Nevezetes határértékek[szerkesztés]
∞0 alakú határértékek[szerkesztés]
Állítás – Ha > 0, akkor
|
Bizonyítás. a = 1-re az állítás triviális módon igaz. Legyen először a > 1. Ekkor a számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenséget használjuk:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{{\underset {\scriptstyle {n-1\quad \mathrm {db} }}{\underbrace {1\cdot 1\cdot ...\cdot 1} }}\cdot a}}\leq {\frac {n-1+a}{n}}=1-{\frac {1}{n}}+{\frac {a}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b05ec9540d1d286956b14ca978561ea8f94952c)
ahol a gyökjel alatt n-1-szer vettük az 1-et szorzótényezőül azzal a céllal, hogy a gyök alatt n tényezős szorzat álljon. Ekkor az n-edik gyök szigorú monoton növő volta miatt
![{\displaystyle 1<{\sqrt[{n}]{a}}\leq 1-{\frac {1}{n}}+{\frac {a}{n}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cc0b60adc3ba4ee5aefc5a14fc515208a4f6fd)
és a rendőrelv miatt így
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786199dc39ea963b2467a1d3aeebd82daa0a130e)
Állítás
|
Bizonyítás. A bizonyítás meglehetősen trükkös. A gyök alatti kifejezés alá alkalmas darab 1-et írva majd a számtani-mértani egyenlőtlenség növelve, a rendőrelvet kell alkalmaznunk:
![{\displaystyle 1\leq {\sqrt[{n}]{n}}={\sqrt[{n}]{{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n}}\cdot {\underset {\scriptstyle {n-2\quad \mathrm {db} }}{\underbrace {1\cdot 1\cdot ...\cdot 1} }}}}\leq {\frac {2{\sqrt {n}}+n-2}{n}}={\frac {2}{\sqrt {n}}}+1-{\frac {2}{n}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37d893a8e2a6a0deddb2e7131b4ecb687c1f191)
Állítás – Ha pn > 0 általános tagú sorozat polinomrendű, azaz létezik k természetes szám és A pozitív szám, hogy

akkor
![{\displaystyle \lim \left({\sqrt[{n}]{p_{n}}}\,\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd1749744651d67f13f5d982674fbd70c633d2d)
|
Bizonyítás. Legyen 0 < ε < A. Egy N nagyobb minden n indexre

ahonnan

és
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{(A-\varepsilon )n^{k})}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}<{\sqrt[{n}]{(A+\varepsilon )n^{k}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b05f3c067f4f219da911cf68dfb54177a3365d3)
Ekkor a rendőrelvet használva, mivel
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{(A-\varepsilon )n^{k}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{(A-\varepsilon )}}\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{k}=1\cdot 1^{k}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a9ad03b8bc1642e4c5218592d4563a910f204d)
és
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{(A+\varepsilon )n^{k}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{(A+\varepsilon )}}\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{k}=1\cdot 1^{k}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdb189c3df657da6f1421f9b1c65c3b94804595)
ezért
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{p_{n}}}\to 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b3e675b3e625934d723ac0953b2c69e49cef2c)
1. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n^{2}+2n+4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a4acc7f17ab4590874caa29feee21295014483)
(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)
Megoldás
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n^{2}+2n+4}}{\underset {\scriptstyle {1\leq n\leq n^{2}}}{\leq }}{\sqrt[{n}]{n^{2}+2n^{2}+4n^{2}}}={\sqrt[{n}]{7n^{2}}}={\sqrt[{n}]{7}}\cdot {\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\underset {\underset {1}{\downarrow }}{\underbrace {\sqrt[{n}]{7}} }}\cdot {\underset {\underset {1}{\downarrow }}{\underbrace {\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{2}} }}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f879598694dec24b4c45fcb1bb689f43609a90)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n^{2}+2n+4}}\geq {\sqrt[{n}]{4}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ce3c40d64579ecb0cce7dc26f05925406016f5)
2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
![{\displaystyle {\sqrt[{n^{4}}]{n^{3}-3n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8aa205c0c63d65ae9a5a4a51bd7c0f89ad059d)
(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)
1∞ alakú határértékek[szerkesztés]
Állítás – Ha x tetszőleges valós szám, akkor a

általános tagú sorozat konvergens és ha m egész, akkor

ahol e az Euler-szám.
|
Pontosabban belátható, hogy racionális x-re a sorozat határértéke a képlet szerinti. Valós x-re az állítás kiterjesztése a függvények folytonossági tulajdonsága segítségével történik.
Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a sorozat x > 0-ra konvergens. Ezt ugyanazzal a trükkel tesszük, mint x = 1 esetén.
Monotonitás. A számtani-mértani egyenlőtlenséget használva:
![{\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{\left(1+{\cfrac {x}{n}}\right)^{n}\cdot 1}}\leq {\frac {n\cdot \left(1+{\frac {x}{n}}\right)+1}{n+1}}={\frac {n+1+x}{n+1}}=1+{\frac {x}{n+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557412cb9b296f91e1f33916ff62d2a9d739e8ac)
ahonnan (n + 1)-edik hatványozással:

Tehát a címbeli sorozat monoton nő.
Korlátosság. Ha
az x felső egész része, akkor
![{\displaystyle {\sqrt[{n+\lceil x\rceil +1}]{\left(1+{\cfrac {x}{n}}\right)^{n}\cdot {\underset {\lceil x\rceil +1\;\mathrm {db} }{\underbrace {{\frac {1}{\lceil x\rceil +1}}\cdot ...\cdot {\frac {1}{\lceil x\rceil +1}}} }}}}\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571061c49a40bac619d574c233ec9ba2196259ea)
![{\displaystyle \leq {\sqrt[{n+\lceil x\rceil +1}]{\left(1+{\cfrac {\lceil x\rceil }{n}}\right)^{n}\cdot {\underset {\lceil x\rceil +1\;\mathrm {db} }{\underbrace {{\frac {1}{\lceil x\rceil +1}}\cdot ...\cdot {\frac {1}{\lceil x\rceil +1}}} }}}}\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c6b3e44bd9be9c340471d71afb4c67b862917a)

Tehát
-edik hatványra emelve:

vagyis a sorozat felülről korlátos.
x = m > 0 egészre a sorozat határértékét egy részsorozatának határértéke kiszámításával határozzuk meg. Ha ugyanis a sorozat konvergens, akkor az összes részsorozata is konvergens, mitöbb, a határértékük ugyanaz. Legyen ugyanis

indexsorozat. Ekkor

Megjegyezzük, hogy ezalapján már nem nehéz kiszámítani a határértéket racionális x-re sem, egyszerűen alkalmazni kell a törtkitevős hatványok azonosságait.
Végül legyen x < 0 és y= –x. Ekkor


Az utolsó egyenlőség után a második tényező az 1-hez konvergál hiszen a bevezőben és a kitevőben lévő y-t a felső és alsó egészrészére növelve és csökkentve egy-egy 1-hez konvergáló sorozatot kapunk, melyek a rendőrelv szerint a közrezárt sorozat 1-hez tartását biztosítják. Az első tényezőről belátjuk, hogy ekvikonvergens egy konvergens sorozattal.


Itt a végeredmény első tényezője az

részsorozata, melyet az alábbi indexválasztással nyerünk:

(Természetesen nem minden k-ra értelmezett, csak a pozitív indexeken.) Ez viszont konvergens, a második tényező pedig az 1-hez tart. Ugyanígy az alsó egészrésszel operálva kapjuk a rendőreév szerint, hogy a közrefogott sorozat konvergens (és y = m egész esetén az 1/em-hez tart).
3. Igazoljuk, hogy az alább általános tagjával adott sorozat konvergens minden x pozitív számra és határértéke az x értékétől függetlenül 1!

ha n nagyobb mint x felső egészrésze.
(Útmutatás: a nevezőben és a kitevőben lévő x-et először az alzó, majd a felső egészrésszel csökkentve majd növelve használjuk a rendőrelvet.)
Megoldás
a kapott sorozat részsorozata (
indexsorozattal) az

sorozatnak, mely konvergens és az 1-hez tart a határérték és a műveletek közös tulajdonságai folytán. Ugyanígy végezhető a csökkentés is az alsó egészrésszel, ahonnan a rendőrelvre hivatkozva kapjuk, hogy a sorozat az 1-hez tart.
4. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)
Megoldás

5. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)
Megoldás
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}=\left(\left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3710a6f2aa638bd9b90c4e0471d7c90c2130372)
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
![{\displaystyle 1\leftarrow {\sqrt[{n}]{1}}\leq {\sqrt[{n}]{\left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}}}}\leq {\sqrt[{n}]{4}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abb53f1a0c8c7cd626423f71d45a1c986213d26)
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
A másik sorozat esetén az átalakítás:

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
6. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)
Megoldás

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
Gyökkritérium sorozatokra[szerkesztés]
Állítás – Gyökkritérium sorozatokra
- Ha (an) olyan sorozat, hogy létezik q < 1 pozitív szám, hogy
,
- akkor (an) nullsorozat.
- Ha (an) olyan sorozat, hogy
,
- akkor (an) nullsorozat.
|
Megjegyzés. A tétel második állítása látszólag nehezebbnek tűnik, pedig a bizonyítás elve a 2. állításból olvasható ki.
Bizonyítás. Legyen q az n-edik gyökök abszolútértékei (cn) sorozatának limszupja (ez az 1.-ben is így van). Ekkor tetszőleges p-re, melyre q < p < 1 teljesül, igaz hogy a (cn) elemei egy N indextől kezdve mind a [0, p] intervallumban vannak (véges sok tagja lehet csak a limszup fölött). Így minden n > N-re
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b5007e10944f0704465505b5d38670ca08a0b7)
amit n edik hatványra emelve:

de mivel p < 1 és ezért a jobboldal nullsorozat, így a baloldal is. Végeredményben (an) nullsorozat.