Numerikus sorozatok/Korlát és határ

Korlát és határ

Világos, hogy egy valós számsorozat mint függvény (hozzárendelés) értelmezési tartománya a természetes számok halmaza:

$\mathrm {Dom} (a_{n})=\mathbb {Z} ^{+}\,$

(esetleg hozzávehetjük a 0-t, vagy elhagyhatunk véges sok elemet). Értékkészlete (azaz a sorozat által a természetes számokhoz rendelt számok összessége) nyilván a valós számok egy megszámlálható részhalmaza:

$\mathrm {Ran} (a_{n})\subseteq \mathbb {R}$ ahol $|\mathrm {Ran} (a_{n})|\leq |\mathbb {Z} ^{+}|$

Definíciók

Legyen H halmaz, (a_n) pedig számsorozat.

Korlátosság

Azt mondjuk, hogy H korlátos, ha találhatunk olyan k és K számot, hogy H minden eleme k és K közé esik, vagy egyenlő vele. Szimbolikusan:

$\exists k\in \mathbb {R} \quad \exists K\in \mathbb {R} \quad \forall x\in H\quad \quad k\leq x\leq K$

1. (a_n)-t korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete korlátos, azaz létezik olyan k és K szám, hogy minden n ∈ Z⁺-ra $\scriptstyle {k\leq a_{n}\leq K}$.
2. (a_n) tehát nem korlátos, ha vagy minden k-ra létezik n, hogy a_n < k, vagy minden K-ra létezik n, hogy K < a_n.

A korlátosságot még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy

$\exists K\in \mathbb {R} ^{+}\quad \forall x\in H\quad \quad |x|\leq K$

illetve

$\exists K\in \mathbb {R} ^{+}\quad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}\quad \quad |a_{n}|\leq K$

Megjegyezzük, hogy az üres halmaz korlátos, mert ellenkező esetben lenne végtelen sok tagja, melynek abszolút értéke minden előre megadott számnál nagyobb. Ebből még az is következik, hogy minden véges halmaz is korlátos.

Felülről korlátos

Azt mondjuk, hogy H felülről korlátos, ha találunk olyan K számot, hogy H minden eleme K-nál nem nagyobb. Szimbolikusan:

$\exists K\in \mathbb {R} \quad \forall x\in H\quad \quad x\leq K$

Ebben az esetben K a H egy felső korlátja (világos, hogy ilyenből több is lehet).

1. (a_n)-t felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz létezik olyan K szám, hogy minden a_n a K-nál nem nagyobb:

   $\exists K\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}\quad \quad a_{n}\leq K$

   Ekkor a K valós szám a sorozat egyik felső korlátja.

2. (a_n) tehát felülről nem korlátos, ha minden K-ra létezik n, hogy K < a_n, azaz (a_n) „minden határt túllép”:

   $\forall K\in \mathbb {R} \quad \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\quad a_{N}>K\,$

Megjegyezzük, hogy a definíció értelmében az üres halmaz felülről korlátos és minden szám felső korlátja, ellenkező esetben ugyanis lenne az üres halmaznak olyan eleme, mely egy előre megadott számnál nagyobb lenne, ami lehetetlen – lévén az üres halmaz elemnélküli.

A H halmaz legkisebb felső korlátját (ha van), a H szuprémumának, vagy felső határának nevezzük és

$\sup H\,$

-val jelöljük.

1. Ha a H halmaz felülről nem korlátos, akkor általános értelemben vett felső határa a +∞ szimbólum:

   sup H = +∞ definíció szerint, ha H felülről nem korlátos

2. (a_n) legkisebb felső korlátját (ha van) a sup(a_n) szimbólum jelöli.

   ha tehát (a_n) felülről nem korlátos, akkor sup(a_n) = +∞

Megjegyezzük, hogy az üres halmaz legkisebb felső korlátján a -∞ szimbólumot értjük.

Alulról korlátos

1. Azt mondjuk, hogy H alulról korlátos, ha találunk olyan k számot, hogy minden x ∈ H esetén $\scriptstyle {k\leq x}$ teljesül. Ekkor egy ilyen k valós szám a H halmaz egy alsó korlátja (világos, hogy több ilyen is lehet).
   1. (a_n)-t alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz létezik olyan k szám, hogy minden $\scriptstyle {n\in \mathbb {Z} ^{+}}$-ra $\scriptstyle {k\leq a_{n}}$. Ekkor k az (a_n) sorozat egy alsó korlátja.
   2. (a_n)-tehát alulról nem korlátos, ha minden k-ra létezik n, hogy a_n < k, azaz:

      $\forall k\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\quad a_{n}<k\,$

A H halmaz legnagyobb alsó korlátját (ha van), a H infimum ának, vagy alsó határának nevezzük és

$\inf H\,$

-val jelöljük. Ha a H halmaz alulról nem korlátos, akkor általános értelemben vett alsó határán a -∞ szimbólumot értjük:

inf H = -∞ definíció szerint, ha H alulról nem korlátos

(a_n) legnagyobb alsó korlátját (ha van) az inf(a_n) szimbólum jelöli.

(a_n) alulról nem korlátos, akkor és csak akkor, ha inf(a_n) = -∞

A felső és alsó határról

Pont a sorozatok mutatnak rá arra, hogy egy végtelen halmazban egyáltalán nem biztos, hogy van legkisebb vagy legnagyobb elem. Például az

$\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\,$

sorozatnak nincs legnagyobb értékű eleme, hiszen n < n + 1, és így $\scriptstyle {{\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}}$ amiből $\scriptstyle {1-{\frac {1}{n}}<1-{\frac {1}{n+1}}}$, azaz minden tagjánál van nagyobb értékű tag. Van azonban a felső korlátai között legkisebb, ez az 1. Van továbbá a sorozatnak legkisebb értéke, azaz minimumértéke, a 0. Hasonlóképpen az

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\,$

sorozatnak nincs legkisebb eleme, de van az alsó korlátai között legnagyobb, az 1. Van viszont legnagyobb értéke, a 2.

Ha felidézzük a négyzetgyök kettő közelítését, akkor szembetűnhet egy lényeges eltérés a valós alsó és felső határ és a racionális alsó és felső határ között. Ha vesszük az ottani intervallumskatulyázást, akkor az intervallumok végpontjai mind racionális számok. A felső végpontok (b_n) sorozatának alsó határa a $\scriptstyle {\sqrt {2}}$, de ez nem racionális szám. A racionális számok körében nem igaz az, hogy minden alulról korlátos halmaznak van racionális értékű alsó határa. (a_n) és (b_n) két olyan sorozat, melyek elemeinek távolsága minden határon túl csökken, de a sorozatok nem racionális számra mutatnak, hanem irracionálisra. Az alsó sorozat felső határa és a felső sorozat alsó határa ugyan egyetlen valós szám, de nem racionális. Nem nyilvánvaló tehát hogy egy felülről korlátos sorozat végtelen sok felső korlátja között van legkisebb.

Megjegyzés. A valós számok esetén nem üres felülről korlátos halmaznak mindig van felső határa és alulról korlátos halmaznak alsó határa. Ez a valós számegyenes hézagmentességére utal. A hézagmentesség azonban csak egyfajta szemléletes kép. Gondolkodhatunk másképpen is. Vegyük az f(x) = x³ - 2 függvényt. Ennek van zérushelye a valós számok között, ugyanis felveszi a 0 értéket az $\scriptstyle {x={\sqrt[{3}]{2}}}$ irracionális helyen. Ezt a számot a Bolzano-féle intervallumfelezéses eljárás segítségével megtalálhatjuk. Ez azonban csak azt jelenti, hogy a negatívok felől az x tengely felé közelítve a függvény – a valós számegyenes felső határ tulajdonsága folytán – kényszerű útba ejteni az x tengely $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{2}}$ értékű valós pontját, holott körülötte, lehet hézagok vannak. Ugyanúgy, ahogy egy racionális együtthatós nemkonstans lineáris függvénynek mindig van racionális zérushelye, ezért a függvény a negatívokból a pozitívokba áthaladva a racionális x tengelyt mindig útba kell ejtenie – holott a racionális számok közé más számok is be vannak ékelődve. Természetesen az, hogy a számegyenes „hézagmentes” vagy sem, nem a matematika mindennapi gyakorlatát érintő kérdés, ezzel a matematikai analízis tudománya nem foglalkozik, legfeljebb a modellelmélet.

Felső határ axióma, határok jellemzése

A valós számegyenes előbb említett tulajdonsága nem vezethető a számolási és összehasonlítási szabályokból (ezt az is mutatja, hogy az ugyanazon számolási és rendezési tulajdonságokkal bíró racionális számkörre szorítkozva, ahogy fentebb emlékeztettünk rá, nem igaz, holott, ha e szabályokból következne, akkor a racionális számok körében is igaz kellene, hogy legyen). Muszáj új axiómát kimondanunk rá:

Felső határ axióma. A valós számok bármely nem üres, felülről korlátos részhalmazának van felső határa.

(Ebből természetesen következik a megfelelő, alsó határra vonatkozó állítás.)

Konkrét számításoknál a következő módon igazoljuk, hogy egy szám szuprémuma, vagy infimuma egy sorozatnak.

Az S szám pontosan akkor szuprémuma az (a_n) sorozatnak, ha

1. S felső korlátja (a_n)-nek, és
2. minden ε > 0 számra létezik olyan N természetes szám, hogy S - ε < a_N

(azaz, ha felső korlát, de semmilyen nála kisebb szám már nem felső korlát).

Az I szám pontosan akkor infimuma az (a_n) sorozatnak, ha

1. I alsó korlátja (a_n)-nek, és
2. minden ε > 0 számra létezik olyan N természetes szám, hogy a_n < I + ε

(azaz, ha alsó korlát, de semmilyen nála nagyobb szám már nem alsó korlát).

Archimédeszi axióma

Visszatérve a példákhoz, a természetes számok (n) = (1,2,3,...) sorozata alulról korlátos, de felülről nem korlátos. Ez a tény levezethető a felső határ axiómából, de néha ehelyett (a Cantor-axiómával együtt) axiómaként mondják ki.

Archimédeszi axióma. Minden valós számnál van nagyobb természetes szám.

Ebből viszont már az is következik, hogy

$\inf \left({\frac {1}{n}}\right)=0$

ugyanis ha ε > 0 tetszőleges, akkor az archimédeszi tulajdonság miatt létezik N természetes szám, hogy

${\frac {1}{\varepsilon }}<N$,

azaz

${\frac {1}{N}}<\varepsilon$.

Egymásba skatulyázott intervallumok, Cantor-axióma

Közösrész tétel

Az intervallumfelezéses eljárás a $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ közelítő meghatározására a számegyenes pontjainak nevezetes geometriai tulajdonsága miatt járt sikerrel. Igazolható, hogy az alábbi kijelentés és az archimédeszi axióma közös fennállásának megkövetelése egyenértékű a felsőhatár axióma fennállásával.

Cantor-axióma – Az egymásba skatulyázott intervallumok elve – Ha (a_n) és (b_n) olyan számsorozatok, hogy teljesül rájuk, hogy

$a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\leq ...\leq b_{n}\leq ...\leq b_{2}\leq b_{1}\quad \quad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+})$

akkor létezik olyan c szám, hogy

$a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\leq ...\leq c\leq ...\leq b_{n}\leq ...\leq b_{2}\leq b_{1}\quad \quad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+})$

Azaz véges hosszúságú és zárt, egymásba skatulyázott intervallumok végtelen sorozatának van közös része:

$\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}\quad [a_{n},b_{n}]\supseteq [a_{n+1},b_{n+1}]\quad \quad \Longrightarrow \quad \quad \exists c\in \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }[a_{n},b_{n}]$

Intervallumfelezés

Az intervallumfelezéses eljárással ennél többet tudunk elérni. Ha az intervallumok hossza mindig feleződik, akkor nem csak az igaz, hogy létezik közös pont, hanem hogy egyetlen közös pontja létezik az intervallumrendszernek. Ehhez tehát az kell, hogy az intervallumok hosszúságának sorozata minden előre megadott pozitív számnál kisebb legyen, azaz minden határnál kisebbé váljon. Teljes indukcióval igazolható, hogy n < 2ⁿ minden n természetes számra. Ebből az következik, hogy

${\frac {1}{2^{n}}}<{\frac {1}{n}}$,

s mivel már (1/n)-nek is 0 az infimuma, ezért az általa felülbecsült (majorált) pozitív értékű sorozat infimuma is az

$\inf \left({\frac {1}{2^{n}}}\right)=0$.

Azaz az intervallumfelezésnél az intervallumok hossza valóban minden pozitív alsó korlátot alá csökken, tehát kimondhatjuk:

Az intervallumfelezéses eljárás elve – Ha az (a_n) monoton növekvő számsorozat, a (b_n) monoton csökkenő számsorozat és

1. minden n és m természetes számra $a_{n}\leq b_{m}\,$
2. minden n természetes számra $b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {b_{n}-a_{n}}{2}}\,$

akkor az ([a_n, b_n)] intervallumrendszernek egyetlen közös pontja van.

Felsőhatár axióma = archimédészi axióma + Cantor-axióma

Igazolható, hogy a felsőhatár axióma állítása egyenértékű a archimédészi axióma és a Cantor-axióma együttes fennállásának megkövetetlésével.

Feladatok

1. Adjuk meg az alábbi sorozat alsó és felső határát! (A sorozat sorszámozása 1-től indul.)

$\left(2\cdot (-1)^{n+2}+(-1)^{n(n+1)}\cdot \left(2+{\frac {1}{n}}\right)\right)$

(Útmutatás: Határozzuk meg a -1 kitevőinek paritását, majd írjuk fel a sorozat hozzárendelési utasítását párosakra és páratlanokra.)

Megoldás

A másodfokú kifejezés a kitevőben mindig páros, így páros n-re:

$\left(4+{\frac {1}{n}}\right)$

páratlan n-re pedig

$\left({\frac {1}{n}}\right)$

így a szuprémum 5, az infimum 0. (Az utóbbi triviálisan igaz, az első pedig az 1/n sorozat n=1-ben felvett maximuma miatt.)

2. Adjuk meg az alábbi sorozat alsó és felső határát!

$(0,2;\quad 0,22;\quad 0,222;\quad ...\quad 0,{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {22..2} }};\quad ...\quad )$

(Útmutatás: a felső határhoz állítsuk elő a 0,222... végtelen szakaszos tizedestört közönséges tört alakját. Igazoljuk indirekt módon, hogy ez az érték felső korlát és nincs nála kisebb ilyen.)

Megoldás

A sorozat növekszik, a minimuma és egyben az alsó határa 0,2. A felső határa 2/9. Ezt igazoljuk is.

2/9 felső korlát. Tegyük fel ugyanis, hogy a 2/9 nem lenne felső korlát. Ekkor lenne olyan n, hogy

$0,{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {22..2} }}>{\frac {2}{9}}$

lenne. Ám ekkor 10ⁿ-nel beszorozva:

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {22..2} }}>{\frac {2}{9}}\cdot 10^{n}$

és 2-vel osztva:

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {11..1} }}>{\frac {1}{9}}\cdot 10^{n}$

és 9-cel szorozva:

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {99..9} }}>10^{n}=1{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {00..0} }}$

ami ellentmondás.

Nincs kisebb felső korlát. Jelöljük a sorozatot (a_n)-nel. Belátjuk, hogy minden n-re 2/9 - a_n < 1/n:

${\frac {2}{9}}-{\frac {\overset {n\;\mathrm {db} }{\overbrace {22..2} }}{10^{n}}}={\frac {2\cdot 10^{n}-9\cdot {\overset {n\;\mathrm {db} }{\overbrace {22..2} }}}{9\cdot 10^{n}}}={\frac {2}{9}}\cdot {\frac {1{\overset {n\;\mathrm {db} }{\overbrace {00..0} }}-{\overset {n\;\mathrm {db} }{\overbrace {99..9} }}}{10^{n}}}={\frac {2}{9}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}$

Már innen is látszik, hogy 2/9 és a sorozat tagjainak eltérése minden határon túl csökken, de egzakt módon kifejtve:

${\frac {2}{9}}-a_{n}={\frac {2}{9}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}<{\frac {1}{10^{n}}}<{\frac {1}{2^{n}}}<{\frac {1}{n}}$

vagyis

${\frac {2}{9}}-{\frac {1}{n}}<a_{n}$

Ha tehát ε > 0, akkor létezik N, hogy 1/N < ε, így a fenti egyenlőtlenség miatt

${\frac {2}{9}}-\varepsilon <{\frac {2}{9}}-{\frac {1}{N}}<a_{N}$

Tehát 2/9 – ε már semmilyen pozitív ε-ra nem felső korlát.