Csoportelmélet

Bevezetés

A csoportelmélet a modern matematika egyik legfiatalabb ága. Bár modern felépítésében a halmazelmélet alapfogalmaira épül, furcsamód annál régebbi: a halmazelmélet keletkezését az 1870-es évek elejétől számítjuk (általában Georg Cantor 1874-es egy cikkétől, bár a halmaz fogalmát Bolzano már 1872-ben megpróbálta definiálni), míg a csoportelmélet alapcikke (Evariste Galois-nak köszönhetően) már 1830-ban megjelent.

A csoportelmélet kialakulásának motivációja matematikán belüli: a magasabbfokú valós együtthatós algebrai egyenletek algebrai képlettel (csak összeadást, kivonást, szorzást, osztást és n-edik gyökvonást tartalmazó képlettel) való megoldhatóságának vizsgálata során jutott legelső eredményeihez a francia Evariste Galois (Lagrange és mások kutatásai nyomán) az 1800-as évek első harmadában. Ennek ellenére a csoport fogalma a fizikában is alapvető jelentőségre tett szert, például mert a legfontosabb eszköze a „szimmetria” fogalmának precíz vizsgálatához (utóbbinak az atomelméletben, a kozmológiában és sok egyéb, a Világegyetem legkisebb és legnagyobb objektumait vizsgáló ágaiban is jelentősége van).

A matematikán belül a csoportelmélet az algebra, azon belül az absztrakt algebra nevű tudomány egy ága.

Történet és áttekintés

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. A csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Evariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville).

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az ez irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Evariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutáció-csoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola (különösképp G. Peacock) már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutáció-csoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutáció-csoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

Kétváltozós művelet

Legyen adott egy A halmaz.

Egy f: A×A↦A függvényt (halmazelméletileg A^[A×A] egy részhalmaza, tehát (a,b) alakú elempárokhoz, ahol a,b∈A, A-beli elemeket rendel) az A halmazon értelmezett kétváltozós (bináris) belső műveletnek nevezünk.
Egy g: A↦A alakú, tehát A-beli elemekhez A-beli elemeket rendelő függvényt pedig egyváltozós belső műveletnek.
Általában pedig egy f:Aⁿ↦A függvényt n-változós belső műveletnek, röviden műveletnek nevezünk.

Példák

Példák egyváltozós műveletekre
- eggyel való növelés ℕ-ben, a természetes számok halmazában, nem más, mint az s(n): ℕ↦ℕ; s(n)=n+1 függvény.
- ellentettképzés ℤ-ben, az egész számok halmazában (e(z): ℤ↦ℤ; e(z)=-z.

Példák (és egy ellenpélda) kétváltozós műveletekre:
- összeadás a természetes számok halmazán
- kivonás ugyanott
- legkisebb közös többszörös és legnagyobb közös osztó képzése ugyanott
- osztás ℝ\{0}-ban, a nem nulla valós számok halmazában.
- Megjegyezzük, ℝ-ben az osztás már nem művelet, mivel a nullával való osztás nincs értelmezve, azaz az f(3,0)=3/0 alakú párokhoz nem tudjuk semelyik ℝ-beli elemet rendelni, holott a művelet tetszőleges A-beli számpárra értelmezett kell hogy legyen.

Még egy ellenpélda:
A maradékos osztás tétele szerint ha megadunk egy m≠0 egész számot, bármely z∈ℤ egész szám egyértelműen felírható z=qm+r alakban, ahol 0≤r<m és q,r∈ℤ. Az egyértelműség miatt léteznek a következő α_m,β_m egyváltozós függvények: α_m(z)=q; β_m(z)=r. Ezért létezik a következő kétváltozós γ függvény is: γ_m(z)=(α_m(z); β_m(z)) = (q; r), tehát hozzárendelhetjük egy egész z számhoz az m-mel való maradékos osztási hányadosát és maradékát. Minden rögzített m-re az α_m függvény ℤ-ből képez ℤ-be, ezért egyváltozós művelet ℤ-n, a β_m függvény viszont ℤ-ből ℤ⁺-ba képez (és ezért szintén ℤ-be is), tehát ez is egyváltozós művelet ℤ-n.

Egy A halmaz és rajta értelmezett n-változós műveletek M halmazának (A,M) párosát algebrai struktúrának nevezzük.

A csoport fogalma, tulajdonságai

D.I.1. A (G, ·) algebrai struktúra csoport, ha · kétváltozós művelet A-n, amely asszociatív és invertálható, azaz érvényesek a következő tulajdonságok:

1. ∀a,b€G: a·b·c := (a·b)·c = a·(b·c);	(asszociativitás);
2. ∃1€G: ∀a€G: a·1=1·a=a;	(az 1 egységelem létezése);
3. ∀a€G: ∃a€G a·a = a*·a = 1;	(az a-hoz való a* inverz elem létezése).

Konkrét esetben a  műveletet összeadásnak is nevezhetik és + vagy  stb. jellel jelölik; ekkor beszélünk additív csoportról; de nevezhető szorzásnak is, ekkor jele · is, ilyen esetben multiplikatív csoportról beszélünk. Ez nem fogalmi, csak írásmódbeli különbség.

Additív (G,+) írásmód esetén 1-et szokás nullelemnek nevezni és 0-val jelölni, az a*-t az a elem ellentettjének nevezni és –a-val jelölni. Egyéb esetekben (multiplikatív írásmódban) az egységelem, illetve inverz (elem) elnevezést használjuk 1-re illetve a*-ra; és a*-ot szokás a^-1-gyel (ejtsd: „az a elem a mínusz elsőn”) jelölni.

Ha  kommutatív (∀a,bA: ab = ba); akkor (G, )-t kommutatív vagy Abel-csoportnak nevezzük.

A G halmazt a csoport tartóhalmazának szokás nevezni. Ha G véges és |G|=n, akkor n-t, a G elemeinek számát a (G, ) rendjének, (G, )-t n-edrendű csoportnak nevezzük.

Az 1).-3). tulajdonságokat összefoglalóan csoportaxiómáknak szokás nevezni. Az általános csoportelméletben általában előnyben részesítik a multiplikatív (G,·) írásmódot. Ha félreértést nem okoz, az a·b elemet egyszerűen ab-nek írjuk, amint az egyéb szorzásnak nevezett műveleteknél megszokott.

Két alapvető tétel mondja ki, hogy jogos a fenti definícióban az egységelemről (nullelemről) és nem csak egységelemekről (nullelemekről) és az aA elem inverz eleméről (és nem csak inverz elemeiről) beszélni. Ezek ugyanis egyértelműen léteznek.

Egy harmadik tétel szerint pedig érvényesek a valós számok algebrájában megszokott, egyenletek kezelésére alkalmazható mérlegelvek.

T.I.1. Az egységelem egyértelmű: bármely csoportban egy egységelem van.

Legyen u.is 1 és e két egységelem, ekkor az 1 egységelem def.-ja szerint e1=1e=e; az e egységelem def.-ja szerint pedig 1e=e1=1. Így e=e1=1 miatt e=1 .

Mivel csak az egységelem definícióját használtuk fel a bizonyítás során, a csoportaxiómákat nem, ezért tetszőleges algebrai struktúrában is csak legfeljebb egy egységelem van.

Ha szükséges, az (A,·) csoport 1 egységelemét külön feltüntethetjük: (A,·,1).

Példák és ellenpéldák csoportokra

(ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+). A természetes számok közt hagyományosan értelmezett + összeadás esetén (ℕ,+) nem csoport, mert bár van nullelem (tetszőleges n∈ℕ-re n+0 = 0+n = n); de pl. az 1∈ℕ elemhez nincs olyan 1'∈ℕ elem, melyre 1+1' = 0 lenne. Viszont (ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+) és (ℂ,+) csoportok, nevük rendre az egész, a racionális, a valós és komplex számok additív csoportjai. Az inverz elemek az ellentett elemekkel azonosak.
(ℚ\{0},·), (ℝ\{0},·), (ℂ\{0},·). ℕ-ben és ℤ-ben a hagyományosan értelmezett szorzás még a 0 elemet kivéve sem invertálható (pl. a 2 elemhez nincs olyan 2*∈ℤ, melyre 2·2*=1 lenne, hisz ekkor 2*=1/2 nem egész szám), ám (ℚ\{0},·), (ℝ\{0},·) és (ℂ\{0},·) csoportok, a racionális, valós és komplex számok additív csoportjai. Az ai+b∈ℂ komplex szám multiplikatív inverze, azaz reciproka ${\mbox{ }}_{\left({\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\right)i+{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}$ .
A (ℤ_m,+_m) additív mod(m) maradékosztály-csoport. Az előző fejezetben ℤ-n értelmezett β_m(z) = r függvényt értelmezve kapjuk a ℤ_m := { x | ∃z∈ℤ:(β_m(z)=x) } csoport a következő kétváltozós művelettel: a+_mb := (β_m(a+b)). Például, ha m=4, akkor ℤ₄ = {0,1,2,3} és pl. 3+₄2 = β₄(5) = (5 osztási maradéka 4-gyel) = 1.
A (ℤ_p,·_p) multiplikatív mod(p) maradékosztály-csoport. A ℤ_m-ben szorzást is értelmezhetünk, így: a·_mb := (β_m(a·b)) . Például ℤ₅-ben 2·_m4 := (β_m(2·4)) = β_m(8) = 3. Tétel: Az így kapott ℤ_p^× := (ℤ_p, ·_p) struktúra akkor és csak akkor csoport, ha p prímszám.
Legyen adott tetszőleges, de nem üres A≠⊘ halmaz. Az f: A↦A alakú kölcsönösen egyértelmű (bijektív, azaz invertálható) függvényeket az A permutációinak nevezzük, az |A| számosságát a permutáció rendjének. Az A permutációinak halmazát jelölje A!; ekkor ha o a függvénykompozíció, avagy -szorzás művelete, úgy (A!,o) csoport.

Részcsoport

A (G,×) csoport G tartóhalmazának egy nemüres R részhalmazát szokás a csoport egy komplexusának is nevezni. Az (R,×) struktúra egy részcsoportja (G,×)-nak, ha - röviden - (R,×) csoport a G-beli fontosabb × művelettel, tehát:

R nemüres / 0∈R;
ha x,y∈R, akkor x×y∈R ...
... és x^-1∈R.

Vagyis sem a nullváltozós művelet (nullelemképzés), sem az egyváltozós művelet (invertálás), sem a kétváltozós művelet (szorzás) nem vezet ki a részhalmazból.

A részcsoport-viszony jele ≤. Tehát (R,×)≤(G,×)

Tétel: csoportok bármely halmazában ≤ rendezési reláció: reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív.

Példák és ellenpéldák részcsoportokra

(ℤ,+)≤(ℚ,+)≤(ℝ,+)≤(ℂ,+).
(ℚ\{0},·)≤(ℝ\{0},·)≤(ℂ\{0},·).
Az (A!,o) permutáció-csoport egy részcsoportja az azon f permutációkat tartalmazó csoport, melyekre igaz fof(a)=f(f(a))=a, tehát f²=1_A. Az ilyen f-ekből álló A!₂ halmaz sosem üres, mert az 1 identikus leképezés mindig az eleme.