Numerikus sorozatok/Sűrűsödési pont és kiválasztási tételek

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Sűrűsödési pont[szerkesztés]

Definíciók[szerkesztés]

1. Az u valós szám nyílt gömbi környezetén olyan (u - ε,u + ε) nyílt intervallumot értünk, ahol ε pozitív szám.
2. Azt mondjuk, hogy az Ω ⊆ R halmaz nyílt, ha minden pontjával együtt a pontnak egy nyílt gömbi környezete is benne van Ω-ban.
Megjegyzés. A nyílt intervallumok tehát nyíltak, de nyílt az összes valós számok halmaza is. Nem nyílt halmaz a racionális számok halmaza, hiszen bármely két racionális szám között van irracionális szám is, így nincs Q-ban egy csupa racionálisokból álló valós nyílt intervallum.
3. Azt mondjuk, hogy egy (an) sorozatnak sűrűsödési pontja vagy helye az u szám, ha az u minden nyílt környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik.
3.1. A felülről nem korlátos (an) sorozat általános értelemben vett sűrűsödési helyének tekintjük a +∞ szimbólumot.
3.2. Az alulról nem korlátos (an) sorozat általános értelemben vett sűrűsödési helyének tekintjük a -∞ szimbólumot.

Példák[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1. Igazoljuk, hogy az

sorozatnak pontosan két sűrűsödési helye van, a 0 és a 2.

(Útmutatás: Sejtsük meg (például grafikus úton) a sűrűsödési helyeket és igazoljuk azok tényleges sűrűsödési hely voltát definíció szerint.)

Korlátos sorozatok sűrűsödési helyei, Bolzano–Weierstrass-tétel[szerkesztés]

Nem korlátos sorozatnak (definíció szerint) van sűrűsödési helye, hiszen a +∞ és -∞ szimbólumokat általános értelemben vett sűrűsödési helynek gondoljuk. Van-e azonban a korlátos sorozatoknak sűrűsödési helye? A szemlélet azt mondatja velünk, hogy igen sőt, azt be is tudjuk majd bizonyítani.

MegjegyzésGondolatkísérlet – Képzeljük el a fenti szituációt és próbáljuk elkerülni, hogy a korlátos sorozat esetén sűrűsödési pontot találjunk. Vegyünk egy zárt intervallumot és – kikerülendő, hogy sűrűsödési helyhez jussunk – pötyögtessük le a végtelen sok elemet egymástól lehetőleg egyenletes távolságban (persze ezek a távolságok mind kisebbek és kisebbek lesznek). Ekkor a sorozat az intervallumnak egy olyan megszámlálhatóan végtelen részhalmazát fogja alkotni, ami a racionális számokhoz lesz hasonló: minden tetszőlegesen kis intervallumban találunk sorozatbeli elemet. Ez viszont azt jelenti, hogy minden szám sűrűsödési pontja lesz a sorozatnak – éppen ellenkezőképpen, mint ahogy azt szerettük volna.

Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel (első alak)[szerkesztés]

TételBolzano–Weierstrass-tétel sűrűsödési ponttal megfogalmazva – Minden korlátos sorozatnak van sűrűsödési pontja.

Bizonyítás. Legyen (xn) valós számsorozat, melyről tegyük fel, hogy korlátos.

(1) Az intervallumfelezéses eljárást alkalmazzuk, éspedig a következő módon definiált intervallumrendszerre:

  1. legyen b1 az egyik felső korlátja, és a1 az egyik alsó korlátja;
    Osszuk a zárt és korlátos [a1;b1] intervallumot két egyenlő részre. Biztos, hogy az egyikben az (xn) sorozatnak végtelen sok tagja van, ha ugyanis mindkettőben csak véges sok tag lenne, akkor a sorozat is véges lenne.
  2. Válasszuk most már az [a2;b2]-nek a kettő közül azt – vagy olyat –, amelyben a sorozatnak végtelen sok tagja van.
  3. Folytassuk ezt az eljárást [a2;b2]-re, majd az ebből adódó [a3;b3]-ra, ... [an;bn]-re, ...

Ekkor a konstrukció egy ( [an;bn] ) egymásba skatulyázott intervallumrendszert ad, melynek – minhogy az intervallumok hossza feleződik – egyetlen közös pontja van.

(2) Legyen u az [an;bn]-ek közös pontja. Állítjuk, hogy u sűrűsödési pontja (xn)-nek, azaz u tetszőleges ε > 0 sugarú nyílt környezetében az (xn)-nek végtelen sok tagja van. Ehhez először belátjuk, hogy van olyan N természetes szám, hogy .

(a) u felső határa (an)-nek ugyanis egyrészt felső korlátja, hiszen minden intervallumnak része, így az intervallumok alsó végpontjánál nem kisebb. Másrészt tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (an)-nek, ugyanis ha az lenne, akkor az [u - ε, u] intervallum minden an-nél nem kisebb lenne, így sérülne az a tény, hogy csak egy közös pont van. Ugyanilyen módon következik, hogy u alsó határa (bn)-nek.

(b) Így tehát tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (an)-nek és u + ε nem alsó korlátja (bn)-nek. Van tehát olyan N1 és N2, hogy u - ε < a és b < u + ε. Ha N az N1 és N2 közül a nem kisebb, akkor .

Végül tudjuk, minden [an;bn] intervallumban, így az [aN;bN]-ben is az (xn) sorozatból végtelen sok tag esik, amiből következik, hogy az [aN;bN]-t lefedő (u - ε,u + ε) intervallumban is végtelen sok tag szerepel (xn)-ból. Amely pont az, amit bizonyítani akartunk.

Legkisebb és legnagyobb sűrűsödési hely[szerkesztés]

Megjegyezzük, hogy módosítható úgy a fenti bizonyítás, hogy a konstrukció az u számra a (xn) legkisebb értékű vagy a legnagyobb értékű sűrűsödési helyét adja. Ha ugyanis az intervallumfelezésnél mindig az alsóbbik olyan intervallumot választjuk, melyben végtelen sok sorozatbeli elem van, akkor a közös pont a legkisebb értékű sűrűsödési hely lesz. Ha pedig minduntalan a felsőbbik végtelen számú sorozatbeli elemet tartalmazó intervallumot választjuk, akkor a legnagyobb értékű sűrűsödési helyhez jutunk.

Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legkisebbet (ha van)

jelöli és az (xn) limesz inferiorjának, vagy alsó határértékének nevezzük. Ha nincs legkisebb, akkor ezen a -∞ szimbólumot értjük.


Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legnagyobbat (ha van)

jelöli és az (xn) limesz szuperiorjának, vagy felső határértékének nevezzük. Ha nincs legnagyobb, akkor ezen a +∞ szimbólumot értjük.

Borel–Lebesgue-féle befedési tétel[szerkesztés]

A következő tétel látszólag kevés hasonlóságot mutat az előzővel, de mégis nagyon szoros kapcsolatban vannak egymással. Mindkét tétel az analízis fundamentális jelentősségű tétele. Ne ijedjünk meg attól, hogy a tétel szövege is furcsán idegen módon hangzik a sorozatok témakörében és a bizonyítás is inkább geometriai vagy topológiai jellegű.

TételBorel–Lebesgue befedési tétel – Ha a korlátos és zárt [ a, b ] intervallumot lefedi egy nyílt halmazokból álló halmazrendszer, akkor ennek a halmazrendszernek már véges sok tagja is lefedi.

Magyarázat. Egy [a,b] zárt és korlátos intervallum esetén, lefedésre példa az, ha az intervallum minden egyes x pontját rendre befoglaljuk egy nyílt intervallumba, például adott ε pozitív számra az (x - ε, x + ε) intervallumba. Ezeknek a nyílt intervallumoknak ()x ∈ [a,b] rendszere egy úgy nevezett nyílt befedése [a,b]-nek, mely kontinuum számosságú sok tagból áll (intervallumnyi halmazt tartalmaz), ám ennek ellenére a Borel–Lebesgue-tétel szerint ezek közül már nem csak végtelen, de ráadásul véges sok halmaz is befedi [a,b]-t. Ez egy elég meglepő és páratlanul erős eredmény, bár az is igaz, hogy csak korlátos és zárt intervallumokra teljesül.

Megjegyzés. Furcsa, hogy míg a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel könnyen átlátható és intuitív, addig a Borel–Lebesgue-tétel kevésbé az, vagy egyáltalán nem követhető a szemlélet számára. Ennek az egyik lehetséges indoka az, hogy a Borel–Lebesgue-tétel bizonyításában egy nagyon nem természetes, mindamellett alapvető matematikai axiómát, a kiválasztási axiómát kell használnunk (ezzel már találkozhattunk a rekurzív megadású sorozatok témakörében). A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel bizonyításához erre nincs szükségünk, még később, a részsorozatokkal megfogalmazott alakjának bizonyításánál sem, pedig ott valóban egy speciális tulajdonságú függvény kiválaszthatóságát fogjuk belátni.

TételA két kiválasztási tétel ekvivalenciája – A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel és a Borel–Lebesgue befedési tétel ekvivalensek egymással.
Következésképpen:
Korollárium – A Borel–Lebesgue befedési tétel igaz.

Bizonyítás.

(1) Tegyük fel a Borel–Lebesgue befedési tétel állítását, és igazoljuk belőle a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Ha az előző bizonyításban indirekten okoskodtunk volna, akkor ezt kaptuk volna. Tegyük fel, hogy az első intervallumnak (mely lefedi a sorozatot), tehát [a1,b1]-nek egyetlen eleme sem sűrűsödési pontja (xn)-nek. Ekkor minden [a1,b1]-beli pont körül van olyan nyílt intervallum, melyben az (xn)-ből csak véges sok tag tartózkodik. Ezek a nyílt halmazok befedik az [a1,b1]-et, így – hivatkozva a befedési tételre – ezek közül már véges sok is lefedi [a1,b1]-et. Ekkor viszont az [a1,b1]-ben összesen is csak véges tag van (xn)-ből, ami ellentmond annak, hogy az (xn) végtelen sorozat és a tagjai teljes egészében az [a1,b1]-ben vannak.

Megjegyzés. Világos, hogy ez a gondolatmenet alkalmas a B–W-tétel egyszerű bizonyítására, természetesen feltételezve, hogy a B–L-tétel igaz.
Japan road sign 206-R.svg

(2) Tegyük fel a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel állítását, és igazoljuk belőle a befedési tételt. Vegyünk egy korlátos és zárt [a,b] intervallumot befedő, nyílt halmazokból álló halmazrendszert.

(a) Először ezek közül választunk ki megszámlálható sokat, melyek még mindig lefedik [a,b]-t, abból a célból, hogy egyáltalán sorozatokról tudjunk beszélni. Tekintsük az összes q racionális számra és p pozitív racionális számra a q középpontú és p sugarú nyílt környezetet. Ezek megszámlálhatóan sokan vannak. Adott x ∈ [a,b]-re válasszunk ki egy olyan Ωx nyílt halmazt az [a,b]-t lefedő rendszer elemei közül, mely x-et fedi le. x belső pontja Ωx-nek, így van olyan r > 0, hogy (x - r,x + r) ⊆Ωx. Minden nemüres nyílt számközben van racionális szám, így az (x,x + r/3) számközben is, legyen egy ilyen a q. Válasszuk p-nek az (r/3,r/2) intervallumban lévő valamely racionális számot. Ekkor fennáll:

vagyis

Minden x-hez rendeljünk hozzá egy ilyen (q - p,q + p) intervallumot, ezek megszámlálható sokan vannak és lefedik [a,b]-t. Minden (q - p,q + p)-t tehát tartalmaz egy Ω az [a,b]-t lefedő rendszerből, vegyünk egy ilyet és jelöljük Ω(p,q)-val. Tehát az Ω(p,q)-k lefedik [a,b]-t és megszámlálható sokan vannak.

(b) Az [a,b]-t lefedő rendszerből tehát kiválasztható megszámlálható részlefedés, legyen ez . Venni fogunk egy (xn) sorozatot rekurzív módon, mely pontosabban fogalmazva egy olyan sorozat létezését állítjuk, melyet a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió elve biztosít. Ha Ω1 lefedi [a,b]-t, akkor megtaláltuk a véges lefedést. Ha Ω1 nem fedi le [a,b]-t, legyen

.

Ha (Ω12) már lefedi [a,b]-t, akkor szintén megtaláltuk a véges fedést. Ha nem, legyen

.

Azt állítjuk, hogy így folytatva biztos lesz olyan n, hogy már lefedi [a,b]-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, [a,b]-ben haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ [a,b] sűrűsödési pontja. Mivel a konstrukció miatt lefedi [a,b]-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. Ez azonban ellentmond annak, hogy minden n-re -ben csak véges sok tag lehet (xn) konstrukciója szerint, holott már Ωm-ben is végtelen sok tag van.

Megjegyzés. Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér, bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon.