Szerkesztővita:Gubbubu/Halmazelmélet/Részhalmazok

Megjegyzések. A gyenge és erős részosztály-axióma.

Szokás a „részosztály”-axiómát kimondani úgy is, hogy:

„Ha A osztály, és T egy tetszőleges, a halmazelmélet nyelvén megfogalmazható tulajdonság, akkor az {x| x∈A ∧ T(x)} intenzionális osztálydefiníció egy létező osztályt kell megadjon, ami halmaz, ha A is halmaz.”

Ez két okból is problémát okoz, hiszen

1. a „tulajdonság” definiálatlan fogalmát nem tudjuk precízen körülírni. KésőbbSablon:Hivatkozás szükséges megtesszük, és kimonjuk a gyenge mellett az erős részosztály-axiómát. Ehhez azonban vagy a matematikai logika alapfogalmainak használatára van szükség, vagy egy újabba definiálatlan alapfogalom, az „operáció” (ezek olyasmik, mint a függvények, csak épp osztályokon vannak értelmezve) bevezetésére . Mi azonban az operáció fogalmát nem alapfogalomként, hanem definícióként kívánjuk bevezetni, ha nem a ZFC-re hanem az osztályelméletre alapozunk, fölösleges az eddigiek mellé új alapfogalmat felvenni, s ez is az NBG-elmélet erejét mutatja a ZFC-vel szemben. Azt már nem is merjük említeni, hogy a „tulajdonság” fogalmának precizírozását azok sem szokták megtenni, akik építenek rá, gondolva, hogy a komolyabb módszertani problémák megkerülése elfogadható azok megoldása helyett; de hát ez nem elméleti, inkább gyakorlati probléma.
2. Amennyiben a részosztáy-fogalmat a tulajdonság fogalmához kötjük, de nem mondjuk ki, hogy tetszőleges halmaz tetszőleges részosztálya is halmaz, akkor a részosztály-axiómát csak olyan esetekben használhatnánk, amikor a részhalmaz egy tulajdonsággal, intenzionális definícióval van megadva. Ez számunkra használhatatlan megoldás, hiszen nem használhatunk fel egy definiálatlan fogalmat tartalmazó axiómát, ugyanakkor szükségünk van egy axiómára, ami kimondja, hogy halmaz részosztálya is halmaz. Ezért kétfelé választottuk az axiómát, a gyenge formája kimopndja, hogy halmaz részosztálya halmaz, de nem képes egy intenzionális részosztálydefinícióról eldönteni, hogy értelmes-e. A másik képes erre (viszont erre inkább csak a halmazműveletek definiálása után lesz szükség), viszont egy nem-intenzionálisan megadott részosztályról nem képes eldönteni, halmaz-e (így egyik forma sem „gyengébb” a másiknál, csak mást és mást tudnak, és mindkét axiómára szükség van).
   1. Itt merül fel a kérdés: Nem lenne-e elegendő csak a gyenge axióma, és minden konkrét esetben, amikor a részhalmaz halmaz voltát bizonyítani szeretnénk, hivatkozni arra, hogy egy majoránshalmazt tartalmazó intenzionális definíció szükségképp - a majoránshalmazra hivatkozás miatt triviálisan - részhalmazt ad meg (ami legrosszabb esetben az üres halmaz, de semmiképp sem lehet nem-halmaz)? Tehát valójában szükségtelen általánosító módon a „tulajdonság” ráadásul definiálatlan fogalmára hivatkozni? Sajnos, ez nem ilyen egyszerű. A komprehenzivitási elvből következne (pontosan azt jelenti), hogy minden értelmes intenzionális osztálydefiníció létező osztályt ad meg, de ez sajnos az osztályelméletben ugyanúgy ellentmondást eredményez, mint a halmazelméletben (ld. itt és itt), ezért félre kell tenni mindenképp. De így bár megfogalmazhatjuk pl. az G := {x∈H|x+3=4-x} osztályt, és persze x∈H miatt automatikusan tudjuk, hogy ha ez létezik, akkor G⊆H, de elvivleg semmi nem garantálja, hogy mint osztály létezik. Miért tenné ezt? Az axiomatikus elméletekben mindent bizonyítani kell, azt is, hogy az elmélet összetett jeleinek jelölete létezik. És a komprehenzivitás nélküli halmazelméletben a fenti osztály létezése nem bizonyítható, ha nem tesszük fel pl. axiómaként, hogy egy intenzionális osztálydefiníció mindig értelmes, azaz létező osztályt jelöl.