Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Tartalomjegyzék

1 Alapfogalmak

[szerkesztés] Alapfogalmak

Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.

[szerkesztés] Jelölések

a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az

$(a_n), \quad (b_n),\quad ... \quad, (x_n),\quad (y_n), ...$

szimbólumokkal jelöljük
ha ( $a n$ ) egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:

$a_n\,$
gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:

$(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...)\,$
szokás még néhány első tag után odaírni az $a n$ általános tagot is:

$(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...)\,$
a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:

$s:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}$ vagy

$s\in\mathbb{R}^{\mathbb{Z}^+}$

Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának

s n

jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.

[szerkesztés] Példák

$(b_n)=(n^2)=(1,4,9,16,25,...)\,,$
$(c_n)=((2^n)=(2,4,8,16,32,64,...),\,$
$(d_n)=(2n+1)=(3,5,7,...,2n+1,...),\,$
$(e_n)=(\sqrt{n})=(\sqrt{1},\sqrt{2},...,\sqrt{n},...),\,$
$(f_n)=(n(n+1))=(1\cdot2, 2\cdot 3, 3\cdot 4, ..., n(n+1),...),\,$
$(g_n)=(n)=(1,2,3,...,n,...)\,$ (a természetes számok sorozata),
$(h_n)=\left((-1)^n\right)=(-1,1,-1,1,...,(-1)^n, ...)\,$ a "-1, 1" alternáló sorozat)
$(q_n)=\left(\frac{1}{n}\right)=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, ... ,\frac{1}{n}, ...\right)$ (a természetes számok reciprokainak sorozata)
$(r_n)=\left(\frac{1}{n^{(-1)^n}}\right)=\left(1,\;\frac{1}{2},\;3,\;\frac{1}{4},\;5,\;\frac{1}{6},...\right),$
$(t_n)=\left(\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)\right)=(1,0,-1,0,1,0,-1,...)$

[szerkesztés] Megjegyzések

Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

$(p_n)=(2,3,5,7,11,...)\,$

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.

A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

$(a_n)=(a_0,a_1,a_2,a_3,...)\,$

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

$(a_n)_{n=0}^{\infty}, \quad (a_n)_{n=1}^{\infty} \,$

jelölést.

A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

$(a_n)=\left(\sqrt{n(n-5)}\right)$

sorozat a

$I=\{1,5,6,7,...\} \subseteq\mathbb{Z}^+$

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

$(a_n)_{n\in I}$

-vel is jelöljük.

Sőt, általában ha H,K ⊆ Z véges halmazok, akkor a

$(\mathbb{Z}^+\cup H)\setminus K$

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.

[szerkesztés] Feladatok

1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

$2^n>n\,$

(Útmutatás: teljes indukcióval.)

Megoldás

Tekintsük az n = 1 esetet! Ekkor a 2 > 1 egyenlőtlenséggel állunk szembe, ami igaz.

Legyen n tetszőleges és tegyük fel, hogy

$2^n>n\,$

(indukciós feltevés)

Feldatunk, hogy belássuk a

$2^{n+1}>n+1\,$

(konklúzió)

egyenlőtlenséget, mint az előző konklúzióját.

$2^{n+1}=2\cdot 2^n\underset{\mathrm{ind.\;felt.}}{>}2\cdot n=n+n\geq n+1\,$

az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó kifejezését összevetve kapjuk a kívánt konklúziót. A jelölt helyen használtuk fel az indukciós feltevést.

2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ és $b 1$ , $b 2$ , $b 3$ valós számokra

$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\leq\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$

(Útmutatás: Írjuk fel az ( $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ) és ( $b 1$ , $b 2$ , $b 3$ ) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)

Megoldás

...

3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ,..., $a n$ , $b 1$ , $b 2$ , $b 3$ ,..., $b n$ valós számokra, hogy

$\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2\leq\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\right)$

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

$(a_ix-b_i)^2= a^2_ix^2-2a_ib_ix+b^2_i\geq 0$

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)

Megoldás

$(a_1^2+\cdots+a^2_n)x^2-2(a_1b_1+\cdots a_nb_n)x+(b_1^2+\cdots+b^2_n)\geq 0$

4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

$\sqrt{xy}\quad\leq\quad\cfrac{x+y}{2}$

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)² nemnegativitásából.)

Megoldás

...

5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ,..., $a n$ , nemnegatív valós számra

$\sqrt{\prod\limits_{i=1}^na_i}\quad\leq\quad\cfrac{\sum\limits_{i=1}^na_i}{n}$

(Útmutatás: .)

Megoldás

...

Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Alapfogalmak

[szerkesztés] Jelölések

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Megjegyzések

[szerkesztés] Feladatok

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Nyomtatás/exportálás

Keresés

Eszköztár