A számelmélet a matematika egy tudományága, mely elsősorban az egész számok bizonyos általános tulajdonságaival (az ún. gyűrűtulajdonságokkal), általánosabban pedig a mindenféle gyűrűkkel foglalkozik. Legjellemzőbb kérdései az oszthatóság, a prímek, a (gyűrű-)kongruenciarelációk, és az algebrai egyenletek egész megoldásainak keresése.

Mindezt pontosabban úgy mondhatjuk el, ha eme ismeretterület, a számelmélet egy jelenleg elfogadott alágakra osztását közöljük. A következők ezek az alágak:

A számelmélet felosztása: (vázlat)

Elemi számelmélet
- oszthatóság
- prímek
- maradékos osztás, az euklideszi algoritmus
- a számelmélet alaptétele
- moduláris aritmetika (maradékosztályok és kongruenciák),
- diofantikus egyenletek

Kombinatorikus számelmélet
- additív számelmélet
- multiplikatív számelmélet
Analitikus számelmélet
- a prímszámtétel, Riemann-sejtés,
Algebrai számelmélet
- algebrai számok
- algebrai egészek
- Galois-elmélet
- véges testek számelmélete
- p-adikus számok
Diofantoszi egyenletek
- pitagoraszi számhármasok, Pell-egyenlet, Catalan-sejtés, Fermat-sejtés, abc-sejtés
Geometriai számelmélet
- Rácsgeometria
- Minkowski-tétel
- pakolási problémák
- algebrai geometriai problémák
- Fermat-tétele

Ágak[szerkesztés]

A számelmélet a geometria mellett az egyik legősibb matematikai tudományág: jelentősebb számelméleti eredmények születtek már a négyezer évvel ezelőtti ókori Kínában, Indiában, vagy mintegy kétezer évvel ezelőtt a hellenisztikus Görögországban.

Elsőként az elemi számelmélet alakult ki, s nagyjából azt mondhatjuk, ez az ág az egész számok (... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...stb.) oszthatósági tulajdonságaival, illetve ezen tulajdonságok matematikán belüli alkalmazásaival foglalkozik.

A számelmélet már a kezdet kezdetén sokat felhasznált az algebrából, sőt az algebra kialakulásának legfőbb matematikai motivációját jelentette. Egy híres számelméleti probléma, a több száz évig megoldatlan Fermat-sejtés (azóta már Fermat-tétel) kutatása nyomán alakult ki a számelmélet és a modern algebra házasságának első résdzletesebben kidolgozott elmélete, az ideálelmélet. Később észrevették, hogy a hasonló módszerek nem csak az egész számok kutatásában hasznosak, és más, hasonlóan vegyesen algebrai-számelméleti jellegű elméleteket és az egész számokon kívül másfajta matematikai struktúrákat is tanulmányozni kezdtek. Így alakult ki az algebrai számelmélet, melyről első nekifutásra azt mondhatjuk, a gyűrű összefoglaló néven emlegetett matematikai struktúrák oszthatósági tulajdonságainak vizsgálata (a gyűrű olyan matematikai struktúra, amely „hasonlít” az egész számokra, ld. a következő oldalakat. Sok gyűrű van, pl. az egész számokon kívül a valós együtthatós polinomok gyűrűjéről is beszélhetünk).

Ha röviden és pontatlanul szólva azt mondjuk, a gyűrű olyan struktúra, amely hasonlít az egész számokéra, csak más elemek alkotják, elsősorban az nem teljesen világos, mit jelent itt a „hasonlít” kifejezés. Úgy kell ezt érteni, hogy a gyűrűkön ugyanúgy értelmezhető két darab művelet, mint az egész számokon, és ezekre ugyanazon alapvető algebrai tulajdonságok jellemzőek: kommutativitás, asszociativitás, iletve az egyik műveletnek (ezt szorzásnak nevezik) a másik műveletre (melyet összeadásnak neveznek) vonatkozó disztributivitása. Később a gyűrű fogalmát pontosabban is definiáljuk.

Az egész számok számelméleten belül alapvető szerepet töltenek be a prímszámok, melyek egyen és önmagukon (pontosabban önmaguk abszolútértékén) kívül más (pozitív) számmal nem oszthatóak. A prímek algebrai szempontból rendkívül szabálytalanul helyezkednek el az egész számok sorozatán belül (például nem ismerünk olyan algebrai jellegű képletet, mondjuk polinomot vagy valami egyszerűen számolható függvény polinomjait, ami az összeset megadná, vagy n függvényében kiszámítaná, hogy n prím-e); de valószínűségi és analitikus jellegű módszerekkel sok szép tételt sikerült találni, ami valami módon e számhalmaz „sűrűségét” jellemzi. Az effajta kutatásokból fejlődött ki az analitikus számelmélet, mely a komplex függvények tulajdonságait használja a számok tanulmányozásához. Legnevezetesebb problémája a Riemann-sejtés.

Léteznek a számelméletnek más területei is, pl. a kombinatorikus számelmélet, vagy ennek legkidolgozottabb ága, az additív számelmélet, mely az egész számok (vagy újabban additív Abel-csoportok) bizonyos feltételeket teljesítő összegekre bontását vizsgálja; vagy a pontrácsok tanulmányozásából kifejlődött, a számelmélet sok tételét igen szemléletessé tenni tudó geometriai számelmélet.

Nyelv[szerkesztés]

Bizonyos sokszor előforduló matematikai állításokat az ún. logikai jelek segítségével fogunk rövidíteni, ezeket intuitíve használjuk, úgy ahogyan idézőjelben megadott köznapi megfelelőiket a hétköznapokban szoktuk. Ezekben semmi misztikus nincs, egyszerűen a köznyelv bizonyos kifejezései rövidítésének, gyorsírásnak tekintsük. Használni fogjuk ezek közül az ∧ („és”), az ∨ („vagy), a &lnot; („nem”), a ⇒ („...-ból következik ...”, vagy „ha ... igaz, akkor ... is igaz”), és a ⇔ („... pontosan akkor igaz, ha ...”) jelöléseket, továbbá a két ún. kvantort: ... ∀ ... („minden ...-ra igaz, hogy ...”, ez az általánosságokat kifejező univerzális kvantor) illetve ... ∃ ... („van olyan ..., melyre igaz ...”), ez a valaminek a létezését kifejező egzisztenciális kvantor).

Bár illendő lenne, az eljárás hosszadalmassága miatt nem építjük fel szigorúan az egész számok halmazát: sem axiomatikusan, sem halmazelméleti trükkök (induktív halmazok), sem algebraiak (struktúrabővítések) segítségével, sem egyéb módon, adottnak vesszük ezt a halmazt, de főként a természetes számok ℕ halmazát, minden fontos matematikai tulajdonságával együtt. Aki részletesebb felépítésre kíváncsi, az ITTMEGITT talál ilyeneket. Így a következő tulajdonságokat tekinthetjük axiómáknak, bizonyítás nélkül elfogadandó állításoknak is, annak ellenére, hogy tárgyalásmódunk hangsúlyozottan nem axiomatikus (és az axiomatikus felépítéskor nem is ezen tulajdonságokat szokás lefektetni).

1. Az egész számok rendezett integritástartománya[szerkesztés]

ℤ jelöli az egész számok halmazát. E halmazban az ismert módon bevezetünk két műveletet, a +-szal jelölt összeadást, és a ·-ral jelölt szorzást, ezek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal:

Ekkor A2 miatt persze az A5b: a(b+c)=ab+ac is teljesül. További tulajdonságok:

Mindezeket az természetes számok ℕ halmaza is „tudja”. A természetes számok között azonban nem értelmezhető általánosan a kivonás művelete, egész számokat azért vezetjük be, hogy ez is mindig elvégezhető legyen. Ehhez elegendő a következőt megkövetelni:

Az a’∈ℤ elemet az a∈ℤ elem ellentettjének nevezzük és „mínusz a”-nak ejtjük. A szokáshoz híven −a-val fogjuk jelölni. Könnyű belátni, hogy minden egész számnak egyértelműen létezik ellentettje, ugyanis ha a’+a=0 és a”+a=0 is teljesül, akkor a második egyenlőséghez a’-t adva a bal oldalra érvényes (a”+a)+a’=a”+(a+a’)=a”+0=a”, de a jobb oldal az ezzel egyenlő 0+a’=a’, azaz a”=a’.

A figyelmes Olvasó azonban felfedezheti, hogy itt felhasználtunk két rejtett axiómát: azt, hogy lehet egyenlőséghez számot adni, és hogy az egyenlőség tranzitív (ha két szám egyenlő egy harmadikkal, akkor egymással is egyenlőek). Ezeket azonban nem szükséges külön kijelenteni, mivel az első a művelet definíciójából következik, a második pedig az egyenlőségéből, tehát ezek deklarálás nélkül is elfogadhatóak.

Most már könnyen belátható, hogy két tetszőleges egész számnak van különbsége, azaz olyan szám, amelyiket az elsőhöz adva a másodikat kapjuk. Azaz ha a,bℤ, akkor da,b=dℤ:a+d=b. Az Olvasó eddigi elemi matematikai ismeretei alapján már ki is találta, hogy ez épp a da,b=−a+b=b+−a szám, amely létezik, mivel létezik a −a szám és ennek b-vel vett összege is. Valóban, a+(−a+b)=(a+−a)+b=0+b=b. A da,b=b+−a számot az a,b számok b,a sorrendben vett különbségének mondjuk és b−a-val jelöljük.

Tétel (1.1.):Nullával való szorzás mindig nullát eredményez. Azaz: zℤ:0z=0; Ugyanis a 0 definíciója miatt 0+0=0, ezt az egyenlőséget z-vel szorozva 0z+0z=0z adódik, amihez hozzáadva  −(0z):=−0z-t, a bal oldal (0z+0z)+−0z=0z+(0z+−0z)=0z+0=0z, az ezzel egyenlő jobb oldal pedig 0z+−0z=0, azaz 0z=0. Így valóban a 0-nak minden egész szám osztója. Tétel (1.2.):Tetszőleges egész számokra (sőt bármely gyűrűben) teljesülnek az alábbi azonosságok: a,bℤ: −(−a)=a; −(ab)=(−a)(b)=a(−b); ab=(−a)(−b); −(a+b)=−a+−b Továbbá tetszőleges egész számokra (sőt bármely egységelemes gyűrűben) teljesül:aℤ: −a=(−1)a; A −aℤ ellentettje egyértelműen létezik, mégpedig a, ugyanis a+(−a)=0 nemcsak azt jelenti, hogy a ellentettje −a, hanem hogy a −a egyik ellentetje a, és az ellentett egyértelműsége miatt más ellentett nincs Hasonlóan, az abℤ inverze egyértelműen létezik, tehát ha véletlenül ab+(−a)b=0, akkor szükségképp (−a)b=−(ab)=−ab (a zárójelet sem szükséges ekkor kiírnunk). Márpedig az a+−a=0 egyenlőséget b-vel szorozva épp ez adódik: 0b=0=(a+−a)b=ab+(−a)b, azaz (−a)b=−(ab). A b+−b=0 egyenlőséget a-val szorozva pedig a0=0=a(b+−b)=ab+a(−b), azaz −(ab)=a(−b) is teljesül Mindezekből pedig ab=−(−(ab))=−((−a)b)=(−a)(−b), mivel a fenti második azonosság értelmében „a − előjel egy szorzat elől bevihető akár az első, akár a második tényező elé”. Hasonlóan az eddigiekhez (a+b)+(−a+−b)=(b+a)+(−a+−b)=b+(a+−a)+−b=b+0+−b=b+−b=0, ami szerint −(a+b)=−a+−b Érvényes a második azonosság alapján (−1)a=(1)(−a)=(−a), azaz (−1)a=−a.

Gyűrűnek nevezzük azokat a két művelettel ellátott halmazokat, melyekre az 1.,3.,4.,5., 5b., 6., 9. tulajdonságok teljesülnek. Azaz gyűrű (angolul „ring”) egy olyan (R,+,·) rendszer, ahol R egy halmaz, + és · két kétváltozós művelet az R halmazon, + kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és minden elemnek elentettje; a · művelet pedig asszociatív; és a + összeadásra nézve disztributív. Ha még 2. is teljesül, akkor e gyűrűt kommutatív gyűrűnek nevezzük (az egész számoké is ilyen, és ekkor 5b.-t nem kell külön kimondanunk), ha meg 7., egységelemes gyűrűnek nevezzük. Termséezetesen vannak olyan gyűrűk, melyek egyszerre kommutatívak is meg egységelemesek is, pl. ℤ, de vannak olyanok is, melyek nem kommutatívak, bár egységelemesek (pl. az ún. mátrixgyűrűk), vagy kommutatívak, de nem egységelemesek, vagy éppen se nem ilyenek, se nem olyanok. Ha a 8. igaz (akár kommutatív a gyűrű, akár nem), akkor nullosztómentes gyűrűről beszélünk (pl. az nn-es mátrixok általában nem alkotnak nullosztómentes gyűrűket). Kommutatív, egységelemes és nullosztómentes gyűrűk neve integritástartomány. A fenti axiómák eszerint azt mondják ki, hogy ℤ integritástartomány. Ellenőrizhető, hogy a fenti axiómák függetlenek egymástól: a fenti axiómák közül akárhányból sem következik v.mely másik. Vannak olyan halmazok, amelyekben egy szorzás pl. kommutatív, egységelemes, de pl. nem teljesül a nullosztómentesség. Az „integritástartomány” elnevezés egyébként az „integer” (egész) szóból ered, és arra kíván utalni, hogy az ilyen halmazok algebrai szempontból pontosan az egész számokra hasonlítanak. Integritástartományt alkotnak például a valós együtthatós polinomok. Integritástartomány azonban (végtelen) sok van: a fenti axiómák még közel sem határozzák meg ℤ-t egyértelműen. Axiómáink következő csoportja azt deklarálja, hogy ℤ kiterjesztése ℕ-nek, és hogy ezt hogyan kell érteni. Nem egyszerűen csak arról van szó, hogy ℕℤ.

Mindezt úgy foglalhatnánk össze, hogy ℤ épp a természetes számokból és azok ellentettjeiből áll, és két természetes számot ugyanúgy kell az egész számok összeadásával összeadnunk, mintha a természetes számok közti összeadást végeznénk, azaz az utóbbi mművelet leszűkítése az előbbinek a természetes számokra..

Értelmezhető egy  reláció ℤ-n a következőképp: ab:nℕ:b=a+nb−aℕ. Ejtsd: az a szám kisebb vagy egyenlő mint a b. Erre a relációra teljesülnek:

Ha egy gyűrűre,melyen egy  reláció értelmezett, a R1.-..-R5. axiómák teljesülnek, azt rendezett gyűrűnek mondjuk, ha még 18. is, akkor lineárisan vagy teljesen rendezett gyűrűnek. Eszerint ℤ az előbbi relációval teljesen rendezett integritástartomány. Értelmezhető egy < reláció ℤ-n a következőképp: a<b:nℕ\{0}:b=a+nabab. Ejtsd: az a szám (szigorúan) kisebb mint a b. A 0-nál nagyobb vagy egyenlő (azaz a természetes) számokat nemnegatívnak mondjuk, a 0-nál határozottan nagyobbakat (0aa0) pozitívnak, tehát a pozitív számok ℕ\{0} elemei, és egy szám akkor kisebb vagy egyenlő mint a másik, ha a második és az első különbsége nemnegatív. Olyan  rendezési relációval (R1.-R2.-R3. teljesül -re) ellátott rendezett halmazt, amelyre R11 teljesül, jólrendezettnek nevezünk. Az egész számok gyűrűje nem jólrendezett (végtelen sok elemet tartalmazó gyűrűk általában nem jólrendezettek), de az ℕ részhalmaza igen. Az R11. axiómát a következőképp célszerű emberi nyelvre fordítani: ha egész számok egy nem üres részhalmazának minden eleme nemnegatív − tehát ha részhalmaza ℕ-nek − akkor ebben a részhalmazban van egy legkisebb elem. Ezt min(H)-val szokás jelölni, az antiszimmetria miatt egyértelműen létezik.

Értelmezhető továbbá tetszőleges zℤ szám abszolútértéke: |z|=z ha zℕ, |z|=-z egyébként. Azaz: |a|:= Innen azonnal adódik z|z| (minden zZ-re). Fontosabb tulajdonságok:

Az előző, összefoglaló és bevezető fejezet után belekezdhetünk a számelmélet tanulmányozásába. Értelmezni fogunk egy „multiplikatív nagyságrendet” mérő relációt a szorzás segítségével ugyanúgy, ahogyan az „additív nagyságrendet” mérő  relációt értelmeztük az összeadás segítségével. Az egész számok bevezetésének „mélyértelmét” az adja, hogy a természetes számokkal ellentétben két egész számnak mindig van különbsége, azaz az összeadás invertálható − ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy az a+x=b egyenletne mindig van megoldása az egész számok közt, ha a,b egészek − addig a szorzásra ez nem teljesül, pl. 3x=4 nem oldható meg, mivel az x=4/3 „nem létezik”, legalábbis az egész számok körében. Ez az észrevétel pedig a számelmélet tanulmányozásának „mélyértelmét” adja. Mikor osztható egy adott szám egy másikkal? Érdekes, hogy az összeadási, additív szempontból gyerekesen egyszerűen felépülő egész számok multiplikatív, szorzási szempontból milyen bonyolultak: ha nem így lenne, sok nevezetes számelméleti probléma (pl. a Goldbach-sejtés) már rég megoldódott volna.

2. Oszthatóság.

Definíció (2.1.): Az aℤ számot a bℤ osztójának nevezzük, ha egy egész számmal szorozva b-t ad. Ezt a relációt a|b jelöli. a|b:qℤ:aq=b. Azt is mondjuk, b osztható a-val. Jele a|b. A q számot (quotiens=hányados (latin)) az a,b hányadosának nevezzük. Ha a|b, használjuk a b többszöröse a-nak (konkrétabban: q-szorosa a-nak) kifejezést is. Tétel (2.2.):a,bℤ:a|b−a|ba|−b−a|−b|a|||b|. Ugyanis a|bb=aqb=(−a)(−q)(−a)|b (−qℤ). Továbbá a|bb=aq, szorozva −1-gyel (−1)b=−b=(−1)aq=−aq=(−a)q=a(−q), ahonnan −a|−b és a|−b. Mindezt figyelembe véve a|bb=aq, ezt szorozva −1-gyel (−1)b=−b=−1(aq)=((−1)a)q= =(−a)q=a(−q), az utolsó két egyenlőség szerint pedig ekkor −a|−b és a|−b. A fenti tételeket és bizonyításokat a,b helyett −a-ra és/vagy −b-re alkalmazva azok megfordításai is adódnak. Végül pedig ha a|b, azaz b=aq, akkor ׀b׀=׀aq׀=׀a׀·׀q׀, azaz ׀a׀|׀b׀. E tételt formulák nélkül úgy fogalmazhatnánk meg, hogy oszthatóság szempontjából a természetes számok egészekké bővítése teljesen felesleges volt ... Ha egy egész szám osztója egy egész számnak, az pontosan akkor teljesül, ha abszolútértékeik oszthatóak egymással. Azt azért meg kell jegyeznünk, az egész számok gyűrűje sok tekintetben egyáltalán nem úgy viselkedik, mint a természetes számok halmaza (pl. nem jólrendezett, és ezért nem értelmezhető úgy a maradékos osztás, ahogyan a természetes számok közt, de erről később). Az additív és multiplikatív nagyságrendi reláció a következő kapcsolatban van: az utóbbi implikálja (maga után vonja) az előbbit: Tétel (2.3.):Egy nem nulla szám összes pozitív osztója kisebb, mint a szám abszolútértéke: a,bℤ:a|bb0׀a׀׀b׀. A formula kicsit többet mond, mind a szöveges változat: az utóbbi abban a speciális esetben adódik, ha az osztó nemnegatív: 0a. Mindebből következik, hogy bármely nem nulla számnak véges sok osztója van (csak a nullának végtelen sok): legfeljebb annyi, amennyi az abszolútértéke. Legyen a|b, ekkor ׀a׀|׀b׀, ugyanis ׀b׀=׀a׀׀q׀ (qℤ,׀q׀ℕ). Ha ׀q׀=0, akkor b=0, holott b0, így 0<׀q׀1׀q׀dℕ:1+d=׀q׀, ekkor ׀b׀=׀a׀(1+d)=׀a׀+׀a׀·d, itt ׀a׀,dℕ׀a׀·dℕ, azaz a D=׀a׀d0 számmal ׀b׀=׀a׀+D׀a׀׀b׀.

Tétel (2.4.):Az oszthatóság reflexív, tranzitív, és az előjeltől eltekintve antiszimmetrikus reláció az egész számok halmazán.Azaz a,bℤ: a|a; (a|bb|c)a|c; (a|bb|c)׀a׀=׀b׀a=b. U.is aℤ:a=a·1 miatt a q=1 hányadossal a|a. Ha pedig a|bb|c, akkor p,qℤ: b=pac=qb, ekkor c=qb=q(pa)=(qp)a, ahol qpℤ miatt (ez a qp a hányados) a|c. Ha pedig a|bb|a, akkor ׀a׀׀b׀׀b׀׀a׀ miatt  antiszimmetriája alapján ׀a׀=׀b׀. Az azonban nem igaz, hogy ekkor a=b, pl. −2|2 és 2|−2, mégis 2−2. Fordítva, ha ha ׀a׀=׀b׀, azaz a=ba=−b, akkor a|bb|a, az első esetben a hányados 1 (a=b=1·b), a másodikban −1 (a=−b=(−1)b).. Most megvizsgáljuk, a 0 és 1 kitüntetett elemek hogyan viselkednek oszthatóság szempontjából. Tétel (2.5.):zℤ:z|0; 0|zz=0. Ugyanis z-re 0=0z érvényes, így valóban a 0-nak minden egész szám osztója, az oszthatóság definíciójában szerplő hányados q=0. Fordítva viszont, önmagán kívül a 0 semelyik egész számnak sem osztója, mert 0|z, qℤ:z=0q, akkor az előzőek szerint z=0q=0. Tétel (2.6.):zℤ:1|z; z|1׀z׀=1z=±1. Az első nagyon könnyű: mivel a z egységelem, z=1·z=z·1, azért q=z-vel 1|z Fordítva, ha z|1, ׀z׀׀1׀=1, tehát 0׀z׀1, ahonnan ׀z׀=0׀z׀=1 (mert ekkor ׀z׀+d=1 (dℕ), ha d=0, akkor ׀z׀=1, ha meg d>0, azaz d1, azaz d=1+d’ (d’ℕ), akkor ׀z׀+1+d’=1׀z׀+d’=0, innen R10 alapján ׀z׀=0, innen N2 alapján z=0, tehát tényleg vagy z=0, vagy ׀z׀=1(z=1z=−1), ugyanis vagy 0z, vagy z<0 teljesül, és az abszolútérték definíciója szerint az első esetben z=׀z׀=1, a másodikban 1=׀z׀=−zz=−1. Az 1 és −1 pedig valóban osztói z-nek: z=1·z=(-1)(−z). Eszerint a nullának végtelen sok osztója van: az összes egész szám, vagyis multiplikatív szempontból ez az egész számok halmazának „legnagyobb” eleme; más számoknak csak véges sok osztójuk van: a b0 számnak legfeljebb annyi, ahány nem nulla szám van a −׀b׀…+׀b׀ intervallumban, azaz legfeljebb 2b. Az egynek pedig pontosan két osztója van, ezek közül egy pozitív. Továbbá a nulla szinte semminek sem osztója, az 1-ről azonban tudjuk, hogy mindennek. Most megvizsgáljuk, van-e még olyan szám, amely minden számnak az osztója. Kiderül, hogy lényegében nincs:

Definíció (2.7.): Az ℤ számot egységnek nevezzük, ha minden egész számnak az osztója. Ha az a,b egészek közül valamelyik a másik egységszerese, akkor asszociáltaknak nevezzük e számokat. Jele a~b. Egység:aℤ:|a. a~b:ℤ:[aℤ:|a(a=bb=a)] Tétel (2.2.):Két olyan egész szám van, melyek egységek: 1 és −1. Legyen ℤ egység, ekkor minden számnak osztója, azaz 1-nek is, de ez utóbbinak csak két osztója van: ±1. Mindkét szám valóban egység aℤ:a=1·a=(−1)(−a) miatt. Hasonló gondolatmenetek tetszőleges integritástartományra igazolják, hogy az egységek pontosan az egységelem (ne keverjük össze a két fogalmat!) osztói. Amint az látható, nem feltétlenül az egységelem az egyetlen egység: a valós együtthatós polinomok gyűrűjében pl. minden valós szám egység, azaz kontinuum sok egység is lehet(!) egyes gyűrűkben. Könnyen igazolható a 2.4. tétel alapján, hogy ~ ekvivalenciareláció ℤ-n. Az ekvivalenciaosztályok a {z,−z} alakú halmazok lesznek.

2.8. Egységek pontosan az 1 osztói (ez tetszőleges integritástartományban igaz).

U.is z=1z miatt 1|z, és z=-1·-z miatt -1|z minden zZ-re.

Így aztán a~b  |a|=|b|. 2.6).-ból az is következik, a|b, c~a és d~b;  c|d.

Könnyen bizonyítható, hogy ~ ekvivalenciareláció Z-n.

2.9. a,b,c,dZ:  1). a|ba|cb;                        2). a|b  a|c  a|b+c;
                             3). a|b  c|d  ac|bd;         4). x,yZ: a|b,ca|bx+cy.
Ugyanis 1). b=aqcb=c(aq)=(cq)a miatt a|cb; 2). ha b=aq és c=ar  b+c=aq+ar=a(q+r), így a|b+c; 3). b=aq  d=cr  bd=aqcr=(ac)(qr), így ac|bd; 4). a|ba|bx; a|ca|cy (x,yZ); így 2). szerint a|bx+cy.

2.10. Ha a|b és b0, a és b hányadosa egyértelműen létezik.
 U.is b=aq és b=ar esetén aq=ar, azaz a(q-r)=0. Ekkor a0 mert ekkor b=0; így q-r=0, q=r. Mindez a no.-mentesség következménye.

3.Maradékos osztás.

Mivel Z-ben, mint általában gyűrűkben, integritástartományokban, az osztás nem korlátlanul invertálható; hiszen pont ezért van értelme az oszthatósági reláció bevezetésének, így nem minden a,b egész szám esetén van az ax=b egyenletnek (egyértelműen) létező megoldása. Azonban be lehet vezetni az osztás következő általánosítását:

3.1. (maradékos osztás tétele):
      Tetszőleges a,bZ,b0 egészekhez léteznek olyan q,rZ egészek, hogy a=bq+r  0r<|b|
       legyen. Ez esetben a q,r számok egyértelműen meg vannak határozva.
Definíció: A q egészt az a,b hányadosának, r-t osztási maradéknak nevezzük.
                 Jele q=a\b és r=a mod b. Vezessük be a következő Z→{-1,0,1} függvényt:

sgn(z)=-1  z<0; sgn(0)=0, sgn(z)=1  z>0. Állítjuk:

 Lemma: sgn(z)·z=|z|. Hisz |z|=0=0·z=sgn(z)·zz=0, |z|=z=1·z=sgn(z)·z  z>0 és

|z|=-z=(-1)·z=sgn(z)·z  z<0.

 A maradékos osztás tételének bizonyítása:

Tekintsük a D={a-bz|zZ} halmazt, ebben van nemnegatív szám.

Ha a0, akkor pl. a z=0 választás megfelel:a-0b=a0. Ha a<0, akkor |a|,|b| pozitív számok, azaz

|b|1, s szorozva ezt a szintén pozitív |a|-val, |a||b||a|, tehát |a|·sgn(b)·b=(׀a׀·sgn(b))b|a|.

Tehát van olyan z egész (pl. z=׀a׀·sgn(b)), hogy bz|a|=-a (hisz most a<0). Azaz a+bz0, s tekintve, hogy {a+bz}zZ={a-bz}zZ=D; D-ben tényleg van nemnegatív szám, létezik legkisebb D-beli nemnegatív szám is. Jelöljük ezt r-rel, a hozzá tartozó z-t q-val, s ez lesz a keresett r,q.

U.is a-bq=r, azaz a=bq+r. Továbbá állítjuk, hogy 0r<|b|. Az r def. miatt 0r, és r<|b| is; hisz ha r|b| lenne, akkor r=|b|+r’, ahol r’N és 0r’r. Ekkor a=bq+r= bq+|b|+r’= =b(q+sgn(b))+r’, jelöljük q+sgn(b)-t Q-val, ekkor a-Qb=r’. Mivel QZ, azért r’D. Viszont 0r’r. Ez r definíciója (r a D legkisebb nemnegatív eleme) miatt csak úgy lehetséges, ha r’=r, azaz |b|=0, ami akkor és csak akkor teljesülhet, ha b=0, de ennek ellenkezőjét feltettük.

Így valóban 0r<|b|.
 Az egyértelműség bizonyítása:
Legyen a=bq+r és a=bQ+R, ahol 0r,R<|b|. Ekkor bq+r=bQ+R  b(q-Q)=R-r. Innen

|b||q-Q|=|R-r|. 0r,R<|b| miatt |R-r|<|b| is. Viszont |b||q-Q||b|, ha |q-Q| pozitív szám. Ez lehetetlen, csak |q-Q|=0 lehet. Innen q=Q. A hányados létezése egyértelmű. Ínnen már következik, hogy a maradéké is: bq+r=bQ+R=bq+R miatt r=R.

3.2. Végül: ez az eljárás tényleg általánosítása az osztásnak a következő értelemben: ha a|b, b0, akkor az a-t b-vel maradékosan osztva a hányados az eredeti értelemben vett hányados lesz (ha b=aq, akkor a hányados q), a maradék 0. U.is ha b=aq, és b0, akkor 00<|b|, vagyis 0 jó r

szerepére, tehát, r egyértelműsége miatt, csak r=0 lehet, innen b=aq+0 miatt q lehet a q.

Még a következő észrevételt tehetjük: adott b0 számmal való osztáskor az egész számok |b|-féle maradékot adhatnak: 0-t, 1-t, …|b|-1-et; de |b|-t már nem, hisz |b|<|b| nem teljesül.
Az viszont belátható, hogy egyik maradék sem maradhat ki: minden m{0,1,…,|b|-1} számhoz létezik olyan aZ, hogy a mod b =m legyen. Pl. maga m. U.is m=0b+m alakú ahol 0m<|b|; így m\b=0 és m mod b =m.
3.3. Legyen b0.   1). Ha a mod b=m, akkor azon t egészek halmaza, melyekre t mod b =
                                    =a mod b =m, a Tb(a)={a+zb|zZ} halmaz.
 Tehát a és t pontosan akkor adnak azonos maradékot b –vel való osztáskor,
ha b egy többszörösében különböznek. Azaz 
                               2). t mod b =a mod b =m b|t-a.
 Látjuk, hogy 1). és 2). ekvivalens, vagyis elegendő az 1).-t bizonyítani, hisz ha tTb(a), azaz   
t=a+zb alakú, akkor t-a=zb miatt b|t-a, ha meg b|t-a, akkor zZ: bz=t-a, innen meg a+bz=t, azaz tTb(a). Bizonyítsuk hát 1).-t: Rögzítsük a b-t, és Tb(a)-t jelöljük T(a)-val. 
Ha tT(a), akkor t=a+bz, ekkor t=bq+m+bz=b(q+z)+r, ahol 0r<|b|, így aztán t mod b=m=t mod a. Fordítva, ha t mod b =a mod b =m, akkor t=bp+m alakba írható; ekkor t-a=(bp+m)-(bq+m)=b(q-p), azaz b|t-a.