Ugrás a tartalomhoz

2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.


A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1960-ban, Sinaiában (Románia) rendezték, s öt ország 40 versenyzője vett részt rajta.

Feladatok

[szerkesztés]

Első nap

[szerkesztés]

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

Megoldás

Milyen valós -ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

.

Megoldás

Az derékszögű háromszög hosszú átfogóját egyenlő szakaszra osztottuk ( páratlan pozitív egész). Jelöljük -val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik -ból. Legyen az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

.

Megoldás

Második nap

[szerkesztés]

Adott az háromszög -ból és -ből induló ill. magassága és az -ból induló súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

Megoldás

Vegyük az kockát (ahol pontosan fölött van).

Mi a mértani helye az szakaszok felezőpontjainak, ahol az , pedig a lapátló tetszőleges pontja?
Mi a mértani helye azon pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen szakaszon úgy, hogy ?

Megoldás

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen a kúp, a henger térfogata.

Bizonyítsuk be, hogy .
Keressük meg a legkisebb -t, amire , majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

Megoldás

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja illetve , magassága pedig .

Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.
Számítsuk ki távolságát a száraktól.
Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen pont?

Megoldás