Ugrás a tartalomhoz

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.


Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta.

Feladatok[szerkesztés]

Első nap[szerkesztés]

1.[szerkesztés]

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is – a következő tört nem egyszerűsíthető:

Megoldás

2.[szerkesztés]

Milyen valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

Megoldás

3.[szerkesztés]

Tudjuk, hogy

Mutassunk másodfokú egyenletet -re úgy, hogy együtthatói csak az számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be , és -et.

Megoldás

Második nap[szerkesztés]

4.[szerkesztés]

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

Megoldás

5.[szerkesztés]

Az szakaszon mozog az pont. Az és szakaszok fölé az egyenes ugyanazon oldalára az és a négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör -ben és -ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az és a egyenes is átmegy az ponton. Mutassuk meg, hogy minden -re az egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

Megoldás

6.[szerkesztés]

A és sík egymást a egyenesben metszi, és a síknak, a síknak olyan pontja, amely nincs rajta -n. Szerkesszük meg azt az húrtrapézt (), melynek csúcsa -n, csúcsa a síkban van, s amelybe kört írhatunk.

Megoldás