Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Alapfogalmak[szerkesztés]

Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.

Jelölések[szerkesztés]

  1. a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az
    szimbólumokkal jelöljük
  2. ha () egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:
  3. gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:
  4. szokás még néhány első tag után odaírni az általános tagot is:
  5. a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:
    vagy
Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.

Példák[szerkesztés]

  • (a természetes számok sorozata),
  • a "-1, 1" alternáló sorozat)
  • (a természetes számok reciprokainak sorozata)

Megjegyzések[szerkesztés]

Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.

A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

jelölést.

A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

sorozat a

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

-vel is jelöljük.

Sőt, általában ha H,KZ véges halmazok, akkor a

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.

Feladatok[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

(Útmutatás: teljes indukcióval.)


Nuvola apps important square.svg

2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges ,, és ,, valós számokra

(Útmutatás: Írjuk fel az (,,) és (,,) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)


Nuvola apps important blue.svg

3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és ,,,...,, ,,,..., valós számokra, hogy

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)


Nuvola apps important square.svg

4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)2 nemnegativitásából.)


Nuvola apps important blue.svg

5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden ,,,...,, nemnegatív valós számra

(Útmutatás: .)