Lineáris egyenlet és egyenletrendszer

Lineáris egyenlet

Kezdésként fogadjuk el egyelőre a következő definíciót (később jóval általánosabb formában mondjuk ki):

Definíció (I.1.):

Legyen $n\in \mathbb {N}$ és $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},\beta \in \mathbb {R}$ valós számok. Ekkor az

{\mathfrak {L}}:\ \ \ \ \ \ \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+...+\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\beta

alakú egyenleteket az $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},...,\mathbf {x} _{n}$ változókra/ismeretlenekre nézve n-ismeretlenes lineáris egyenletnek nevezzük. A változókat a továbbiakban kövéren szedjük.

Az $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ valós számokat az ${\mathfrak {L}}$ egyenlet együtthatóinak nevezzük, míg a $\beta$ számot az egyenlet konstans tagjának vagy célértékének nevezhetjük.

Ha ez nulla, $\beta =0$ , akkor homogén lineáris egyenletről beszélünk. Ellenkező esetben pedig inhomogén lineáris egyenletről.
Ha egy egyenlet nem a fenti (lineáris) alakú ugyan, de ekvivalens átalakításokkal és/vagy új változók bevezetésével ilyen alakra hozható, akkor lineáris jellegű egyenletről beszélünk.

Példák lineáris egyenletekre:

$5\mathbf {x} +6,2\mathbf {y} +8,99\mathbf {z} =2^{10}$ az $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z}$ változókra nézve egy lineáris egyenlet.

$\mathbf {x} _{1}+2\mathbf {x} _{2}+2{\sqrt {\mathbf {x} _{3}}}=1\!$ nem egy lineáris egyenlet az $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}$ változókra nézve, noha „lineáris jellegű”, mivel pl. az $\mathbf {x} _{4}:={\sqrt {\mathbf {x} _{3}}}$ új változó bevezetésével lineárissá tehető.

$-10\mathbf {a} +\pi ^{666}\mathbf {b} +10\mathbf {c} ^{0}=10$ lineáris egyenlet az $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ változókra nézve (noha szerepel benne egy konstans 666. hatványa, a változók azonban csak 0 vagy 1 hatványon állnak).

Az előző egyenlet ekvivalensen a $-10\mathbf {a} +\pi ^{666}\mathbf {b} =0$ homogén (nulla konstans tagú) alakra hozható.

$\mathbf {x} _{1}+2\mathbf {x} _{1}\mathbf {x} _{3}-\mathbf {x} _{2}=0$ nem lineáris egyenlet (a változóira nézve);

$|\mathbf {x} _{1}|+2\mathbf {x} _{2}=1$ szintén nem lineáris egyenlet;

$\mathbf {x} _{1}=0$ egy nagyon egyszerű lineáris egyenlet;

${\frac {3}{2}}=0$ szintén egy nagyon egyszerű lineáris egyenlet; azaz egy lineáris egyenlet változóinak halmaza akár üres is lehet.

Lineáris egyenletrendszer

Definíció (I.2.):

Legyen $k\in \mathbb {N} ^{+},n\in \mathbb {N}$ , és legyenek $\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x_{2}} ,...,\mathbf {x_{n}}$ ismeretlenek (változók). Ekkor egyenletek egy olyan k tagú véges sorozatát, melyek mindegyike a fenti változókra nézve lineáris egyenlet, k-tagú és n-ismeretlenes (a megadott ismeretlenek feletti) lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Tehát minden $i\in \left\{1,2,...,k\right\}$ -ra adva van egy ${\mathfrak {L}}_{i}:\ \left(\alpha _{1}\right)_{i}\mathbf {x} _{1}+\left(\alpha _{2}\right)_{i}\mathbf {x} _{2}+...+\left(\alpha _{n}\right)_{i}\mathbf {x} _{n}=\left(\beta \right)_{i}$ lineáris egyenlet ( ahol $\left(\alpha _{j}\right)_{i},\beta _{i}\in \mathbb {R}$ minden $1\leq j\leq n,1\leq i\leq k$ -re ). Ezt az egyenletrendszert a következő alakban szokás felírni:

{\mathfrak {L}}:{\begin{cases}\ \ \alpha _{1,1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2,1}\mathbf {x} _{2}+...+\alpha _{n,1}\mathbf {x} _{n}=\beta _{1}\ ;\\\ \ \alpha _{1,2}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2,2}\mathbf {x} _{2}+...+\alpha _{n,2}\mathbf {x} _{n}=\beta _{2}\ ;\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ ;\\\ \ \alpha _{1,k}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2,k}\mathbf {x} _{2}+...+\alpha _{n,k}\mathbf {x} _{n}=\beta _{k}\ ;\end{cases}}

Az $\left(\alpha _{1}\right)_{i},...,\left(\alpha _{n}\right)_{i}$ valós számokat az ${\mathfrak {L}}$ egyenletrendszer (i-edik egyenlete vagy sora) együtthatóinak nevezzük, míg a $\beta$ számot (ezt nem szokás elnevezni) az egyenlet konstans tagjának vagy célértékének nevezhetjük.

Ha ez nulla, $\beta =0$ , akkor homogén lineáris egyenletről beszélünk. Ellenkező esetben pedig inhomogén lineáris egyenletről.
Ha egy egyenlet nem a fenti (lineáris) alakú ugyan, de ekvivalens átalakításokkal és/vagy új változók bevezetésével ilyen alakra hozható, akkor lineáris jellegű egyenletről beszélünk.

Az „egyenletrendszer” kifejezés arra akar utalni, hogy nem egyenletek halmazáról, hanem sorozatáról van szó (egy halmazban az elemek sorrendje nem számít, ellenben egy elem csak egyszer fordulhat elő. Egy rendszerben – mely matematikailag tkp. egy függvény – az elemek sorrendje is számít, és „egy elem többször is előfordulhat”). Ld. még elemrendszer .

Ne felejtsük el, hogy a „lineáris egyenletrendszer” kifejezésnek csak mindig ismeretlenek/változók egy véges halmazára vonatkoztatva van értelme. Előfordulhat például, hogy egy háromtagú egyenletrendszer egyik egyenletében két ismeretlen fordul elő, egy másikban ezeken kívül még egy; a harmadikban egy sem. Mégis mindegyik egyenlet három ismeretlenes. Az ilyen szituációk nem kerülhetőek ki, sőt az egyenletrendszerek megoldása során pont az ilyen szituációk elérése a cél. Tegyük még meg ezért a következő megkülönböztetést: ha adottak a $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ változók, és adott egy ezen változókra nézve lineáris ${\mathfrak {L}}$ egyenletrendszer, akkor ennek bármelyik tagját pontosan akkor nevezzük k változós lineáris egyenletnek ( $k\in \mathbb {N} ,0\leq k\leq n$ ) , ha k db. együtthatója nem nulla, a többi viszont nulla. Tehát pl. a $2\mathbf {x} _{1}+3\mathbf {x} _{2}+\mathbf {x} _{4}=5$ egyenlet a $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4}$ változók felett egy háromváltozós inhomogén egyenlet, noha négy ismeretlenes.

Példák lineáris egyenletrendszerekre

A továbbiakban feltesszük, hogy az egyenletrendszerek azon ismeretlenek halmaza fölött vannak értelmezve, melyek valamelyik egyenletükben előfordulnak (azaz ha van olyan egyenlet, melyben az ismeretlen szerepel, akkor az az ismeretlen beletartozik az ismeretlenek halmazába); tehát nem deklaráljuk, az egyenletrendszer mely ismeretlenek felett lineáris (a fenti megállapodással ez nem szükséges).

${\mathfrak {A}}:{\begin{cases}\ \ 2=1\ ;\end{cases}}$

Ez egy egytagú, nullváltozós lineáris egyenletrendszer ismeretlenek bármely véges halmaza felett (azaz „akárhány ismeretlenes”). Például a $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ változókra nézve egy kétismeretlenes (habár nulla változós). Mellesleg ez az egyenlet mint matematikai/logikai állítás, hamis, hiszen kettő nem egyenlő eggyel.

${\mathfrak {B}}:{\begin{cases}\ \ 4\mathbf {x} =8\ ;\end{cases}}$

Ez egy egytagú, egyváltozós lineáris egyenletrendszer, vagyis tulajdonképpen egy megszokott elsőfokú egyismeretlenes egyenlet.

${\mathfrak {C}}:{\begin{cases}\ \ {\frac {1}{2}}\mathbf {x} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathbf {x} _{2}=9\ ;\\\ \ {\frac {2}{5}}\mathbf {x} _{1}+{\frac {1}{3}}\mathbf {x} _{2}=6\ ;\end{cases}}$

Ez egy kéttagú, kétváltozós lineáris egyenletrendszer.

Lássunk olyan példát, melyben az ismeretlenszám és változószám megkülönböztetésének van értelme: ${\mathfrak {D}}:{\begin{cases}\ \ \ \ \mathbf {x} _{1}+2\mathbf {x} _{2}+3\mathbf {x} _{3}=14\ ;\\\ \ 2\mathbf {x} _{1}+3\mathbf {x} _{2}=8\ ;\\\ \ 3\mathbf {x} _{1}=3\ ;\end{cases}}$

Ez egy háromtagú, háromismeretlenes lineáris egyenletrendszer. A második egyenlet ebben az egyenletrendszerben háromismeretlenes ugyan, de csak kétváltozós, mert a harmadik változó együtthatója 0. A harmadik egyenlet is háromismeretlenes, de csak egyváltozós.

Egyenlet(rendszer) megoldásai

A megoldás fogalma

Az egyenletek vizsgálatának célja általában azok megoldása. Megoldáson vagy gyökön olyan számokat értünk, melyeket az egyetlen ismeretlenjei helyébe írva, az egyenlet igaz állítás lesz (pl. az x+y = 5 egyenletben x helyébe 3-at, y helyébe kettőt írva, a 3+2 = 5 valóban igaz állítást kapjuk, e számok megoldásai az egyenletnek; de ha 2 helyett 3-at írnánk y helyébe, változatlan x mellett nem kapnánk megoldást, mivel 3+3 (= 6) = 5 nem egy igaz állítás a valós számok körében).

Az egyenletek elméletének alapjaiba nincs érkezésünk hosszasan belemenni (például természetesnek vesszük, hogy két egyenletnek van összege, meg valós számszorosa, meg természetesnek vesszük, hogy egyáltalán léteznek egyenletek, és úgy teszünk, mintha tudnánk, mik azok); ezért a fenti megállapítást, jobbat egyelőre nem tudván, mint definíciót elfogadhatjuk:

Definíció (I.3.):

Egy (valós/komplex/stb. együtthatós) n-ismeretlenes egyenlet megoldásain vagy gyökein olyan rendezett (valós/komplex) szám-n-eseket értünk, melyekre igaz, hogy bármely (j-edik) tagjukat a megfelelő (j-edik) ismeretlenbe behelyettesítve, azaz annak helyére írva, igaz egyenlőséget kapunk.

Pl. az

{\mathfrak {L}}:8\mathbf {x} +\mathbf {y} =1

lineáris egyenlet megoldása a

\left(1,-7\right)

számpár, azaz

\mathbf {x} =1

,

\mathbf {y} =-7

, mert

{\mathfrak {L}}\left(1,-7\right):8\cdot 1+(-7)=1

valóban igaz; azaz egy megoldás

\left(1,-7\right)

, de létezik ezen kívül végtelen sok megoldás is, pl. egy másik mo.

\left(2,-15\right)

.

Az ${\mathfrak {L}}\left(\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}\right)$ egyenlet vagy egyenletrendszer megoldásainak halmazát, mely tehát az $\mathbb {R} ^{n}$ (esetleg a $\mathbb {C} ^{n}$ ) halmaz egy részhalmaza, ${\mathcal {M}}\left({\mathfrak {L}}\right)$ jelölje.

Egy n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásainak azon valós szám-n-eseket nevezzük, melyek mindegyik egyenletének megoldásai, tehát az egyenletei megoldáshalmazának metszetét.

Mindezeken kívül megoldáson még olyan eljárást („algoritmust”) is értünk, melynek eredményeképp megkapjuk az egyenlet(rendszer) fent definiált értelemben vett megoldásait. A továbbiakban ilyen megoldó algoritmusokat ismertetünk lineáris egyenletrendszerek különféle osztályaira. Ahogy az egyenletek megoldása során, az egyenletrendszerek megoldása (mint eljárás) során is kulcsfogalom az ekvivalens vagy gyöktartó átalakítás fogalma. Az egyenletet vagy egyenletrendszert a megoldásait megőrizve úgy alakítjuk egyre egyszerűbb és egyszerűbb alakra, hogy a végén már közvetlenül leolvashatóak legyenek a megoldások, azaz az $\mathbf {x} _{i}=\gamma \in \mathbb {R}$ triviálisan megoldható alakra kell hozni minden egyenletet.

Példák, végeredményekkel (megoldásokkal)

A továbbiakban feltesszük, hogy az egyenletrendszerek azon ismeretlenek halmaza fölött vannak értelmezve, melyek valamelyik egyenletükben előfordulnak (azaz ha van olyan egyenlet, melyben az ismeretlen szerepel, akkor az az ismeretlen beletartozik az ismeretlenek halmazába); tehát nem deklaráljuk, az egyenletrendszer mely ismeretlenek felett lineáris (a fenti megállapodással ez nem szükséges).

${\mathfrak {A}}:{\begin{cases}\ \ 2=1\ ;\end{cases}}$

Ez egy egytagú, nullváltozós lineáris egyenletrendszer ismeretlenek bármely véges halmaza felett (azaz „akárhány ismeretlenes”). Például a $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ változókra nézve egy kétismeretlenes (habár nulla változós). Megoldása: nem oldható meg, mivel azonosan hamis.

${\mathfrak {B}}:{\begin{cases}\ \ 4\mathbf {x} =8\ ;\end{cases}}$

Ez egy egytagú, egyváltozós lineáris egyenletrendszer, vagyis tulajdonképpen egy megszokott elsőfokú egyismeretlenes egyenlet. Megoldása: $\mathbf {x} ={\frac {8}{4}}=2$ .

${\mathfrak {C}}:{\begin{cases}\ \ {\frac {1}{2}}\mathbf {x} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathbf {x} _{2}=9\ ;\\\ \ {\frac {2}{5}}\mathbf {x} _{1}+{\frac {1}{3}}\mathbf {x} _{2}=6\ ;\end{cases}}$

Ez egy kéttagú, kétváltozós lineáris egyenletrendszer. Egyetlen megoldása van: $\mathbf {x} _{1}=10,\mathbf {x} _{2}=6$ .

${\mathfrak {D}}:{\begin{cases}\ \ \ \ \mathbf {x} _{1}+2\mathbf {x} _{2}+3\mathbf {x} _{3}=14\ ;\\\ \ 2\mathbf {x} _{1}+3\mathbf {x} _{2}=8\ ;\\\ \ 3\mathbf {x} _{1}=3\ ;\end{cases}}$

Ennek az egyenletrendszernek olyan szerencsés alakja van, hogy nagyon könnyen kiszámolhatóak a megoldásai. Mivel $3\mathbf {x} _{1}=3$ , úgy $\mathbf {x} _{1}=1$ , ezt a második egyenletbe helyettesítve $2+3\mathbf {x} _{2}=8\Rightarrow 3\mathbf {x} _{2}=6\Rightarrow \mathbf {x} _{2}=2$ , e két eredményt az első egyenletbe helyettesítve pedig $1+2\cdot 2+3\mathbf {x} _{3}=14\Rightarrow \mathbf {x} _{3}={\frac {10}{3}}$ , tehát a megoldás $\left(1,2,{\frac {10}{3}}\right)$ .

Rendkívól érdekes az

{\mathfrak {Q}}:\ \ \ {\begin{cases}-10\mathbf {a} +\pi ^{666}\mathbf {b} +10\mathbf {c} ^{0}=10;\\\end{cases}}

egytagú lineáris egyenlet, mely az

${\mathfrak {Q}}':\ \ \ {\begin{cases}-10\mathbf {a} +\pi ^{666}\mathbf {b} =0;\\\end{cases}}$ homogén (nulla konstans tagú) alakra hozható.

Elhagyhatjuk belőle az egyik változót, ugyanazok maradnak a megoldások. De a megoldások megadásakor ne feledkezzünk meg arról, hogy ez habár egy kétváltozós, de három ismeretlenes egyenlet, azaz megoldásai számhármasok, a ki nem írt változó értékeit is meg kell adnunk a megoldás megadásakor!! Tehát ennek pl. a (0,0) számpár (a = 0 , b = 0) nem megoldása! Hanem pl. a (0,0,5) számhármas már megoldás (a = 0 , b = 0 , c = 5). Ezen kívül még végtelen sok megoldás van, de mind számhármas. Figyeljünk tehát arra, hogy egy egyenlet mindig ismeretlenek egy halmaza felett van értelmezve.

Ezzel kapcsolatban még egy érdekes kérdés merül fel, hogy az (a = 0 , b = 0 , c = 0) számhármas megoldás-e? Erről a matematikusok véleménye megoszlik, mert egyesek szerint c⁰ nem értelmezhető, ha c = 0, mások szerint pedig ekkor is és általában is c⁰ = 1. Az elemi matematikában és az érettségin szokásos az első állásponthoz ragaszkodni, és mi is ezt tesszük, de ez senkit sem kötelez semmire, főleg ha már leérettségizett. Aki szerint az előző egyenlet megoldása (0,0,0) is, az nyugodtan gondolja így .

${\mathfrak {B}}:{\begin{cases}\ \ 4\mathbf {x} =8\ ;\\\ \ 4\mathbf {x} =9\ ;\end{cases}}$

Ez egy kéttagú, egyváltozós lineáris egyenletrendszer, és nem oldható meg. Ezt mindenféle mélyebb lineáris algebrai szakismeret hiányában, józan paraszti ésszel úgy tudjuk magyarázni, hogy a 4x = 8 egyenlet „ellentmond” a második, 4x = 9 egyenletnek, hiszen az x bármilyen számot is jelöljön, a négyszerese nem lehet egyszerre egyenlő 8-cal is meg 9-cel is, nem lehet két különböző számmal egyenlő, hiszen ebből következne, hogy 8 = 9 (az egyenlőség ún. tranzitivitása folytán, ha valamely valós szám egyenlő két másikkal, akkor az a két másik egymással is egyenlő).

${\mathfrak {B}}:{\begin{cases}\ \ 2\mathbf {x} _{1}+3\mathbf {x} _{2}=8\ ;\\\ \ 4\mathbf {x} _{1}+6\mathbf {x} _{2}=16\ ;\end{cases}}$

Ez egy kéttagú, kétváltozós lineáris egyenletrendszer, melynek végtelen sok megoldása van (pl.: (1,2); (-2,4); (-5,6); (-8,8), ... (-3k+4,2k), ... ha k∈ℕ, hogy, hogy nem, mindig megoldás; bár ezeken kívül is vannak még megoldások).

Összefoglalva

Láttunk példákat olyan egyenletrendszerekre, melyeknek egyáltalán nincs megoldásuk, olyanokra, melyeknek pontosan egy szám-n-es a megoldásuk, s olyanokra is, melyeknek végtelen sok megoldásuk van.

Vannak-e olyan egyenletrendszerek, melyeknek két megoldása van?

Még fontosabb kérdések, hogy ha adott egy egyenletrendszer, akkor

hogyan lehet legalább egy megoldásukat megkapni?
hogyan lehet az összes megoldásukat megkapni?
ha ez nem sikerül, hogyan győződhetünk meg róla, hogy nincs megoldásuk?

Ezen, egyáltalán nem független kérdéseket válaszoljuk meg a következőkben.

Ekvivalens átalakítások

Általában egy lineáris egyenletrendszerről meglehetősen nehéz leolvasni vagy „ránézésre” észrevenni, mik a megoldásai, és hogy vannak-e és hányan. Az ekvivalens átalakítások, ahogy már említettük, pont arra jók, hogy ezt mégis megtehessük; olyan alakra hozzuk az egyenletrendszert, hogy megoldásait leolvashassuk vagy kiszámolhassuk. Minderről a Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai c. fejezetben.

A lap tetejére