2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Előző lap (1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)

–

Címlap (Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák)

–

Következő lap (3. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)

A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1960-ban, Sinaiában (Románia) rendezték, s öt ország 40 versenyzője vett részt rajta.

Feladatok

Első nap

1.

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

Megoldás

2.

Milyen valós $x$-ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

${\frac {4x^{2}}{(1-{\sqrt {1+2x}})^{2}}}<2x+9$.

Megoldás

3.

Az $ABC$ derékszögű háromszög $a$ hosszú $BC$ átfogóját $n$ egyenlő szakaszra osztottuk ($n$ páratlan pozitív egész). Jelöljük $\alpha$-val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik $A$-ból. Legyen $h$ az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

${\mbox{tg }}\alpha ={\frac {4nh}{(n^{2}-1)a}}$.

Megoldás

Második nap

4.

Adott az $ABC$ háromszög $A$-ból és $B$-ből induló $m_{a}$ ill. $m_{b}$ magassága és az $A$-ból induló $s_{a}$ súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

Megoldás

5.

Vegyük az $ABCDA'B'C'D'$ kockát (ahol $A'B'C'D'$ pontosan $ABCD$ fölött van).

$a)$ Mi a mértani helye az $XY$ szakaszok felezőpontjainak, ahol $X$ az $AC$, $Y$ pedig a $B'D'$ lapátló tetszőleges pontja?

$b)$ Mi a mértani helye azon $Z$ pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen $XY$ szakaszon úgy, hogy $ZY=2XZ$?

Megoldás

6.

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen $V_{1}$ a kúp, $V_{2}$ a henger térfogata.

$a)$ Bizonyítsuk be, hogy $V_{1}\neq V_{2}$.

$b)$ Keressük meg a legkisebb $k$-t, amire $V_{1}=kV_{2}$, majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet $k$ minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

Megoldás

7.

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja $a$ illetve $c$, magassága pedig $m$.

$a)$ Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon $P$ pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.

$b)$ Számítsuk ki $P$ távolságát a száraktól.

$c)$ Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen $P$ pont?

Megoldás

Előző lap (1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)

–

Címlap (Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák)

–

Következő lap (3. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)