Numerikus sorozatok/Nevezetes határértékek

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Nevezetes határértékek[szerkesztés]

0 alakú határértékek[szerkesztés]

Állítás – Ha > 0, akkor

Bizonyítás. a = 1-re az állítás triviális módon igaz. Legyen először a > 1. Ekkor a számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenséget használjuk:

ahol a gyökjel alatt n-1-szer vettük az 1-et szorzótényezőül azzal a céllal, hogy a gyök alatt n tényezős szorzat álljon. Ekkor az n-edik gyök szigorú monoton növő volta miatt

és a rendőrelv miatt így

Állítás

Bizonyítás. A bizonyítás meglehetősen trükkös. A gyök alatti kifejezés alá alkalmas darab 1-et írva majd a számtani-mértani egyenlőtlenség növelve, a rendőrelvet kell alkalmaznunk:

Állítás – Ha pn > 0 általános tagú sorozat polinomrendű, azaz létezik k természetes szám és A pozitív szám, hogy

akkor

Bizonyítás. Legyen 0 < ε < A. Egy N nagyobb minden n indexre

ahonnan

és

Ekkor a rendőrelvet használva, mivel

és

ezért

Feladatok[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)


Nuvola apps important square.svg

2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)

1 alakú határértékek[szerkesztés]

Állítás – Ha x tetszőleges valós szám, akkor a

általános tagú sorozat konvergens és ha m egész, akkor

ahol e az Euler-szám.

Pontosabban belátható, hogy racionális x-re a sorozat határértéke a képlet szerinti. Valós x-re az állítás kiterjesztése a függvények folytonossági tulajdonsága segítségével történik.

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a sorozat x > 0-ra konvergens. Ezt ugyanazzal a trükkel tesszük, mint x = 1 esetén.

Monotonitás. A számtani-mértani egyenlőtlenséget használva:

ahonnan (n + 1)-edik hatványozással:

Tehát a címbeli sorozat monoton nő.

Korlátosság. Ha az x felső egész része, akkor

Tehát -edik hatványra emelve:

vagyis a sorozat felülről korlátos.

x = m > 0 egészre a sorozat határértékét egy részsorozatának határértéke kiszámításával határozzuk meg. Ha ugyanis a sorozat konvergens, akkor az összes részsorozata is konvergens, mitöbb, a határértékük ugyanaz. Legyen ugyanis

indexsorozat. Ekkor

Megjegyezzük, hogy ezalapján már nem nehéz kiszámítani a határértéket racionális x-re sem, egyszerűen alkalmazni kell a törtkitevős hatványok azonosságait.

Végül legyen x < 0 és y= –x. Ekkor

Az utolsó egyenlőség után a második tényező az 1-hez konvergál hiszen a bevezőben és a kitevőben lévő y-t a felső és alsó egészrészére növelve és csökkentve egy-egy 1-hez konvergáló sorozatot kapunk, melyek a rendőrelv szerint a közrezárt sorozat 1-hez tartását biztosítják. Az első tényezőről belátjuk, hogy ekvikonvergens egy konvergens sorozattal.

Itt a végeredmény első tényezője az

részsorozata, melyet az alábbi indexválasztással nyerünk:

(Természetesen nem minden k-ra értelmezett, csak a pozitív indexeken.) Ez viszont konvergens, a második tényező pedig az 1-hez tart. Ugyanígy az alsó egészrésszel operálva kapjuk a rendőreév szerint, hogy a közrefogott sorozat konvergens (és y = m egész esetén az 1/em-hez tart).

Feladatok[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

3. Igazoljuk, hogy az alább általános tagjával adott sorozat konvergens minden x pozitív számra és határértéke az x értékétől függetlenül 1!

ha n nagyobb mint x felső egészrésze.

(Útmutatás: a nevezőben és a kitevőben lévő x-et először az alzó, majd a felső egészrésszel csökkentve majd növelve használjuk a rendőrelvet.)


Nuvola apps important square.svg

4. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)


Nuvola apps important blue.svg

5. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)


Nuvola apps important blue.svg

6. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)

Gyökkritérium sorozatokra[szerkesztés]

ÁllításGyökkritérium sorozatokra
  1. Ha (an) olyan sorozat, hogy létezik q < 1 pozitív szám, hogy
    ,
    akkor (an) nullsorozat.
  2. Ha (an) olyan sorozat, hogy
    ,
    akkor (an) nullsorozat.

Megjegyzés. A tétel második állítása látszólag nehezebbnek tűnik, pedig a bizonyítás elve a 2. állításból olvasható ki.

Bizonyítás. Legyen q az n-edik gyökök abszolútértékei (cn) sorozatának limszupja (ez az 1.-ben is így van). Ekkor tetszőleges p-re, melyre q < p < 1 teljesül, igaz hogy a (cn) elemei egy N indextől kezdve mind a [0, p] intervallumban vannak (véges sok tagja lehet csak a limszup fölött). Így minden n > N-re

amit n edik hatványra emelve:

de mivel p < 1 és ezért a jobboldal nullsorozat, így a baloldal is. Végeredményben (an) nullsorozat.