Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.
- a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az

- szimbólumokkal jelöljük
- ha (
) egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:

- gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:

- szokás még néhány első tag után odaírni az
általános tagot is:

- a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:
vagy

- Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának
jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.





(a természetes számok sorozata),
a "-1, 1" alternáló sorozat)
(a természetes számok reciprokainak sorozata)


Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.
A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

jelölést.
A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

sorozat a

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

-vel is jelöljük.
Sőt, általában ha H,K ⊆ Z véges halmazok, akkor a

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.
1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

(Útmutatás: teljes indukcióval.)
Megoldás
Tekintsük az n = 1 esetet! Ekkor a 2 > 1 egyenlőtlenséggel állunk szembe, ami igaz.
Legyen n tetszőleges és tegyük fel, hogy

|
(indukciós feltevés)
|
Feldatunk, hogy belássuk a

|
(konklúzió)
|
egyenlőtlenséget, mint az előző konklúzióját.

az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó kifejezését összevetve kapjuk a kívánt konklúziót. A jelölt helyen használtuk fel az indukciós feltevést.
2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges
,
,
és
,
,
valós számokra

(Útmutatás: Írjuk fel az (
,
,
) és (
,
,
) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)
3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és
,
,
,...,
,
,
,
,...,
valós számokra, hogy

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)
Megoldás

4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)2 nemnegativitásából.)
5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden
,
,
,...,
, nemnegatív valós számra

(Útmutatás: .)