Numerikus sorozatok/Sűrűsödési pont és kiválasztási tételek

Sűrűsödési pont

Definíciók

1. Az u valós szám nyílt gömbi környezetén olyan (u - ε,u + ε) nyílt intervallumot értünk, ahol ε pozitív szám.

2. Azt mondjuk, hogy az Ω ⊆ R halmaz nyílt, ha minden pontjával együtt a pontnak egy nyílt gömbi környezete is benne van Ω-ban.

Megjegyzés. A nyílt intervallumok tehát nyíltak, de nyílt az összes valós számok halmaza is. Nem nyílt halmaz a racionális számok halmaza, hiszen bármely két racionális szám között van irracionális szám is, így nincs Q-ban egy csupa racionálisokból álló valós nyílt intervallum.

3. Azt mondjuk, hogy egy (an) sorozatnak sűrűsödési pontja vagy helye az u szám, ha az u minden nyílt környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik. 3.1. A felülről nem korlátos (an) sorozat általános értelemben vett sűrűsödési helyének tekintjük a +∞ szimbólumot. 3.2. Az alulról nem korlátos (an) sorozat általános értelemben vett sűrűsödési helyének tekintjük a -∞ szimbólumot.

Példák

1. Igazoljuk, hogy az

$(a_{n})=\left(\;\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cdot ((-1)^{n}+1)\;\right)$

sorozatnak pontosan két sűrűsödési helye van, a 0 és a 2.

(Útmutatás: Sejtsük meg (például grafikus úton) a sűrűsödési helyeket és igazoljuk azok tényleges sűrűsödési hely voltát definíció szerint.)

Megoldás

Az (a_n) sorozat általános tagja a következőkkel egyenlő:

$a_{n}=\left\{{\begin{array}{cl}2+{\cfrac {2}{n}},&{\mbox{ ha }}n{\mbox{ ps, }}\\0,&{\mbox{ ha }}n{\mbox{ pn}}\end{array}}\right.$

Azaz a párosokra 2+2/n, a páratlanokra 0. Belátjuk, hogy a 2 szám sűrűsödési pontja. Legyen ε > 0.

$\inf \left({\frac {1}{n}}\right)=0$,

tehát az ε / 2 számhoz létezik N, hogy

${\frac {1}{N}}<\varepsilon /2$,

de egy N-nél nagyobb M páros számra méginkább teljesül ez, így :${\frac {2}{M}}<\varepsilon$. Világos, hogy

$2-\varepsilon <2<2+{\frac {2}{M}}<2+\varepsilon$

és ez az egyenlőtlenség minden az M-nél nagyobb páros számra is igaz, azaz (2 - ε, 2 + ε)-ban végtelen sok sorozatbeli elem van. Minden páratlan indexű tag a 0 értéket veszi fel: $\scriptstyle {-\varepsilon <a_{2n+1}<+\varepsilon }$, azaz 0 sűrűsödési hely.

Belátjuk, hogy ha u nem 0 és nem 2, akkor u nem sűrűsödési pont. Ha u < 0, akkor az u szám |u| / 2 sugarú környezete diszjunkt a sorozattól. Ha 0 < u < 2, akkor van olyan ε > 0, hogy ennél az értéknél u távolabb van mind a 0-tól mind 2-től. Az ilyen sugarú környezete u-nak szintén diszjunkt a sorozattól. Végül, ha u > 2, akkor az u-nak |u - 2| / 2 sugarú környezetében csak véges tagja van (2 + 2/n)-nek, tekintve, hogy ez a sorozat monoton csökkenő.

Korlátos sorozatok sűrűsödési helyei, Bolzano–Weierstrass-tétel

Nem korlátos sorozatnak (definíció szerint) van sűrűsödési helye, hiszen a +∞ és -∞ szimbólumokat általános értelemben vett sűrűsödési helynek gondoljuk. Van-e azonban a korlátos sorozatoknak sűrűsödési helye? A szemlélet azt mondatja velünk, hogy igen sőt, azt be is tudjuk majd bizonyítani.

Megjegyzés – Gondolatkísérlet – Képzeljük el a fenti szituációt és próbáljuk elkerülni, hogy a korlátos sorozat esetén sűrűsödési pontot találjunk. Vegyünk egy zárt intervallumot és – kikerülendő, hogy sűrűsödési helyhez jussunk – pötyögtessük le a végtelen sok elemet egymástól lehetőleg egyenletes távolságban (persze ezek a távolságok mind kisebbek és kisebbek lesznek). Ekkor a sorozat az intervallumnak egy olyan megszámlálhatóan végtelen részhalmazát fogja alkotni, ami a racionális számokhoz lesz hasonló: minden tetszőlegesen kis intervallumban találunk sorozatbeli elemet. Ez viszont azt jelenti, hogy minden szám sűrűsödési pontja lesz a sorozatnak – éppen ellenkezőképpen, mint ahogy azt szerettük volna.

Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel (első alak)

Tétel – Bolzano–Weierstrass-tétel sűrűsödési ponttal megfogalmazva – Minden korlátos sorozatnak van sűrűsödési pontja.

Bizonyítás. Legyen (x_n) valós számsorozat, melyről tegyük fel, hogy korlátos.

(1) Az intervallumfelezéses eljárást alkalmazzuk, éspedig a következő módon definiált intervallumrendszerre:

1. legyen b₁ az egyik felső korlátja, és a₁ az egyik alsó korlátja;

   Osszuk a zárt és korlátos [a₁;b₁] intervallumot két egyenlő részre. Biztos, hogy az egyikben az (x_n) sorozatnak végtelen sok tagja van, ha ugyanis mindkettőben csak véges sok tag lenne, akkor a sorozat is véges lenne.

2. Válasszuk most már az [a₂;b₂]-nek a kettő közül azt – vagy olyat –, amelyben a sorozatnak végtelen sok tagja van.
3. Folytassuk ezt az eljárást [a₂;b₂]-re, majd az ebből adódó [a₃;b₃]-ra, ... [a_n;b_n]-re, ...

Ekkor a konstrukció egy ( [a_n;b_n] ) egymásba skatulyázott intervallumrendszert ad, melynek – minhogy az intervallumok hossza feleződik – egyetlen közös pontja van.

(2) Legyen u az [a_n;b_n]-ek közös pontja. Állítjuk, hogy u sűrűsödési pontja (x_n)-nek, azaz u tetszőleges ε > 0 sugarú nyílt környezetében az (x_n)-nek végtelen sok tagja van. Ehhez először belátjuk, hogy van olyan N természetes szám, hogy $\scriptstyle {[a_{N},b_{N}]\subseteq (u-\varepsilon ,u+\varepsilon )}$.

(a) u felső határa (a_n)-nek ugyanis egyrészt felső korlátja, hiszen minden intervallumnak része, így az intervallumok alsó végpontjánál nem kisebb. Másrészt tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (a_n)-nek, ugyanis ha az lenne, akkor az [u - ε, u] intervallum minden a_n-nél nem kisebb lenne, így sérülne az a tény, hogy csak egy közös pont van. Ugyanilyen módon következik, hogy u alsó határa (b_n)-nek.

(b) Így tehát tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (a_n)-nek és u + ε nem alsó korlátja (b_n)-nek. Van tehát olyan N₁ és N₂, hogy u - ε < a_{$N_{1}$} és b_{$N_{2}$} < u + ε. Ha N az N₁ és N₂ közül a nem kisebb, akkor $\scriptstyle {[a_{N},b_{N}]\subseteq (u-\varepsilon ,u+\varepsilon )}$.

Végül tudjuk, minden [a_n;b_n] intervallumban, így az [a_N;b_N]-ben is az (x_n) sorozatból végtelen sok tag esik, amiből következik, hogy az [a_N;b_N]-t lefedő (u - ε,u + ε) intervallumban is végtelen sok tag szerepel (x_n)-ból. Amely pont az, amit bizonyítani akartunk.

Legkisebb és legnagyobb sűrűsödési hely

Megjegyezzük, hogy módosítható úgy a fenti bizonyítás, hogy a konstrukció az u számra a (x_n) legkisebb értékű vagy a legnagyobb értékű sűrűsödési helyét adja. Ha ugyanis az intervallumfelezésnél mindig az alsóbbik olyan intervallumot választjuk, melyben végtelen sok sorozatbeli elem van, akkor a közös pont a legkisebb értékű sűrűsödési hely lesz. Ha pedig minduntalan a felsőbbik végtelen számú sorozatbeli elemet tartalmazó intervallumot választjuk, akkor a legnagyobb értékű sűrűsödési helyhez jutunk.

Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legkisebbet (ha van) $\mathrm {liminf} (x_{n})\,$ jelöli és az (xn) limesz inferiorjának, vagy alsó határértékének nevezzük. Ha nincs legkisebb, akkor ezen a -∞ szimbólumot értjük.

Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legnagyobbat (ha van) $\mathrm {limsup} (x_{n})\,$ jelöli és az (xn) limesz szuperiorjának, vagy felső határértékének nevezzük. Ha nincs legnagyobb, akkor ezen a +∞ szimbólumot értjük.

Borel–Lebesgue-féle befedési tétel

A következő tétel látszólag kevés hasonlóságot mutat az előzővel, de mégis nagyon szoros kapcsolatban vannak egymással. Mindkét tétel az analízis fundamentális jelentősségű tétele. Ne ijedjünk meg attól, hogy a tétel szövege is furcsán idegen módon hangzik a sorozatok témakörében és a bizonyítás is inkább geometriai vagy topológiai jellegű.

Tétel – Borel–Lebesgue befedési tétel – Ha a korlátos és zárt [ a, b ] intervallumot lefedi egy nyílt halmazokból álló halmazrendszer, akkor ennek a halmazrendszernek már véges sok tagja is lefedi.

Magyarázat. Egy [a,b] zárt és korlátos intervallum esetén, lefedésre példa az, ha az intervallum minden egyes x pontját rendre befoglaljuk egy $I_{x}$ nyílt intervallumba, például adott ε pozitív számra az (x - ε, x + ε) intervallumba. Ezeknek a nyílt intervallumoknak ($I_{x}$)_{x ∈ [a,b]} rendszere egy úgy nevezett nyílt befedése [a,b]-nek, mely kontinuum számosságú sok tagból áll (intervallumnyi halmazt tartalmaz), ám ennek ellenére a Borel–Lebesgue-tétel szerint ezek közül már nem csak végtelen, de ráadásul véges sok halmaz is befedi [a,b]-t. Ez egy elég meglepő és páratlanul erős eredmény, bár az is igaz, hogy csak korlátos és zárt intervallumokra teljesül.

Megjegyzés. Furcsa, hogy míg a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel könnyen átlátható és intuitív, addig a Borel–Lebesgue-tétel kevésbé az, vagy egyáltalán nem követhető a szemlélet számára. Ennek az egyik lehetséges indoka az, hogy a Borel–Lebesgue-tétel bizonyításában egy nagyon nem természetes, mindamellett alapvető matematikai axiómát, a kiválasztási axiómát kell használnunk (ezzel már találkozhattunk a rekurzív megadású sorozatok témakörében). A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel bizonyításához erre nincs szükségünk, még később, a részsorozatokkal megfogalmazott alakjának bizonyításánál sem, pedig ott valóban egy speciális tulajdonságú függvény kiválaszthatóságát fogjuk belátni.

Tétel – A két kiválasztási tétel ekvivalenciája – A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel és a Borel–Lebesgue befedési tétel ekvivalensek egymással.

Következésképpen:

Korollárium – A Borel–Lebesgue befedési tétel igaz.

Bizonyítás.

(1) Tegyük fel a Borel–Lebesgue befedési tétel állítását, és igazoljuk belőle a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Ha az előző bizonyításban indirekten okoskodtunk volna, akkor ezt kaptuk volna. Tegyük fel, hogy az első intervallumnak (mely lefedi a sorozatot), tehát [a₁,b₁]-nek egyetlen eleme sem sűrűsödési pontja (x_n)-nek. Ekkor minden [a₁,b₁]-beli pont körül van olyan nyílt intervallum, melyben az (x_n)-ből csak véges sok tag tartózkodik. Ezek a nyílt halmazok befedik az [a₁,b₁]-et, így – hivatkozva a befedési tételre – ezek közül már véges sok is lefedi [a₁,b₁]-et. Ekkor viszont az [a₁,b₁]-ben összesen is csak véges tag van (x_n)-ből, ami ellentmond annak, hogy az (x_n) végtelen sorozat és a tagjai teljes egészében az [a₁,b₁]-ben vannak.

Megjegyzés. Világos, hogy ez a gondolatmenet alkalmas a B–W-tétel egyszerű bizonyítására, természetesen feltételezve, hogy a B–L-tétel igaz.

(2) Tegyük fel a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel állítását, és igazoljuk belőle a befedési tételt. Vegyünk egy korlátos és zárt [a,b] intervallumot befedő, nyílt halmazokból álló halmazrendszert.

(a) Először ezek közül választunk ki megszámlálható sokat, melyek még mindig lefedik [a,b]-t, abból a célból, hogy egyáltalán sorozatokról tudjunk beszélni. Tekintsük az összes q racionális számra és p pozitív racionális számra a q középpontú és p sugarú nyílt környezetet. Ezek megszámlálhatóan sokan vannak. Adott x ∈ [a,b]-re válasszunk ki egy olyan Ω_x nyílt halmazt az [a,b]-t lefedő rendszer elemei közül, mely x-et fedi le. x belső pontja Ω_x-nek, így van olyan r > 0, hogy (x - r,x + r) ⊆Ω_x. Minden nemüres nyílt számközben van racionális szám, így az (x,x + r/3) számközben is, legyen egy ilyen a q. Válasszuk p-nek az (r/3,r/2) intervallumban lévő valamely racionális számot. Ekkor fennáll:

$x-r<q-r/2<q-p<q-r/3<x<q+p<x+r/3+r/6\leq x+r/2<x+r\,$

vagyis

$x\in (q-p,q+p)\subseteq (x-r,x+r)\subseteq \Omega _{x}\,$

Minden x-hez rendeljünk hozzá egy ilyen (q - p,q + p) intervallumot, ezek megszámlálható sokan vannak és lefedik [a,b]-t. Minden (q - p,q + p)-t tehát tartalmaz egy Ω az [a,b]-t lefedő rendszerből, vegyünk egy ilyet és jelöljük Ω_(p,q)-val. Tehát az Ω_(p,q)-k lefedik [a,b]-t és megszámlálható sokan vannak.

(b) Az [a,b]-t lefedő rendszerből tehát kiválasztható megszámlálható részlefedés, legyen ez $\scriptstyle {(\Omega _{i})_{i=1}^{\infty }}$. Venni fogunk egy (x_n) sorozatot rekurzív módon, mely pontosabban fogalmazva egy olyan sorozat létezését állítjuk, melyet a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió elve biztosít. Ha Ω₁ lefedi [a,b]-t, akkor megtaláltuk a véges lefedést. Ha Ω₁ nem fedi le [a,b]-t, legyen

$x_{1}\in [a,b]\setminus \Omega _{1}\,$.

Ha (Ω₁,Ω₂) már lefedi [a,b]-t, akkor szintén megtaláltuk a véges fedést. Ha nem, legyen

$x_{2}\in [a,b]\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2})\,$.

Azt állítjuk, hogy így folytatva biztos lesz olyan n, hogy $\scriptstyle {(\Omega _{i})_{i=1}^{n}}$ már lefedi [a,b]-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (x_n) egy végtelen, [a,b]-ben haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ [a,b] sűrűsödési pontja. Mivel $\scriptstyle {(\Omega _{i})_{i=1}^{\infty }}$ a konstrukció miatt lefedi [a,b]-t ezért u-t is tartalmazza egy Ω_m nyílt halmaz. u-nak van Ω_m-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (x_n)-beli tag. Ez azonban ellentmond annak, hogy minden n-re $\cup _{i=1}^{n}\Omega _{i}$-ben csak véges sok tag lehet (x_n) konstrukciója szerint, holott már Ω_m-ben is végtelen sok tag van.

Megjegyzés. Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér, bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát $\scriptstyle {(\Omega _{i})_{i=1}^{n}}$ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon.