létezik véges határértéke és
  2. a határérték kiszámítása, meghatározása

Azokat a tételeket, melyek a 1. pontban foglalt tény belátásához adnak elégséges vagy szükséges feltételeket (és ezáltal megkönnyítik a konvergencia tényét firtató kérdésekre adandó válaszadást) konvergenciakritériumoknak nevezzük.

Monoton, korlátos sorozatok[szerkesztés]

A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.

Monoton sorozat[szerkesztés]

Definíció – Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat
  1. monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
    szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
  2. monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:
    szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:
  3. monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
  4. szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő

Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: an > am

Példák[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1. Igazoljuk, hogy az

általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)


Nuvola apps important blue.svg

2. Igazoljuk, hogy az

általános tagú sorozat monoton nő!

(Útmutatás: használjuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az számokból álló n+1 tagú véges sorozatra.)


Nuvola apps important square.svg

3. Igazoljuk a

rekurzív módon megadott sorozatról, hogy szigorúan monoton növekvő!

(Útmutatás: teljes indukcióval.)

Monoton-korlátos kritérium[szerkesztés]

Tétel a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.

Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.

Bizonyítás. Legyen (an) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (an) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(an) számhoz.

Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(an)–ε már nem felső korlátja (an)-nek, így létezik N természetes szám, hogy

Mivel (an) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra

így minden n > N-re

ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(an) szám ε sugarú környezetében.

Az Euler-féle példa[szerkesztés]

Nuvola apps important blue.svg

Igazoljuk, hogy az

általános tagú sorozat konvergens!

(Útmutatás: a monotonitást már fent beláttuk; a korlátossághoz alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az számokból álló n+2 tagú véges sorozatra.)


Megjegyzés. Természetesen azt nem állítjuk, hogy a 4 a sorozat felső határa lenne. Ennek a sorozatnak a határértéke az Euler-féle e szám, melyet néha úgy definiálnak, mint az utóbbi sorozat határértékét. Részletesebb számítással az is belátható, hogy a sorozat határértéke nem nagyobb 3-nál, ám világos, hogy a sorozat konvergenciáját már az előző gondolatmenettel is minden kétséget kizáróan igazoltuk.

Pozitív tagú sorok[szerkesztés]

Nemnegatív tagú részletösszegsorozat, azaz

alakú sorozat, ahol (pk) nemnegatív tagú sorozat, mindig monoton növekvő, így csak a korlátosságát kell belátni.


Nuvola apps important blue.svg

Igazoljuk, hogy az

általános tagú sorozat konvergens!

(Útmutatás: igazoljuk az ennél nagyobb általános tagokból álló sorozat korlátosságát.)

Megjegyzés. Természetesen ezesetben sem állítjuk, hogy a sorozat felső határa a 2. Később, részletesebb vizsgálatokkal kideríthatő, hogy ez a szám a π2/6. Ennek a határértéknek a kiszámítását bázeli prolémának nevezzük a megoldása pedig szintén Euler nevéhez fűződik.

Cauchy-féle konvergenciakritérium[szerkesztés]

Egy jelentős, a határértékre nem hivatkozó szükséges és elégséges feltételt Cauchy fogalmazott meg. Hangsúlyozzuk, hogy ez a tétel óriási horderejű, hiszen azt állítja, hogy a konvergenciavizsgálatnál elegendő csak a sorozatot vizsgálni és nem kell megsejteni előre a határértékét.

Tétel – Cauchy-féle konvergenciakritérium – Az (an) sorozat akkor és csak akkor konverges, ha teljesül az alábbi kijelentés:

Bizonyítás.

(1) Először tegyük fel, hogy az (an) sorozat konvergens. Ekkor azt kell belátnunk, hogy tetszőleges ε pozitív számra van olyan N természetes szám, hogy

Világos, hogy mivel (an) az A számhoz konvergál, ezért tetszőleges ε'-höz létezik M, hogy minden k > M-re

Így tehát tetszőleges n és m számokra, melyek M-nél nagyobbak:

és

Tehát ha az |an - am| távolságot akarjuk felülbecsülni, akkor a háromszög-egyenlőtlenséggel:

ha tehát az ε = 2ε' számnak megfelelőhöz, azaz ε'=ε/2-höz választunk M-et és az

definíciót tekintjük, akkor pont a kívánt egyenlőtlenséget kapjuk, azaz

(2) A másik irányhoz kellene találnunk egy A számot, mely alkalmas a sorozat határértékének. Ehhez először belátjuk, hogy a sorozat korlátos, majd a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételre hivatkozva rögzítünk egy sűrűsödési pontot, mely a határérték szerepét fogja játszani.

(a) Belátjuk, hogy (an) korlátos. ε = 1-re létezik N, hogy minden n, m > N-re

Rögzítsünk egy M > N számot ekkor ezzel is minden n > N-re

azaz a sorozat M-nél nagyobb indexű tagjai az (aM - 1 , aM + 1) korlátos intervallumban vannak. Az N-nél kisebb tagok viszont csak véges sokan vannak, így a sorozat nem lehet nem korlátos.

(b) Legyen A sűrűsödési pontja (an)-nek. Belátjuk, hogy A a sorozat határértéke. Legyen ε > 0 és válasszunk ε/2-höz olyan Mε/2 számot (a Cauchy-tulajdonság folytán), hogy minden n,m > Mε/2-re

teljesüljön. Ekkor, minthogy A minden környezetében végtelen sok tagja van a sorozatnak, azon indexek m halmaza végtelen, melyekre

teljesül. Ezek közül legyen k egy olyan, mely nagyobb Mε/2-nél (itt lényegesen kihasználjuk, hogy végtelen sok ilyen indexérték van). Ekkor tetszőleges n > Mε/2-re:

ha tehát Nε-nek az Mε/2-et választjuk, akkor a kívánt egyenlőséget kapjuk, azaz tetszőleges ε > 0-ra

teljesül.

Megjegyzés. Az olyan (an) sorozatokat, melyek teljesítik a

tulajdonságot, Cauchy-sorozatoknak nevezzük. A tétel szerint a valós számok körében a Cauchy-sorozatok a konvergens sorozatok. Más számkörökben (illetve metrikus vagy normált terekben) általában csak az igaz, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. Ez kiderül a bizonyításból is, hiszen az (1) rész változatlanul marad minden metrikus térben, míg (2) irány csak azokban, melyekben teljesül a Bolzano–Weierstrass-tétel. A racionális számok halmazában például ellenpélda a négyzetgyök kettőt kijelölő intervallumfelezéses eljárásban adódó két sorozat. Ezek nem konvergensek, bár a Cauchy-tulajdonság (lévén az 1/2n-nel szűkülők) igaz rájuk.

Példák[szerkesztés]

1. Olyan eseben, amikor egy részletösszegsorozat egy nem feltétlenül azonos előjelű sorozatról készül, tehát ha

alakú, ahol (bk) akár eltérő előjelű értékeket is felvehet, a monotonitás nem garantált. Ilyen esetekben néha célra vezet a Cauchy-féle kritérium alkalmazása.


Nuvola apps important blue.svg

Igazoljuk, hogy az

általános tagú sorozat konvergens!

(Útmutatás: becsüljük felül a szóban forgó különbségeket az 1/2 hányadosú mértani sorozat tagjaival.)

Megjegyezzük, hogy az ilyen típusú, azaz

alakú részletösszegsorozatokra (később sornak fogjuk nevezni), ahol (pk) nemnegatív, monoton csökkenő módon a nullához tartó, sorozatok konvergenciájával a később említendő Leibniz-kritérium foglalkozik.


Nuvola apps important blue.svg

2. Minthogy a Cauchy-kritérium szükséges feltétel is, ezért divergencia kimutatására is alkalmas. Erre nevezetes példa az alábbi

általános tagú részletösszeg sorozat. Igazoljuk, hogy ez nem konvergens!

(Útmutatás: válasszuk a szükséges n és m számokat N-nek és 2N-nek.)

Rendőrelv[szerkesztés]

Az alábbi kritérium azon kívül, hogy a konvergencia tényét megállapítja, a határértéket is megadja.

TételKözrefogási elv (rendőrelv, csendőrszabály, zsandárszabály, ...) – Ha (an) illetve (bn) az A számhoz konvergáló sorozatok, és (cn) olyan sorozat, hogy egy N természetes számtól kezdve minden n-re

akkor (cn) is konvergens és határértéke A.

Bizonyítás. Tetszőleges ε pozitív számhoz létezik N1, hogy minden n > N1 esetén

és létezik N2, hogy minden n > N2 esetén

Ezért ha N az N1 és N2 közül a nem kisebb, akkor minden n > N-re

amiből rögtön leolvasható, hogy