Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

Alapfogalmak

Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.

Jelölések

1. a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az

   $(a_{n}),\quad (b_{n}),\quad ...\quad ,(x_{n}),\quad (y_{n}),...$

   szimbólumokkal jelöljük

2. ha ($a_{n}$) egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:

   $a_{n}\,$

3. gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:

   $(a_{n})=(a_{1},a_{2},a_{3},...)\,$

4. szokás még néhány első tag után odaírni az $a_{n}$ általános tagot is:

   $(a_{n})=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},...)\,$

5. a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:

   $s:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R}$ vagy

   $s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {Z} ^{+}}$

Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának $s_{n}$ jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.

Példák

• $(b_{n})=(n^{2})=(1,4,9,16,25,...)\,,$
• $(c_{n})=((2^{n})=(2,4,8,16,32,64,...),\,$
• $(d_{n})=(2n+1)=(3,5,7,...,2n+1,...),\,$
• $(e_{n})=({\sqrt {n}})=({\sqrt {1}},{\sqrt {2}},...,{\sqrt {n}},...),\,$
• $(f_{n})=(n(n+1))=(1\cdot 2,2\cdot 3,3\cdot 4,...,n(n+1),...),\,$
• $(g_{n})=(n)=(1,2,3,...,n,...)\,$ (a természetes számok sorozata),
• $(h_{n})=\left((-1)^{n}\right)=(-1,1,-1,1,...,(-1)^{n},...)\,$ a "-1, 1" alternáló sorozat)
• $(q_{n})=\left({\frac {1}{n}}\right)=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...,{\frac {1}{n}},...\right)$ (a természetes számok reciprokainak sorozata)
• $(r_{n})=\left({\frac {1}{n^{(-1)^{n}}}}\right)=\left(1,\;{\frac {1}{2}},\;3,\;{\frac {1}{4}},\;5,\;{\frac {1}{6}},...\right),$
• $(t_{n})=\left(\sin \left(n{\frac {\pi }{2}}\right)\right)=(1,0,-1,0,1,0,-1,...)$

Megjegyzések

Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

$(p_{n})=(2,3,5,7,11,...)\,$

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.

A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

$(a_{n})=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...)\,$

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

$(a_{n})_{n=0}^{\infty },\quad (a_{n})_{n=1}^{\infty }\,$

jelölést.

A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

$(a_{n})=\left({\sqrt {n(n-5)}}\right)$

sorozat a

$I=\{5,6,7,...\}\subseteq \mathbb {Z} ^{+}$

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

$(a_{n})_{n\in I}$

-vel is jelöljük.

Sőt, általában ha H,K ⊆ Z véges halmazok, akkor a

$(\mathbb {Z} ^{+}\cup H)\setminus K$

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.

Feladatok

1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

$2^{n}>n\,$

(Útmutatás: teljes indukcióval.)

Megoldás

Tekintsük az n = 1 esetet! Ekkor a 2 > 1 egyenlőtlenséggel állunk szembe, ami igaz.

Legyen n tetszőleges és tegyük fel, hogy

$2^{n}>n\,$

(indukciós feltevés)

Feldatunk, hogy belássuk a

$2^{n+1}>n+1\,$

(konklúzió)

egyenlőtlenséget, mint az előző konklúzióját.

$2^{n+1}=2\cdot 2^{n}{\underset {\mathrm {ind.\;felt.} }{>}}2\cdot n=n+n\geq n+1\,$

az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó kifejezését összevetve kapjuk a kívánt konklúziót. A jelölt helyen használtuk fel az indukciós feltevést.

2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$ és $b_{1}$,$b_{2}$,$b_{3}$ valós számokra

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\leq {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

(Útmutatás: Írjuk fel az ($a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$) és ($b_{1}$,$b_{2}$,$b_{3}$) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)

Megoldás

...

3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,...,$a_{n}$, $b_{1}$,$b_{2}$,$b_{3}$,...,$b_{n}$ valós számokra, hogy

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)$

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

$(a_{i}x-b_{i})^{2}=a_{i}^{2}x^{2}-2a_{i}b_{i}x+b_{i}^{2}\geq 0$

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)

Megoldás

$(a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+\cdots a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\geq 0$

4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

${\sqrt {xy}}\quad \leq \quad {\cfrac {x+y}{2}}$

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)² nemnegativitásából.)

Megoldás

...

5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,...,$a_{n}$, nemnegatív valós számra

${\sqrt {\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}\quad \leq \quad {\cfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}}{n}}$

(Útmutatás: .)

Megoldás

...