Halmazelmélet/Logikai alapfogalmak

• Témák jegyzéke
• Előző fejezet (Konnekció, operáció)
• Következő fejezet (ismeretlen)

„A vitában többen is említették, hogy a természettudományok, s pláne a matematika megértésének legfőbb akadálya a madárnyelv, melyet művelői beszélnek, a tudósnak meg kéne tanulniuk: problémákról e nyelv nélkül szólni a beavatatlanoknak. Ez azonban képtelenség, s a legtöbb ismeretterjesztés épp ezen bukik meg. Vegytanról vegytani egyenletek nélkül nem lehet beszélni. A mi természetismeretünknek s matematikánknak egyik fő célja épp e nyelvek megtaníttatása, azé a minimumé, amellyel az ismeret lényegéhez hozzá lehet férni.”

– http://members.iif.hu/visontay/ponticulus/rovatok/huhogok/nemeth.html, Németh László: Levél Marx Györgyhöz

E fejezetben megismerkedünk 1). a logika szerepével (csak futólag) 2). a legfontosabb tudnivalókkal a természetes és formális nyelvekről (szintén futólag), 3). a halmazelmélet formális nyelvével.

Néhány szó a logika tudományáról

A logikát Arisztotelész (Kr. e. 384 – Kr. e. 322), s esetleg tanítványai gyűjteményes művének, az Organonnak megírásától kezdve számítjuk (bár Arisztotelész korában a „logika” szót magára a tudományra még nem használták, helyette „dialektikát” vagy „analitikát” mondtak ). Ami a logika tudományának meghatározását illeti, két főbb hagyományról beszélhetünk: az egyik, ősibb, Arisztotelésztől eredeztethető a logikát röviden szólva a helyes gondolkodás ill. helyes beszéd (közlés), ezzel összefüggésben: a „tudás” tudományának tartja, a másik hagyomány hívei leszűkítik ezt az elhatárolást, és a logikát pusztán a helyes érvelés, sőt még szűkebben a helyes következtetések elméletére korlátozzák.

A pontos és részletes kifejtés, elemzés e munka keretei közé nem fér, és sajnos olyan szakmunkát sem ismerünk, amely részletesen és elfogulatlanul foglalkozna e kérdéssel. Szintén nem fér e fejezetbe annak hosszas taglalása, hogy melyik hagyományhoz való csatlakozás a megfelelőbb számunkra és miért (bár azt kijelenthetjük: a logika tágabb értelmezése, az arisztotelészi hagyomány mellett könnyebben tesszük le a voksot), és a továbbhaladás szempontjából csekély jelentősége van.

Talán belefér viszont a keretek közé egy mindig könnyen keletkező félreértés eloszlatása. A modern logika, főleg a matematikai logika tárgyalása általában szimbólumnyelven történik, azaz a tömörség és egyértelműség kedvéért egy sajátos jelrendszert mint nyelvet (formális nyelvet v. formulanyelvet) alakítunk ki. Ezt nevezzük a logika formalizálásának. A formalizált logika neve szaknyelven ugyanakkor nem formális logika, hanem szimbolikus logika (formális logika is létezik, művelése szintén Arisztotelészhez köthető elsőként; de mást jelent: a formális logika azért formális, mert az általa vizsgált kijelentés-absztrakcióknak puszta formájából, és nem jelentéséből vezeti le az igazság, a következményesség és hasonló szakfogalmai meghatározásának kritériumait ). A matematikában használt logika nem feltétlenül kell, hogy szimbolikus legyen, de mindig formális.

Mindaz, ami itt következik, jórészt köznyelven, szimbólumok használata nélkül is kifejthető lenne. A szimbólumok azonban áttekinthetőbbé tesznek bizonyos, fontos viszonyokat mind a fogalmak, mind az állítások között. A köznyelven művelt halmazelméletben igen nehéz lenne pl. áttekinteni, mely fogalmak definiálásához mely más fogalmakat használtunk fel, és így nem lehetnénk biztosak a körkörös hivatkozások elkerülésében (ha egy A fogalom definíciója a B fogalmat is használja, akkor a B definiálásakor még közvetve sem szabad az A fogalmat használni!), amik értelmetlenné tennék a derfinícióinkat. Számunkra a logika főleg a legalapvetőbb osztály- és halmazképző művelet, az intenzionális (vagy komprehenzió-) operátor használatának végső tisztázásához lesz elsőrendűen fontos, tehát annak behatárolásához, hogy mely intenzionális osztálydefiníciókat mondhatunk „létező” és melyeket „nemlétező” osztályokat megadóknak. A logika tudománya adja a matematikában (pl. az e munkában általunk) használt következtetési, bizonyítási módszerek alapját is. Utóbiakkal azonban csak érintőleg foglalkozunk majd.

Informális logikai alapfogalmak

Ugyanúgy, ahogyan a halmaz- vagy osztályelmélet, a logika is beágyazható egy informális filozófiai keretelméletbe (ezt nevezhetnénk akár „metalogikai prelogikának” is, de hát minek törjük ezzel a nyelvünket?). Ennek a keretelméletnek a tárgya a gondolkodás, pontosabban annak bizonyos általános törvényszerűségei; értve gondolkodáson akár annak olyan kifejeződéseit, mint a beszéd és írás. A logika azt vizsgálja, ami mindezekben közös, ami mindezeknek szerkezetet és vázat, illetve értelmet ad.

Ennek a keretelméletnek két legfontosabb informális alapfogalma a név, iletve a kijelentés, összefoglaló néven a nyelvi kifejezések, továbbá a kifejezések nyíltságának és zártságának fogalmai.

Ismeretelméleti alapok

A Valóság-Gondolkodás-Kifejezés hármassága és a logika

A görög logosz szó, amelyből a logika tudományának neve is ered, a gondolkodás belső és külső megnyilvánulásait egyaránt jelenti (már csak emiatt is zseniális szóalkotásnak tekinthető).

A gondolkodás belső jelenségei (λόγος τòν ⁾έσω) közül a logika számára a fogalom, az ítélet és hasonló dolgok fontosak. A gondolkodást ennél tágabban értelmezve, ide sorolhatjuk a gondolkodás olyan külső megnyulvánulásait (λόγος τòν ⁾έξω), mint a szó, kijelentés, mondat stb.

Arisztotelészig eredeztethető az a nézet, hogy a tágabban értelmezett (külső megnyilvánulásaival együtt tekintett) „gondolkodás” két formája, a belső történések és külső megnyilvánulások között szoros kapcsolat van . Eszerint a beszéd, írás stb., bár mindenkinél más és más, amennyiben az nemcsak nyelvtani, hanem logikai szempontból is helyesnek mondható, akkor tükrözi a gondolkodást; mint ahogyan a gondolkodás is tükrözi az objektív valóság viszonyait („ama dolgokat, melyekről e tartalmak képet adnak”).

Az azonban nyilvánvaló, hogy a lelki tartalmak az objektív valóságnak valóban csak tükörképei, de azokkal nem azonosak. Bár a lelki tartalmaknak is tulajdoníthatunk objektív, fizikai formát (pl. ideingerületeket, idegfonal-kapcsolatokat és hasonlókat), de természetesen ha egy éppen látott almára gondolunk, akkor a fejünkben keletkező képzetek és gondolatok nem azonosak valóságos eredetijükel, az illető almával, hanem csak utalnak arra, megfelelnek neki.

Ennek a jobban belegondolva egyáltalán nem nyilvánvaló alapokkal rendelkező „megfelelésnek” a természetét a logikának a legritkább esetben célja vizsgálni, meghagyja ezt az ismeretelméletnek, a kognitív tudománynak, a pszichológiának és más filozófiai vagy természettudományos vizsgálódásnak. Mi megelégszünk azzal, hogy a lelki tartalmak valamiképp „megfelelnek” a valóságos viszonyoknak, és erre a viszonyra egy külön szakkifejezést alkotunk. A legkézenfekvőbbnek és legkevésbé problematikusabbnak a szimbólum fogalmának segítségül hívását gondoljuk.

Szemiotikai alapok

A jelekkel foglalkozó tudomány, a meghatározása szerint jel a valóság egy olyan, érzékszerveinkkel felfogható (látható, tapintható, hallható) darabja, jelensége; amely az (emberi vagy állati, vagy egyéb) elme vagy értelem számára egy másik valóságdarabra, jelenségre utal (Georg Klaus megállapítása).

Azt a valóságdarabot, tárgyat, ami jelként egy másik tárgyra utal, a jel jeltestének, míg azt a valóságdarabot vagy tárgyat, amelyre a jeltest utal, a jel jelöletének (denotátumának) vagy jelentésének nevezzük (a jelentés szó manapság azonban inkább egy másik, lentebb leírt értelemben használatos). E kifejezésmód használatakor figyeljünk arra, hogy a „jel” szót itt már az előbbi definícióbelinél tágabb értelemben használtuk: ott csak a jeltestet jelentette, itt már a jeltest és a jelölet sajátos viszonyát vagy együttesét.

A jelet mint mesterségesen teremtett vagy manipulált valóságdarabot, a jeltest által megjelölt jelölet (és/vagy jelentés), információ képzésére, tárolására, átalakítására és továbbítására használják (L. O. Reznyikov).

Fenti definíciókban az "utal" szót ugyanúgy kell érteni, ahogy az előző szakaszban a "megfelel" szót. Összességében a jel a gondolkodás által passzívan vagy aktívan felhasznált (érzékelt vagyelőállított) valóságdarab, fizikai test, ami egy másik valóságdarabot (másik fizikai testre vagy gondolati tartalomra) helyettesít.

A szemiotikában Charles Sanders Peirce nyomán meg szokás különböztetni a jelek (szignálok, szignatúrák) három típusát: az indexet, az ikont, és a szimbólumot, a jel (jeltest: ami jelöl) és jelölt (amit a jeltest jelöl) kapcsolatának szorossága szerint.

• A jel\index jelteste szorosabb-lazább fizikai kapcsolatban áll a jelölttel: pl. index egy állat lábnyoma, egy 50 kilométerre lévő vulkán torkából előgomolygó 15 km magasságú füstoszlop, a prérikutya kígyót kiáltó ugatása stb.
• A jel\ikon teste nincs fizikai kapcsolatban a jelölttel, de hasonlít rá, pl. hieroglifák, piktogrammok, római számjelek, ide tartoznak még a hangutánzó szavak.
• A jel\szimbólum teste nincs fizikai kapcsolatban a jelölttel, és nem is hasonlít rá. Ilyen az összes hangjelölésre épülő nyelv legtöbb szava (a hangutánzóak kivételével), az összes betű, az arab számjelek stb.

Jegyzetek

Lap teteje