Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Bevezetés

Témák jegyzéke Következő fejezet (Osztály, elem, egyenlőség)

A halmazelmélet története

A halmazelmélet a matematika egy kiemelkedő fejezete. A halmazelmélet kialakulása nem csak egy matematikai elmélet kifejlődését jelenti, hanem egy olyan korszakot, amikor a matematikai szigorúság a mai fokát érte el. A modern matematika a huszadik század elejétől kezdve egészen máig elképzelhetetlen a halmazelméleti fogalmak és módszerek használata nélkül.

Előzmények

Problémák a valós számok és függvények elméletében

A halmazelmélet megalkotásához a XIX. szd. végi matematikusok azon törekvése vezetett, hogy a matematikai analízisben olyan nagy szerepet játszó fogalmakat, mint pl a valós számoké és az irracionális számoké, a lehető legjobban meghatározzák, matematikai eszközökkel jól körülbástyázzák. Ezt a matematikában kicsit is járatosak számára ma már nyilvánvalónak tűnő, de valójában nem is olyan magától értetődő követelményt azért fogadták el, mert a valós számok és függvények egyre több gondot okoztak és vitát keltettek. Ezek a problémák sokszor összefüggőnek látszottak, s legtöbbjük valamilyen kapcsolatban volt a végtelen fogalmának ősi problematikájával. A főbb problémák közé tartozott az irracionális számok definiálásának kérdése, a függvény (Eulerhez és korához köthető) felfogásának olyan újragondolása, amely alkalmassá teszi a fogalmat a fizikai rezgő húr leírásából keletkezett Fourier-analízis kezelésére, általában pedig a modern soranalízis problémáinak, például a divergens végtelen sorok elméletében felmerült ellentmondások, ill. vitás kérdések megoldására - valamint a valós függvények differenciálhányadosának a sok kritikában részesült „végtelen kis mennyiségektől” mentes elméletének megalkotására. Akadtak más paradoxonok is (ezek motiváló hatása azonban kevéssé feltárt, illetve bizonyított). Zénón paradoxonjai ősidők óta talányokat okoztak a végtelen fogalmát használó filozófusoknak; azt pedig már Galilei is felfedezte, hogy a természetes számok és a négyzetszámok egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak, tehát Euklidesz részről és egészről szóló alapvető geometriai axiómájának érvényessége („az egész nagyobb a részénél”) már a természetes számok „diszkréten végtelen” sokaságára is megkérdőjelezhető.

A szigorúság forradalma

Bár a halmazelméletet végül is a valós analízis rendbehozásának igénye szülte, a matematika fogalmainak és tételeinek kritikai revíziója iránti igény az 1800-as évek elejétől kezdődően egészen az 1900-as évek közepéig több tudományágban is a matematikai kutatások egyre erősödő áramlatává vált; nemcsak a valós analízisen, de pl. az aritmetikán (G. Peano, G. Frege), a szintetikus geometrián (M. Pasch, D. Hilbert), a topológián (H. Poincaré, M. Fréchet, G. Cantor, stb.), és a matematikai logikán (G. Peano, G. Frege, B. Russell, A. N. Whitehead, etc.) belül is. Ezen ágak problémái - a megoldásukra irányuló kutatásokkal egyetemben s ezek eredményeként - sokszor váratlan módon fonódtak össze.

A. L. Cauchy

Az analízis fogalmainak és tételeinek vizsgálatát A. L. Cauchy, B. Bolzano és K. Weierstrass indította el az 1800-as évek első évtizedeiben. Sikerült olyan alapvető topológiai fogalmakat megszabadítani a végtelennel kapcsolatos ellentmondásoktól és vitáktól, mint pl. a határérték vagy a folytonosság; vagy a végtelen matematikai alkalmazásai; ezek nagyfokú aritmetizálásával. Aligha követünk el nagy hibát, ha a „szigorúság forradalma” első hullámáról beszélünk, és talán még akkor sem, ha ezt a fent említett nagy analisták fellépésében jelöljük meg . Ám ezen „első hullám” munkásságának eredményeképp kiderült, hogy az általuk precizírozott, topológiai jellegű fogalmak a kulcsai az irracionális számok definiálhatóságának, s ezért maguknak a valós számoknak a fogalmát is revízió alá vonták.

K. Weierstrass

Ez már (bár pl. Bolzano és Weierstrass is foglalkozott a problémával ) egy másik nemzedék alapvető feladata lett: Georg Cantor és Richard Dedekind jártak benne az élen, valamint olyan más kutatók, akik alapvető célként nem a valós analízis, hanem a matematikai logika és az aritmetika „rendbetételét” tűzték ki céljukul, mint Gottlob Frege és Bertrand Russell. E „második nemzedék” tagjai eltérő filozófiai nézeteket és matematizálási stílust (precíz, formális, intuitív) képviseltek, és különböző munkamódszerekkel dolgoztak; nevük mégis összefonódott, mert mindannyian a halmazhoz hasonló fogalmakra, a halmazelméletre vagy a hozzá hasonló matematikával rendelkező logikai módszerekre alapoztak (a halmazelmélet legtöbb alapvető fogalmának egy az egyben megvan a logikai megfelelője), s így mind belebonyolódtak az általuk felépített új matematika azon ellentmondásaiba, amiket többnyire még maguk fedeztek fel (a leghíresebb ilyen Russell antinómiája). E „második nemzedék” tagjainak sorsa általában abban is közös, hogy évtizedekig küzdeniük kellett a meg nem értéssel: a támadásokkal, vagy agyonhallgatással.

A huszadik század első évtizedeire azonban „eljött az ő idejük”, s eredményeik hatására sokan gondolták úgy, hogy ha sem az aritmetika (illetőleg az ennél bővebb analízis), sem a geometria évezredes tételeiben nem lehetünk biztosak, akkor ildomos lenne az egész matematika legvégső alapjait is megvizsgálni és újragondolni, sőt a matematikának vitáktól és problémáktól mentes megalapozását adni (fundacionalizmus).

Még Leibnizre vezethető vissza az a nézet, hogy a matematika részben vagy egészben a logika része (logicizmus), amelynek fő képviselői épp Frege és Russell voltak. Mindketten megpróbálták az egész matematika újraaxiomatizálását, bár nem a halmazelméletre, hanem a matematikai logikára építettek. A századforduló környékén, noha logicista nézeteiket ellenezték, sokan csatlakoztak a matematika „megtisztítására” irányuló munkásságukhoz, így pl. az azelőtt a geometria megalapozásával is foglalkozó Hilbert, aki a logicizmus helyett a finitizmus képviselője volt, vagy a topológus L. E. J. Brouwer és intuicionista követői. A huszadik század végéig egy sereg matematikus vagy filozófus tette hozzá a magáét ezen problémák megoldásához, pl. A. Tarski, A. Church, E. Zermelo, Neumann J. és még rengetegen.

A halmazelmélet születése

Az első lépések

A halmazelmélet a tizenkilencedik század elejétől kezdve már ugyanúgy a „levegőben lógott”, ahogyan a nemeuklideszi geometria. Ezt bizonyítja, hogy néhány alapgondolatát - a nemeuklideszi geometriával analóg módon - tulajdonképp már megszületésük előtt felfedezték, csak éppen nem matematikai eredményekként, hanem elvetendő paradoxonként tartották őket számon; valamint az is, hogy több kutató egymástól függetlenül alkotta meg, csak más elnevezésekkel, gyakorlatilag ugyanazokat a fogalmakat (a számosságazonosság fogalma például Bolzanónál, Dedekindnél, Cantornál és Fregénél is ugyanarra az alapelvre, a bijektív leképezés létezésére épül; a „végtelen halmaz” mint ami definíció szerint egy valódi részhalmazára bijektálható, szintén megjelenik Bolzanonál, Dedekindél és Cantornál is stb.).

Bolzano, a „halmaz” fogalom szülőatyja

A végtelen halmazok általános tudománya már „majdnem” világra jött 1851-ben. Ekkor jelent meg B. Bolzano cseh matematikus végtelennel kapcsolatos ellentmondásokról szóló Paradoxien des Unendlichen című könyve, bár egy tanítványa adta ki (a szerző már három éve halott volt). E kötetben található a halmaz (ném. Menge) szó első mai matematikai értelméhez hasonlatos megjelenése, és ebben sikerült olyan halmazokra példát adnia, amelyek kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek valamely valódi részhalmazukkal. A végtelen fogalmának tárgyalása során Bolzano Cantor későbbi megállapításait visszhangzó eredményekre jutott, ám visszariadt ezektől, minthogy paradoxnak érezte őket – a rész és egész viszonyáról szóló euklideszi axióma megsértését nem tudta elfogadni – és így arra a következtetésre jutott, hogy a matematikába az aktuális végtelen nem engedhető be. Lehangoló eredményei miatt munkáját ő maga nem is adta ki, pedig halála előtt egy évvel befejezte (1847-ben).

Richard Dedekind, számos nehéz fogalmat sikerült definiálnia

A következő lépéseket két fiatal kutató tette meg, akik a XIX. szd. utolsó évtizedeiben magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentősségű eredményeket értek el a valós számok elméletében. Richard Dedekind egy 1872-ben kiadott értekezésében (Folytonosság és az irracionális számok) bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban van akár irracionális, akár racionális szám; bevezette továbbá az irracionális számok definiálására az ún. „szeletek” fogalmát . Dedekind sok munkájában alapfogalomként épített az ún. „rendszer”-ekre, ezek gyakorlatilag a halmazokkal azonosak. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet a ún. átlós eljárással igazolt).

Cantor cikkének 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének. A Cantor-féle (ún. naiv vagy intuitív) halmazelmélet fogalmait, illetve hasonló fogalmakat már ekkor használta a Cantorral szoros munkakapcsolatban lévő Dedekind és a tőlük függetlenül dolgozó (bár munkásságukat jól ismerő), matematikai logikai vizsgálatokat végező Gottlob Frege. A halmazelmélet ezen úttörői a részletekben ugyan általában gyakran eltértek egymástól, sőt nem is mindenben értettek egyet, az új szigorúság követelményét és a valamilyen sokaságfogalomra alapozást mint munkájuk egyik alapparadigmáját azonban egyaránt elfogadták.

A halmazelmélet kezdeti sikerei mellett két párhuzamos folyamatban is a kritikák kereszttüzébe jutott. Használói forradalmi topológiai felfedezéseket tettek, teljesen átalakítva a valós függvényekről és a két- ill. többdimenziós tér szerkezetéről addig közkeletű képet. Ez azonban csak a matematika egy nagyon fontos, de körülhatárolható szeletét érintette, és a kritikák nem az egész megalapozási elv, hanem csak a halmazelmélet használata ellen irányultak. Lassabb folyamat volt azon ellentmondások felfedezése és megoldása, amelyek az egész matematikát romba dőléssel fenyegették, és a megalapozási paradigma minden akkoriban ismert formáját (az intuicionizmust kivéve) megkérdőjelezték.

Megdöbbentő topológiai eredmények

A matematikusok többsége a nemeuklideszi geometriák súlyos megrázkódtatást jelentő és sokszor a személyeskedéstől sem mentes vitákat kiváltó felfedezéséig és elfogadásáig nem tulajdonított túl nagy jelentőséget a számfogalom megalapozásának, és a folytonos függvények elmélete nagyrészt továbbra is hagyatkozott a számegyenes - irracionális számokat is magában foglaló - folytonosságának szemléletére. A nemeuklideszi geometriák felfedezése ugyan sokak számára egyértelmű volt annak az évezredes euklideszi, de pl. Immanuel Kant tekintélyének is köszönhetően erős hagyománynak a megdőlésével, miszerint a geometria axiómái a valóságot leíró, abszolút igaz állítások. Mégis, ha ez a geométerek, illetve a filozófusok afféle belügye maradt volna, talán sosem tértek volna el végleg a geometriai szemléletre való hagyatkozástól, és megelégedtek volna Cauchy és Weierstrass elterjedt újításaival, miszerint a szemléletes geometriai sejtések az aritmetika formulanyelvére hagyatkozva egzakttá alakíthatóak. Ezt mutatja éppenséggel a fundacionalizmus képviselőinek eszméivel szembeni nagyfokú kezdeti érdektelenség vagy ellenállás is.

De hamarosan megmutatkozott, hogy ha a szintetikus geometria végtelen számosságú objektumokról szóló, de ettől eltekintve általában finit módon kezelhető állításain túllépünk, és az eddig jobbára a függvényekre és számokra alkalmazott transzfinit módszereket a geometriára is elkezdjük alkalmazni, akkor a megszokott szemlélettől és a sokak által várttól eléggé eltérő „igazságokra” is juthatunk. Így aztán a legújabb topológiai eredmények a matematikusok körében a nemeuklideszi geometriák felfedezéséhez hasonlóan megrázónak bizonyultak, bár az ezzel kapcsolatos viták, ideológiai vonatkozásaik csekélyebb volta miatt, jobbára megmaradtak a tudományos és filozófiai vélemények kifejtése átlagos stílusának szintjén.

Cantor 1874-től kezdett foglalkozni azzal a kérdéssel, hogy létezhet-e egy-egy értelmű megfeleltetés (vagyis a számosságok azonossága) két különböző dimenziós alakzat között (ugyanebben az évben írta meg azt a cikkét, melyet a halmazelmélet születésének tekintünk). Úgy gondolta, hogy annyira nyilvánvalóan "nem" a válasz, hogy még bizonyítás sem szükséges - és ebben egészen bizonyosan osztozott a matematikusok többségével, hiszen pl. egy négyzet látszólag jóval "több" pontot tartalmaz, mint az egyik oldala, amely csupán egy igen csekély kiterjedésű valódi részhalmaza.

Peano görbéjének megszerkesztése: a végtelenül hosszú, végtelenül vékony egydimenziós fonal elegendő mértékben gyűrve egyre kétdimenziósabb lesz, mígnem teljesen lefedi a négyzetet

1877-ben várakozása ellenére sikerült bebizonyítania, hogy mégis csak "igen" a válasz a kérdésére, és tetszőleges n>0 esetén a teljes n-dimenziós tér egy-egy értelmű módon leképezhető nemhogy az 1-dimenziós térre (egyenesre), hanem annak egy véges kiterjedésű részére, az egységszakaszra is. „Látom, de képtelen vagyok elhinni” - írta kollégájának, Dedekindnek egyik levelében. Majd azon kezdett dolgozni, hogy bebizonyítsa, még ha léteznek is ilyen leképezések, azok mind „csúnya”, nem folytonos függvények (az ő egy-egyértelmű leképezése ugyanis nem volt folytonos).

Később G. Peano megadott egy folytonos görbét, mely cáfolta Cantornak ezt a sejtését is. Peano görbéje olyan egydimenziós alakzat, amely folytonosan és önmagát nem metszően (azaz egy-egyértelmű megfeleltetést biztosítva) áthalad egy egységnyi oldalú négyzet minden pontján, azt teljesen "letakarva".

Hilbert hasonló görbéje

A század elejétől kezdve sorra fedezték fel azon halmazokat és struktúrákat (mint pl. a Dirichlet-függvény az 1830-as években; a Cantor-lépcső vagy más, a halmazelmélet és az analízis eszközeivel egyre egyszerűbb definícióval megadott mindenütt folytonos, de sehol sem differenciálható – azaz „mindenütt tüskés” grafikonú – függvények), amelyeket a konzervatívabb matematikusok nem tartottak másnak, mint a jól megszokott tételek lerombolása céljából létrehozott matematikai szörnyszülötteknek . E viták és problémák csak a századforduló tájékára, az absztrakt mértékelmélet és más eszközök felfedezésével csitultak el végleg; hogy helyett adjanak a másik, sokkal súlyosabb válságnak.

Lassan fordult a kocka. A matematikusok hite a geometriai szemlélet megbízhatóságában végképp megingott, akármit is gondolt többségük magáról a halmazelméletről, mint ennek riválisáról. A tizenkilencedik és huszadik századi matematika komoly feladatává vált a szám- és függvényfogalom olyan szigorú megalapozása, mely minél kevésbé támaszkodik a térszemléletre. A fiatal kutatók új utakat kezdtek keresni a matematika megalapozásához. Már a szigorúsági forradalom első képviselői által szerkesztett definíciók is mutatták, hogy a geometria helyett az aritmetikáé a jövő. Azt, hogy az euklideszi geometria egyeneseinek azonosíthatóságát a valós számok halmazával a matematika egyik axiómájaként vegyék fel, egyébként épp Cantor javasolta az 1870-es évek elején, s ez az elképzelés tért vissza a G. D. Birkhoff 1932-ben publikált geometriai axiómarendszerében , melyben az egyenes már olyan objektumként jelenik meg, melyet egy valós számokra való bijekcióval lehet körülhatárolni a tér pontjainak rendezetlen sokaságából. A valós számok mögött pedig már ott voltak Dedekind szeletei, a Cauchy-sorozatok, és egyéb, többé-kevésbé halmazelméleti jellegű és transzfinit konstrukciók.

Úgy látszott, a "tárgyak, dolgok sokasága" azaz a "halmaz" (más kifejezésekkel "osztály", "rendszer" stb.) fogalma lesz az az alapvető fogalom, amelyre a jövő matematikája épülni fog és amely alapja lehet a matematikusok teljes tudományos konszenzusának. Ezt a hitet rengette meg a megalapozási elv ún. első válsága, az újabb paradoxonok, sőt ellentmondások felfedezése és elterjedése .

Újabb rémítő paradoxonok

Russell, aki majdnem romba döntötte a matematikát, holott fel akarta építeni

A halmazelmélet cantori és fregei paradigmája szerint tetszőleges $T$ tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre $T$ teljesül. Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet ma általában javíthatatlannak tartott hibáinak forrásává vált. Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egy időben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon) a halmazelméletben, s a dolog különösen riasztónak tűnt. Cantor és Dedekind ugyanis axiomatizálatlan, ún. naiv halmazelméletet alkottak, míg Frege egy logikai axiómarendszert próbált felépíteni a számfogalom megalapozására, de a Russell-antinómia még Frege éveken át nagy gonddal felépített, szigorúbban megalapozott elméletében is megjelent. Ráadásul közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható (ezt épp Russell és munkatársa, Whitehead bizonyították egy hatalmas terjedelmű munka, a Principia Mathematica megírásával, amelyben már a paradoxonokra is mególdást próbáltak nyújtani), ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek. Világossá vált, hogy a szigorúság követelményét ennek legfőbb eszközére, azaz magára a halmazelméletre is alkalmazni kell, különben az egész matematika felépítménye összeomolhat.

Korabeli kritikák a halmazelmélettel szemben

Kronecker, a „konstruktivisták” előfutára

A halmazelmélet új eredményeit főleg azok kritizálták, akik a matematikai fogalmak, bizonyítások végigondolhatóságát (tehát lényegében a „végtelen” fogalmának száműzését vagy valamiképpeni kordában tartását) hangsúlyozták. A nagy tekintélyű Leopold Kronecker (1823–1891) például filozófiai megfontolásokból határozottan elvetendőnek tartotta Cantor eredményeit. Kronecker szerint a matematikát a természetes számok elméletére kell építeni és teljesen idegen az emberi gondolkodástól, hogy olyanfajta végteleneket is elfogadunk, melyek eltérnek a természetes számok végtelenségétől. Ezt fejezi ki híres mondása: „A természetes számokat Isten teremtette, minden más az ember műve” .

J. H. Poincaré (1911; mellette Marie Curie).

A Russell-paradoxon megjelenését mások a formalista matematika csődjének gondolták, így például Henri Poincaré ((1854–1912), E. Borel (1871–1956), vagy L. E. J. Brouwer (1881–1966) holland matematikus (és követői, az ún. intuicionisták). Brouwer filozófiai megfontolások alapján korlátozta a definiálás és bizonyítás módszereit (az objektumokat véges sok lépésben kell megkonstruálni; míg ez meg nem történik, nem mondhatók létezőknek); és mint használhatatlan, a fenti korlátozásokkal össze nem egyeztethető elvet, elvetette a kizárt harmadik törvényét a logikában (Brouwer a kizárt harmadik elvének igazságát is tagadta; és az elvet cáfoló példákat igyekezett találni; követői az elv igazságának kérdését gyakran nyitva hagyták, de mint a bizonyításokban nem használható eszközt, szintúgy elvetették).

Kezdetben sokan álltak az intuicionizmus mellé (pl. H. Weyl is, Neumann és Hilbert tanítványa); ám miután kiderült, hogy a halmazelmélet formalizálható úgy, hogy abban már nem lép fel a Russell-paradoxon, nem volt tartható az intuicionizmus erős korlátozásokat tartalmazó megoldása. A kor egyik legtekintélyesebb matematikusa, David Hilbert az intuicionizmus ellen a következő hasonlatot fogalmazta meg: „egy matematikust eltiltani a kizárt harmadik elvének használatától olyan, mintha a csillagászokat megfosztanánk a teleszkóptól, vagy a boxolókat attól, hogy az öklüket használják”.

Az intuicionista matematika végül teret kapott a matematikai logika, és a rekurzív függvények elméletének egyes gondolatmeneteiben. Természetesen az intuicionista logika szerint való következtetés nemhogy nem vált általánossá, de el is tűnt a matematikai gyakorlatból. Ellenben számos dolgozat született olyan témákban, melyek azt vizsgálták, hogy a halmazelméletet, a természetes számok elméletét, vagy a függvénytant hogyan lehetne intuicionista módon felépíteni. Bár ezek inkább logikai, mint matematikai szempontból érdekes munkák, mondható, hogy pl. az intuicionista halmazelmélet vizsgálható mint egy olyan formális axiómarendszer, mely a logikai axiómákban, a halmazelméleti axiómákban és néhány szimbólumban eltér a Zermelo-axiómarendszertől. Így az intuicionista logika és halmazelmélet, illetve a hasonló "rivális" elméletek egyfajta "alternatív paradigmát" képviselnek a matematikán belül, amelyekkel kisebb számú kutató hasonló módon foglalkozik, mint mondjuk az algebra vagy a geometria valamilyen periferiális, kevésbé fontosnak tartott ágával. Egyébként az ilyen alternatív rendszerekkel a „klasszikus” halmazelmélet és logika is tele van (kontinuumhipotézises vagy anélküli halmazelmélet, halmazelmélet a kiválasztási axiómával vagy anélkül stb.).

A halmazelmélet axiomatizálása

A megalapozási elv válságára adott megoldásképp a huszadik század első évtizedeiben kialakult az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk, melyben a kompehenzivitási elvet felváltotta a halmazok iteratív definíciójának elve. Eszerint nem a tulajdonságok alapján értelmezett halmazok képezik a halmazelmélet objektumait, hanem az egyszerűbb halmazokból, halmazműveletek segítségével készített újabb halmazok sokasága alkotja a halmazok világát. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo–Fraenkel és a Neumann–Bernays–Gödel- axiómarendszer (Ez utóbbiban bizonyos fokig visszatér a komprehenzivitás.).

A Zermelo-Fraenkel-elmélet (ZFC-axiómarendszer) az összes öntartalmazkodó halmazokat (azokat is, amik vélhetően nem okoznak antinómiákat) egyszerűen kitiltja az univerzumból egy bonyolult követelmény, az ún. regularitási axióma segítségével. Más eszközökkel, de lényegében ezt teszi Russell típuselmélete is; mindkét módszer kritizálható - elsősorban filozófiai szempontból -; mégis a ZFC számít az axiomatikus halmazelmélet típuspéldájának.

Neumann János, az NBG-axiómarendszer első kidolgozója

Eltérő és sokkal motiváltabb kizáró módszerrel él a Neumann-Bernays-Gödel-féle felépítés (NBG-axiómarendszer). Ez ugyanis a halmaz helyett egy általánosabb alapfogalomra, az osztályéra épít, és a gondot okozó öntartalmazkodó halmazokat definícióval zárja ki, nevezetesen: a halmaz olyan osztály, amely eleme valamely másik osztánynak. E felépítésben Russell és Cantor paradoxonai ama tétel indirekt bizonyításává szelídülnek, hogy léteznek bizonyos osztályok, melyek nem halmazok . Neumann halmazelméletének alapgondolata, az osztály fogalmának bevezetése, Filep László szerint egyébként Kőnig Gyulától ered . Kőnig élete utolsó éveiben végzett matematikai logikai és halmazelméleti kutatásai a halmazelmélet történetének méltatlanul kevéssé emlegetett magyar vonatkozásai közé tartoznak. Kőnig munkásságának tudományos köztudatba emelése a közeljövő felelős magyar filozófusainak és tudománytörténészeinek - ide értve az ez iránt érdeklődő matematikusokat is - fontos feladata lenne.

A matematikusok mellett filozófusok is kidolgoztak axiomatikus halmazelméleti rendszereket (mint pl. W. O. Quine), mivel ezen problémáknak óriási filozófiai jelentősége, mondanivalója is van. Továbbá olyan érdekes kuriózumok is születtek, mint pl. a "zsebhalmazelmélet".

Mindezidáig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat, bár ellentmondásmentességüket sem sikerült eleddig igazolni. K. Gödel későbbi híres eredményei (az ún. nemteljességi tételek) megmutatták, hogy a hiba nem is igazán a halmazelmélet készülékében van, hanem arra vezethető vissza, hogy az ellentmondásmentesség bizonyíthatósága túlságosan igényes követelmény egy olyan matematikai elmélettől, amely elegendően bonyolult ahhoz, hogy használható legyen nemhogy a valós, de egyáltalán a természetes számok modellálására. Így nem látszik garantálhatónak, hogy a Russell-antinómiához hasonló ellentmondások felléptét a matematikai elméletekben végleges bizonyossággal kizárjuk, s ily értelemben akármennyire szigorúak legyünk is, az sohasem lesz a kétségtelen megbízhatóság forrása.

A további problémák ellenére a halmazelméletet a matematikusok többsége a huszadik században a matematika uralkodó keretelméletének tartotta. Ez a felfogás csak napjainkban, néhány évtizede látszik változni és nagyon lassan (elsősorban matematikadidaktikai reformáramlatok hatására), és egyelőre inkább csak bizonyos matematikai stílusjelenségeket és elterjedt lét- vagy ismeretelméleti dogmákat érint („a matematika nem azonos a halmazelmélettel, csak modellezhető az utóbbiban”), mintsem a halmazelméleti alapfogalmakra való hagyatkozást tenné semmissé.

A Bourbaki-csoport

A halmazelmélet az axiomatikus módszereknek köszönhetően mint önálló, érdekes és fontos matematikai elmélet is polgárjogot nyert, de igazi diadala a harmincas években kezdődött. 1934-ben alakult az ún. Bourbaki-csoport francia matematikusokból, akik a matematika olyan újkori szintézisét, egységes fogalmakkal és módszerekkel rendelkező tudományként való tárgyalását kívánták; ami méltó az Euklidesz Elemeiben található gondos, precíz és az ókori fogalmak szerint szinte teljes felépítéshez.

Az első tagok: Henri Cartan, André Weil, Jean Delsarte, Jean Dieudonné és Claude Chevalley, a Párizs latin negyedében található Capoulade kávéházban találkoztak rendszeresen, hogy egy megfelelő analízistankönyvet írjanak a francia egyetemek hallgatóságának; de ez a hely nem bizonyult megfelelőnek. Ezért székhelyüket áttették a Besse-en-Chandesse nevű kis kempinghelységbe. Itt rendezték első, Bourbaki néven tartott kongresszusukat 1935 júliusában (a résztvevők többek közt: Henri Cartan, René de Possel, Jean Dieudonné, André Weil, Claude Chevalley, Szolem Mandelbrojt ).

A csoport, amely a közös névvel is kollektivitását akarta hangsúlyozni, nevét a francia-porosz háború egyik francia tábornokáról kapta. A csoport felfogására és munkáira a formalizmuson és ennek gyakorlati következményein (a filozófiai és gyakorlati vonatkozások iránti érdektelenség, a matematika öntörvényűségének hangsúlyozása, a végletekig vitt precízség, a geometriai szemlélet hanyagolása) kívül a strukturalizmus volt jellemző: a matematikai fogalmak felépítésében elsőrendű szerepet játszott a halmazelmélet keretébe illeszkedő matematikai struktúra fogalma. A csoport törekvése a matematika teljes egységesítésére eredményesnek mondható; és a huszadik századra teljesen átalakult a matematika képe, olyannyira, hogy amikor a Bourbaki-matematika szemléletmódja és egyes fogalmai átszivárogtak az egyetemekről a középfokú oktatásba, világszerte „Új Matematikáról” beszéltek. De a csoport tagjainak önálló, a különféle struktúrák belső ill. egymással való összefüggéseit feltáró eredményei is jelentősek.

A híres függetlenségi eredmények

A kiválasztási axiómát először Ernst Zermelo formalizálta (1904) , része is a ZFC-elméletnek. A matematikusok azonban már előtte is használták kimondatlanul számos bizonyításban. Az axiómának olyan kellemetlen, sokak által vitatott és természetellenesnek érzett következményei is vannak, mint a Banach-Tarski-paradoxon (egy gömböt fel lehet úgy „darabolni” véges sok részre, hogy azokat egybevágósági transzformációkal mozgatva, össze lehessen állítani egy kétszer akkora sugarú gömböt - igaz, a „darabolás” végtelenül finom vágásokat igényel) vagy a jólrendezési tétel (tetszőleges halmaz elemei sorozatszerű rendbe állíthatóak úgy, akárcsak a természetes számok, noha a sorba rendezett halmaz számossága a természetes számokénál esetleg jóval-jóval nagyobb!) . Ezért felmerült az igény, hogy a többi halmazelméleti axiómából levezessék (kimutatva, hogy bár fura, de akkor is igaz), illetve, ha ez nem lehetséges, megmutassák, hogy ütközik a többi axiómával (tehát, hogy ellentmond egészen nyilvánvaló állításoknak, így kvázi hamis); azaz igazságát valamilyen módon véglegesen eldöntsék. Gödel és Cohen meglepő eredményei szerint (1940-es évek legeleje, ill. 1963) ez nem lehetséges: a kiválasztási axióma független a többi ZF-axiómától. Sem a kiválasztási axiómát levezetni nem lehet belőlük, sem a cáfolatát.

Gödel az ún. modell-módszer segítségével mutatta meg, hogy a ZF-axiómarendszernek van olyan modellje, amelyben a kiválasztási axióma teljesül (tehát a kiválasztási axióma nem mond ellent a ZF axiómarendszernek). Ehhez a bizonyításhoz alkotta meg a "konstruálható halmaz" fogalmát. Paul Cohen a modellmódszer egy igen fontos változatát, a forszolást használva megmutatta, hogy a kiválasztási axióma tagadása sem momd ellent a ZF-axiómarendszernek: ZF-nek van olyan modellje is, amelyben a kiválasztási axióma nem teljesül. Tehát a kiválasztási axióma független a ZF-axiómarendszertől, abból se nem levezethető, se nem cáfolható. Ez röviden azt jelenti, a ZF-axiómarendszer alkalmatlan, elégtelen eszköz a kiválasztási axióma igazságának eldöntésére. Ezek az eredmények nem kis meglepetést okoztak.

Hasonló érdekes története van Cantor egyik sejtésének, a kontinuum-hipotézisnek, amely a végtelen halmazok számosságairól szól. Köznyelven és pontatlanul elmondva, Cantor úgy sejtette, a valós számok halmazának számossága (a kontinuum) a "második legkisebb" végtelen számosság, azaz a legkisebb nem-megszámlálható számosság. Tehát a valós számok bármely részhalmaza vagy véges, vagy megszámlálható, vagy pedig kontinuum számosságú; más lehetőség nincs. Cantornak azonban ezt a sejtését nem sikerült bizonyítania. A kérdés nyilvánvalóan alapvető a végtelen számosságok szempontjából, ezért Hilbert nevezetes 1900-as problémalistájén az első helyen szerepelt. Ám Gödel konstruálhatósági elmélete és Cohen forszolásos módszere segítségével megmutatták (szintén 1940 és 1963), hogy a kontinuumhipotézis, akárcsak a kiválasztási axióma, független a ZF-axiómarendszertől. Sőt, a matematikusok azt is megmutatták, hogy a kontinuumhipozézis még a ZFC-től is független Tehát a ZFC-axiómarendszer (ahogy a vele lényegében ekvivalens NBG is) elégtelen az igazságának eldöntéséhez.

Ezen híres eredmények óta egy sor más, az igen nagy elemszámok elméletében használt munkahipotézisről, sejtésről, valószínű vagy valószínűtlen kijelentésről derült ki, hogy független a standard halmazelméleti axiómarendszerektől.

A fuzzy halmazelmélet

A fuzzy („elmosódott”, „bizonytalan”) halmazelmélet kialakulását (1965 -) részint az alternatív logikák (mint az intuicionista logika), részint a huszadik század közepén, illetve végén fellendült mérnöki típusú tudományok (kibernetika, számítástechnika, számítógépes nyelvészet, MI-kutatás) által keltett igények motiválták. Kidolgozója Lotfi Zadeh, a kaliforniai Berkeley Egyetem professzora. A fuzzy halmazelmélet és logika a hagyományos, kétértékű logika általánosításaként létrejött többértékű logika egyik változata, ezen elméletekben az „igaz” és „hamis” logikai értékek mellett megengedünk más értékeket. A fuzzy halmazelméletben egy halmaz elemeihez egy 0 és 1 közötti számot rendelünk, aszerint, hogy az elem „milyen erősen” tartozik a halmazba (ez tulajdonképpen az egyértelmű meghatározottság axiómájának elvetését jelenti, bár a fogalmazás pontatlan, mert a fuzzy halmazelmélet nem vezet be új alapfogalmakat, mint pl. új halmazfogalmat, hanem standard halmazelméleti fogalmakra alapozva modellálja a fuzzy halmazokat).

A halmaz intuitív fogalma

A halmaz szót manapság alapfogalomnak fogadjuk el és nem definiáljuk, szinonimái "öszesség", "sokaság".

Cantor 1895-ben a következő körülírást adta:

"Halmazon gondolkodásunk, szemléletünk jól megkülönböztethető tárgyainak, dolgainak - a halmaz elemeinek - olyan sokaságát, összegyűjtését értjük, melyet egységnek gondolunk" .

Ehhez a következőket kell hozzáfűznünk:

1. A "jól megkülönböztethető" kifejezés arra próbál utalni, hogy egy halmaznak nem lehet "többszörösen" ugyanaz az eleme. Egy elem egy halmazban csak egyszer fordul elő.
2. Mindehhez hozzá szoktuk még érteni, hogy egy halmaz számára az elemek sorrendje sem fontos, azaz a halmazok "rendezetlen" sokaságok.
3. Fontos továbbá tudni, hogy egy dolog csak akkor lehet halmaz, ha bármely szóba jövő és jól meghatározott tárgy, dolog esetén egyértelműen eldönthető, az illető tárgy, dolog eleme-e a halmaznak vagy sem. Csak két eset lehetséges: vagy az eleme (és ekkor nem igaz, hogy nem az eleme), vagy nem az eleme (és ekkor nem igaz, hogy az eleme).
4. Egyéb tekintetben elég különféle elemekből is készíthető egy darab halmaz. Nem akadály pl., ha az elemek egymástól térben vagy időben igen messze esnek, vagy hogy semmi nyilvánvaló logikai kapcsolat nincs köztük. Készíthetünk halmazt pl. a Vénusz bolygóból és abból a tejesdobozból, ami most épp az asztalomon van. Ez a két elemű halmaz ezt és csak ezt a két elemet fogja tartalmazni, és akkor is létezik, ha egyébként létezésének semmi látható értelme vagy oka nincsen.
5. Egy kiegészítést még teszünk. A naiv halmazelmélet sajnálatos paradoxonjainak megoldása során felmerült az elvi lehetőség, hogy esetleg vannak olyan sokaságok, melyek könnyen definiálhatóak, a halmazelmélet értelmes (nem tisztán formalista, minimális didaktikai követelményeket szem előtt tartó) felépítésében szükség is van rájuk, és sok tekintetben a halmazokhoz hasonlóak, de mégsem halmazok (az ún. Cantor-antinómia szerint pl. az összes halmaz halmaza nem lehet halmaz, mert akkor elemeinek száma [ami nem egy "véges szám", de a halmazelmélet egyik lényege épp a végtelen elemszámok kezelése] határozottan nagyobb lenne az elemeinek számánál, holott a szokásos számokhoz hasonlóan, a végtelen elemszámok sem lehetnek határozottan nagyobbak önmaguknál). Ezeknek a sokaságoknak a léte, melyeket Neumann János nyomán osztályoknak nevezünk, mára elég elfogadottá vált . Ezért mindaz, amit itt most elmondtunk, a halmazok mellett az ilyesféle osztályokra is érvényes. Egyébként egy osztályt akkor nevezünk halmaznak, ha található olyan (tőle különböző) osztály, amelyben elemként szerepel. A nem-halmazszerű, ún. valódi osztályok pedig azok a „túl nagy” sokaságok, melyeket már „nem bír” egy másik sokaság elemként tartalmazni. Ebben az értelemben az osztályelméletben, illetve ennek alapgondolatában némileg a középkori, skolasztikus transzcendentálé-tan, pontosabban ennek alapgondolata tér vissza .

Nagyjából ennyi, amit a halmaz fogalmáról tudni érdemes ahhoz, hogy a halmazok matematikai vizsgálatába kezdhessünk. Mielőtt azonban ebbe belekezdenénk, pár szót ejtünk arról, miért is nem a ZFC-elméletet tartalmazza ez a könyv.

Néhány megjegyzés az egyed- és osztályrealizmusról

A ZFC-elmélet hiányosságai

Ahogyan fentebb említettük, a halmazelmélet axiomatizálására a naiv halmazelméletben fellépő paradoxonok miatt létfontosságú volt (és ma is az), és többféle axiómarendszer is kialakult. A legelterjedtebb, Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer azonban több tekintetben meglehetősen belterjes . 1). Az elmélet keretein belül nem lehet formalizálni, definiálni, mikor halmaz egy dolog, minthogy az elmélet ezt a fogalmat alapfogalomnak tekinti. Más elméletek viszont elismerik, feltételezik a halmazoknál alapvetőbb sokaságok, az osztályok létét (osztályrealista halmazelméletek), ezáltal magának a halmazfogalomnak a vizsgálatát is lehetővé teszik. 2). Azonkívül a Zermelo-Fraenkel elmélet gyakorlatilag egyetlen olyan elemi dolgot ismer, ami más halmazoknak eleme lehet: ez pedig az üres halmaz, az összes többi halmaz összes többi eleme az üres halmazból álítható elő különféle konstrukciókkal. A ZFC-elmélet tehát nyitva hagyja azt a fontos kérdést, hogy vannak-e dolgok, és mik azok, amik maguk nem halmazok, de a halmazoknak elemei. Más elméletek viszont elismerik, feltételezik a halmazokkal szemben „atominak” mondható dolgok létezését („egyedrealista halmazelméletek”).

Mindebből két dolog azonnal következik:

1. A ZFC-elmélet alkalmas a halmazelmélet mint matematikai elmélet kifejtésére, a halmazok matematikai tulajdonságainak vizsgálatára. Nem alkalmas azonban metamatematikai, matematikafilozófiai vizsgálatokra: ezeknek tárgya lehet, de eszköze nem.
   1. Márpedig ez igen fontos része mind a matematikának (még ha a matematikusok nem is vesznek róla mind tudomást), mind a filozófia számára. Különösen a huszadik században a filozófia vezérterületévé váló analitikus- és nyelvfilozófia számára, amely ráadásul egyre inkább a (tömeg?)kultúra részévé is válik - elegendő, ha csak olyan népszerű könyvek címeire gondolunk, mint a „Mi a címe ennek a könyvnek?”, vagy „Gödel, Escher, Bach”, etc.
   2. Ráadásul ez azt is jelenti - legalábbis véleményünk szerint - hogy a ZFC-elmélet kevésbé didaktikus, kevésbé közérthető, mint az olyan elméletek, ahol a halmaz nem alapfogalomként jelenik meg, hanem valami más alapfogalomba ágyazottan. Az utóbbi jellegű elméletek esetleg többet mondanak el a fogalom mibenlétéről, jobban alkalmasak annak intuitív meg világítására.
2. Fennáll a lehetősége annak, hogy a ZFC-halmazelmélet korlátozott univerzuma megnehezíti az alkalmazásokat. Tehát nemcsak a matematika fejlődését, kiterjesztését teszi lehetővé a ZFC-elmélet egyedekkel és osztályokkal való bővítése, de olyan alkalmazott tudományágak, mint pl. az informatika (adatbáziskezelés, logikai programozás, MI-kutatás stb.) is nyerhetnek vele.

Az osztályok és egyedek (különösen az utóbbiak) bevezetésével kapcsolatban sok érv, de sok ellenérv is felmerülhet. Az alábbiakban megpróbáljuk ezek rövid összefoglalását nyújtani:

Dolgok, amik nem halmazok?

Dacára a fentebb említett ténynek, hogy léteznek egyed- és/vagy osztályrealista halmazelméletek, ezekkel a hagyományos tankönyvekben - legalábbis a magyar nyelven írtakban - nemigen találkozni. A hardcore matematikai halmazelméletnek ugyanis legfeljebb is csak csekély szüksége van a halmazokhoz hasonló, de náluk alapvetőbb, egyszerűbb vagy épp absztraktabb, sokaság-szerű vagy sokaságszerűtlen dolgok feltételezésére, hiszen ezek nélkül is boldogul; és ezért a matematikai tankönyvek többségében nem fordul elő ezek tárgyalása. Más a helyzet a logikával, a filozófiával és ezek különféle határtudományai- ill. alkalmazásaival (analitikus filozófia, intenzionális logika, logikai grammatika stb.). Egyelőre ennyit a „tudomány” véleményéről általában.

Ami a mi álláspontunkat illeti; a mi felépítésünkben az egyedek és az osztályok is szerepelni fognak a halmazok mellett. Az osztályok létének posztulálását a már említett paradoxonok indokolják (részletesebben ld.: Russell tételei) , az egyedek bevezetése azonban sokkal problematikusabb, ezért ezt részletesebben is körüljárjuk.

Az „egyedek" intuitív fogalmáról

Az egyedeket alapfogalomnak kell tekintenünk, nem tudjuk matematikai eszközökkel definiálni, mint arról később még szólunk. Mindenesetre, olyasféle dolgoknak kell őket képzelni, amilyenek „túl kicsik a halmazsághoz” - mint ahogy léteznek dolgok, amelyek „túl nagyok a halmazsághoz” (az osztályok). Az egyedek - más neveken: atomi individuumok, atomok, vagy őselemek tehát nem osztályok (sokaságok), hanem: csakis és kizárólag elemei lehetnek más osztályoknak (sokaságoknak), de maguknak nem lehet semmi az elemük.

Szerzők álláspontjai az egyedek bevezetéséről

Felépítésünk legvitathatóbb jellemzője az „egyed” fogalmának bevezetése. Ezekről a különféle kutatók különféleképp vélekednek, általában gyakorlati szempontok döntenek a kérdésben, például hogy előnyös-e vagy hátrányos ezek bevezetése a feladat szempontjából. Utóbbi kérdésre sem tudunk egyértelmű választ adni, hiszen számunkra vajon előny-e az, hogy a bevezetésükkel megismerjük, hogyan lehet őket bevezetni, míg hátrány-e az, hogy ez bonyodalmakkal jár, mint minden új fogalom bevezetése?

Említettük: A hardcore matematikai halmazelméletnek általában nincs szüksége erre a feltételezésre, mert az egyetlen üres halmaz lehetővé teszi az egész matematika halmazelméleti felépítését; és ezért halmazelmélet-tankönyvekben, jegyzetekben nemigen találhatunk egyedeket; de az elméletibb (meta-halmazelméleti, logikai, nyelvelméleti) szakmunkákban előfordulnak. Különösen a logikával is foglalkozó filozófusok szeretik feltenni az egyedek létezését (de pl. az axiomatikus halmazelmélet legkorábbi formája, a Zermelo-axiómarendszer tartalmaz ilyen felvetést , noha későbbi formája, az ún. ZFC-rendszer már nem). A ma is „aktuális” elméletek közül ilyen a Quine-Jensen-féle NFU-halmazelmélet és Holmes-féle változata , továbbá a Kripke-Platek-halmazelmélet (KPU); és a Takeuti-Zaring-féle halmazelméletre alapozó Ruzsa-féle halmazelmélet is, amelyet a kiemelkedő magyar logikatudós, Ruzsa Imre dolgozott ki . A hagyományos ZFC- és NBG-rendszerek azonban nem tartalmaznak atomi individuumokat. Nem tudom, szándékosan-e vagy sem; az viszont tény, hogy az individuumokról való „megfeledkezés” mellett több szakmai érv is felhozható. Ezek:

Egyedek bevezetése - érvek pro és kontra

Érvek az egyedek bevezetése ellen

1. Fölöslegesek. A halmazelmélet nélkülük is működik; az üres osztályból, gyakorlatilag a „semmiből” halmazműveletek segítségével a teljes matematika felépíthető, úgy a természetes, mint az egész, tört- és valós számok, az analízis, az algebra, a geometria (a valós számok véges sorozataira, vektoraira alapozva), a valószínűségszámítás ... minden. Nem kell semmi más, csak az üres halmaz és a következő fejezetekben ismertetett műveletek. Hangsúlyozzuk, a matematika számára (a logika, a filozófia ezzel másképp van). Ezzel meg is ismertük az első és igen fontos szakmai érvet az individuumok elhagyása mellett. Ha képtelenek vagyunk a Kovács Gézát tartalmazó osztály formalizására, azzal a halmazelmélet elmélete, sőt a matematika (elmélete) sem veszt sokat, mert enélkül is boldogul. Mi több, az üreshalmazra való tematikus redukció egy nagyon „elegáns” elméletet eredményez (legalábbis a matematikusok fura elegencia-követelményeit kimeríti), mert megmutatja, hogy a halmazelmélet, sőt a matematika gyakorlatilag egyetlen konkrét fogalomra építhető, s imígy az „egyedek” meg az individuumegyenlőség kizárása összhangban van a matematika olyan hagyományosan elfogadott tudományos alapelveivel, mint a redundancia (= fölöslegesség) maximális kiküszöbölése (az Occam-borotvaelv matematikai megfelelője). Tehát a kizárás lehetséges, s ha már lehetséges, akkor kötelező is.
2. Lételméleti és ismeretelméleti problémák: Az individuumok ontológiai és episztemológiai helyzete, „létük jogállása” és róluk való ismereteink, és ezek alapjai: bizonytalanok, és ez matematikailag megoldhatatlannak látszó kérdéseket vet fel. Az atomi individuum mitől lesz atomi? Egy ember atom, vagy molekulái halmaza? Vagy a testtrészeié? De mivel ugyane kérdések a halmazokkal szemben is felvethetőek, rendben, tekintsük őket tisztességtelenek. De vannak mások is, hasonlóak, ám jobbbak. Nevezetesen, az atomok sokasága osztály? Valódi osztály vagy halmaz? Honnan tudhatjuk? A mi döntésünkön múlik (axióma), vagy empirikusan eldönthető? Ezek olyan mély kérdések, hogy nem tartoznak a matematikára, de csak el kell dönteni őket, ha be akarjuk venni az atomokat a formalizált elméletbe! Itt fennáll a matematikailag motiválatlan önkényesség veszélye. További matematikafilozófiai gondok is felmerülnek, melyek még kevésbé metafizikaiak. Nevezetesen, osztály létének feltevése nem vezet-e ellentmondásra? És ha létezik is, nem lehet, hogy üres?
3. Módszertani, „metaaxiomatikai” problémák: tekintsük alapfogalomnak az atomi individuumságot vagy próbáljuk definiálni? Ez bonyodalmas az általunk alkalmazott osztályelméleti keretben. Csábítóan egyszerű lehetőség volna az „egyed” fogalmára olyan definíciót adni, hogy individuum (azaz nem-osztály) minden olyan dolog, amelynek nincs eleme. Sajnos, ez helytelen. Ugyanis az osztályok közt is van egy olyan, amelynek nincs eleme, osztály volta miatt mégsem individuum; ez pedig a fentebb is emlegetett üres osztály. Az atomi individuumok definiálása komoly módszertani gondokat vet fel (pl. itt most nem részletezett nehézségeket okoz az univerzális osztály definíciójában).

Érvek az egyedek bevezetése mellett

1. Kellenek az alkalmazások számára, úgy a filozófiának és logikának, mint az informatikának (sőt, még a matematikának is, ld. „a józan ész”-re hivatkozó érvet lentebb): Ha nem ismerjük el vagy akár csak megkérdőjelezzük az „atomi” individuumok létét, hogyan lehetnek akkor halmazok? Hiszen kell valami, ami eleme legyen ezeknek, nem? Hogy az üres osztály fölöslegessé teszi őket? - maximum a matematika számára. A logika és filozófia azonban igényli őket. A matematika azért (is) van, hogy használják, nem pedig pusztán, hogy (egyedül) a matematikusok örüljenek neki. Az informatikában való alkalmazások (adatbáziskezelés elmélete, logikai programozás stb.) is igényelhetik egy olyan elmélet kidolgozását, ami az individuum fogalmát tartalmazza. A valóságban pedig léteznek olyan objektumok, amik nem az üres halmaz vagy származékai, pl. Kovács Géza. A redundancia kiküszöbölésének tudományos paradigmája ellene szólhat; más érvek viszont mellette. Ha az individuumok elméletét nem is dolgozzuk ki részletesen, nem is szeretnénk „örökre” lehetetlenné tenni, sőt a lehetőség nyitva hagyásával szeretnénk az alkalmazások szempontjából való értékére felhívni a figyelmet. Ha nem tesszük, és az egyenlőségjelet kizárjuk az axiomatikus keretből, az a tiltással egyenértékű (tudjuk: ami egy axiomatikus elméletben nem formalizálható, azaz amiről nem beszélhetünk, az az elmélet számára: nincs).
2. A józan ész érvei: Egész egyszerűen természetellenesnek, a russelli „józan ésszel” összeegyeztethetetlennek érezzük, hogy az osztályok egyenlőségét definiáljuk, de építőelemeikét, az individuumokét nem, sőt az individuumok létét is eltagadjuk. Mi értelme halmazokról beszélni, amíg nincsenek elemeik? Hogy az üres halmazból sok halmaz megkonstruálható? Na ja, de mi van a geometriával? Ponthalmazok vajon nincsenek? Viszont a csak üres halmazból kontruált halmazok között ezek nem igazán vannak ott (tulajdonképp, ha a valós számokat már megkonstruáltuk, akkor koordinátázással ponthalmazok is előállíthatóak, de véleményünk szerint ez már túlságosan mesterséges felfogása egy ponthalmaznak). Bár a tudomány feladata sokszor a józan ész tévedéseinek kiküszöbölése, ellenben a józan ész feladata is lehet néha a tudományos paradigmák felülvizsgálata, különösen, ha az a paradigma az igazság szempontjából tulajdonképp mellékes olyan elv, mint a redundancia-minimalizálás elve.
3. Módszertani érvek: Amint már említettük, mi a halmazelméletet egy tágabb, extra-matematikai keretbe illesztettük, ahogyan minden tudományágnak ezt kell tennie, ha szem előtt tartja a didaktikai evidenciákat. De ebben a „bevezető”-keretben miért kellene a más dolgok kizárásán alapulva feltenni, hogy csak az üres osztály létezik? Semmiképp sem tudható ugyanis, hogy a matematika felépíthető-e ilyen erős korlátozással, amíg ezt a felépítést el nem végeztük. Talán szebb és motiváltabb dolog lenne egy utólag kimondott tétel formájában erre külön felhívni a figyelmet.
4. Matematikai szempontból jobbára ártalmatlanok. K. C. Klement filozófusprofesszor szerint az „individuumokkal” való bővítés jobbára ártalmatlan, pl. a ZF ill. ZFC elméletek a ZFU ill. ZFCU elméletekhez viszonyítva, oda-vissza ellentmondástalanok (azaz az egyik csakis akkor ellentmondásos, ha a másik is; relatív konzisztencia). És ha már léteznek ilyen atomszerű dolgok, létezhet ezek osztálya is (még ha esetleg üres is). A már említett szerzők közül Ruzsa elméletében bevezethető ilyen osztály .
5. A matematikai felfedezés új területét jelentik. A tudományos kutatás szabadsága és extenzív jellege bárki számára lehetővé teszi, hogy kiterjessze az elméletet ebbe az irányba is. Hangsúlyoznunk kell ugyanakkor, hogy az individuumok feltételezése nem valami új tudományos fejlemény, sőt inkább a nagy elődök, Frege és Russell szemantikus elveket is figyelembe vevő hagyományához kapcsolódik.

A kompromisszum egy fura módját választottuk ezért. Feltettük egy olyan E sokaság, az egyedek osztálya létezését, amely csupa olyan elemből áll, melyek maguk nem halmazok, de ettől eltekintve, igyekszünk figyelni definícióink és tételeink olyan megfogalmazására, hogy azok könnyen átfogalmazhatóak legyenek individuumok nélküli elméletekre. Egy olyan halmazelméletet szeretnénk alkotni, amelynek axiomatikus magja nem zárja ki az értelmes alternatívákat (afféle állatorvosi ló, mint az abszolút geometria), és ennek érdekében vállaljuk, ha alapfogalmaink és axiómáink a standard felépítésnél bonyolultabbak, sőt a nem-standard felépítések regisztrálását, legalább említés szintjén kötelezőnek tekintjük. Ugyanakkor szeretnénk egy ettől eltekintve alapvetően standard felépítést mint alapot nyújtani.

Matematikai gyorsírás

A halmazelmélet komoly vizsgálatához (axiomatikus halmazelmélet) sajnos elengedhetetlen a formális matematikai logikai nyelv ismerete. Ezzel később részletesen is foglalkozunk, de számos, a következőkben leírt szimbólum az alapos definíció nélkül is megérthető. Amíg a gondosabb részletezés nem következik be, addig tekintsük ezeket „gyorsírási” jelnek.

Egyszóval, bevezetjük a következő jelöléseket:

logikai szimbólum	neve	köznyelvi jelentése(i)
¬	tagadásjel, negációjel	„nem” ¬(A): „Nem igaz, hogy A”
∧	konjunkciójel	„és”
∨	diszjunkciójel	„vagy” A∨B: „A vagy B (esetleg mindkettő)”
×	kizárásjel	„vagy-vagy” A×B: „A vagy B közül az egyik, de egyszerre nem”
→, ⇒	kondicionális	A⇒B: „ha A akkor B”, „A-ból következik B” „B következménye A-nak”.
⇔	logikai ekvivalenciajel	A⇔B: „A akkor és csak akkor, ha B”, „A és B egyenértékűek”
∃	egzisztenciális kvantor	∃x:T(x), (∃x)(T(x)): „van olyan x dolog, amelyre teljesül a T(x) tulajdonság”, „létezik olyan x, ... ” stb.
∀	univerzális kvantor	∀x:T(x), (∀x)(T(x)): „minden x dologra teljesül a T(x) tulajdonság”
:=  :⇔	definíciójelek	A := B: „az A dolgon definíció szerint olyan dolgot értünk, ami B.” A :⇔ B: „az A állításon definíció szerint épp azt értjük, hogy teljesül a B állítás.”

Néhány példa:

Ha ezt írjuk:

¬(x=y)

az azt jelenti, nem igaz, hogy az x egyenlő az y-nal, rövidebben:

x≠y

Ha azt írjuk le:

∃x∈H: (x∉G ∧ (∀y∈G: (x+y=3))),

ezt úgy lehet kiolvasni: „van olyan H halmazbeli elem, amelyre teljesül: hogy x egyrészt nem eleme a G halmaznak, másrészt a G tetszőleges eleméhez őt hozzáadva, 3-at kapunk eredményül.”

Ha meg azt írjuk:

∀x∈H: [(x+1=0) ⇔ (x=-1 × H=∅],

ezt pl. úgy olvashatjuk ki, hogy „ minden H halmazbeli x dologra igaz, hogy amennyiben x-hez 1-et adva nulla adódik, ez akkor és csak akkor lehet igaz, ha vagy az x az 1 ellentettje, vagy a H halmaz üres”. Vagy így is kiolvasható: „A H minden elemére igaz, hogy ha megnövelve 1-gyel nullát ad, akkor ez csak két dolgot jelenthet: hogy az x vagy mínusz 1-gyel egyenlő, vagy a H üres.” Meg így is: „A H halmaz tetszőleges elemét véve, csak úgy lehet pontosan eggyel kisebb nullánál, ha mínusz eggyel egyenlő, vagy ha H üres”.

Ettől az írásmódtól nem kell megijedni: amíg részletesen nem definiáljuk ezen szimbólumokat és meg nem ismerkedünk pontos használatukkal, a formális nyelven írt matematikát sosem a köznyelvi helyett, hanem mindig a kettőt egymás mellett fogjuk alkalmazni.

Még egy dolog: mint a legtöbb, általánosságokat is kifejező nyelvben, a matematikában is vannak névmások, amelyek egyszerre kívánnak beszélni egy sokaság összes eleméről. Néha nem egyértelmű, hogy egy olyan betű, mint pl. az x, egy individuumot vagy változót jelöl-e. Ha a változójel változandóságát hangsúlyozni szeretnénk, fettelést (félkövér betűtípus) alkalmazunk: pl. x.

Q.E.D.

Nem matematikai formula, hanem egyszerű nyelvi rövidítése a bizonyítások végét jelző latin nyelvű „quod erat demonstrandum”, azaz „ez az, amit bizonyítani kellett” kifejezésnek .

Hivatkozások

További irodalom

• Szőkefalvi-Nagy Gyula: Valós függvények és függvénysorok (Előszó). Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó, Bp., 1972.
• N. J. Vilenkin: A végtelen kutatása. Középisk. szakköri füzet.
• Filep László: A tudományok királynője. Typotex Kiadó, Bp.; Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza; 1997.

Lásd még

• A szigorúság forradalma
• Matematikafilozófia
• A matematikafilozófia története

Külső hivatkozások

• Dave Rusin: The mathematical Atlas/Set theory. (math.eniu.edu).
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson: A history of set theory. A skóciai Szent András Egyetem honlapján.
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. A skóciai Szent András Egyetem honlapján.
• Thomas Jech: Set Theory. (Stanford Encyclopedia of Philosophy).

Lap teteje