Numerikus sorozatok/Átviteli elv

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

A sorozat határérték meghatározásának témaköre nem független a függvény-határértéktől. A tárgyalás egy későbbi szakaszában, a függvényhatárértékek ismeretében meghatározhatjuk számos konvergens sorozat határértékét. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a felsőfokú oktatásban rendszerint addig nem ildomos alkalmazni az átvitelei elvet sorozatokra, amíg a függvényhatárérték, de inkább a L'Hospital-szabály tárgyalásra nem kerül. Az ilyen megoldások nem rosszak, de módszerükben teljesen mások a sorozatoknál alkalmazottaktól. Fennáll annak a veszélye, hogy a számonkérés a sorozatok elemi tárgyalásánál alkalmazott módszerekre vonatkozik, így az értékelő nem a határértékre magára, hanem a számítás hogyanjára kíváncsi. Világos, hogy ezekben az esetekben az ilyen megoldás nem értékelhető. Másrészt azonban amikor a sorok összegének meghatározására már az integrálkritérium is alkalmazható, akkor az ilyen módszerek is javallottak.

[szerkesztés] Átviteli elv

A függvényhatárértékre vonatkozó átviteli elv a következő.

Tétel – Átviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A \to R függvény, ahol A ⊆ R valós részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, v ∈ R. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
  1. létezik az f-nek határértéke az u pontban és \lim\limits_{x\to u}f(x)=v
  2. minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (xn) konvergens sorozat esetén az (f(xn)) függvényérték-sorozat konvergens \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=v

A tétel bizonyítása a függvénytan feladata. Alkalmazása sorozatokra az 1. --> 2. irányba történik. Jellegzetesen a határozatlan alakú sorozathatárértékek, azaz a

\frac{0}{0},\quad\quad\frac{\infty}{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad 1^\infty,\quad\quad \infty^0\,

alakú határértékeket vezetjük vissza ugyanilyen függvényhatárértékek vizsgálatára. Annak az indoka, hogy ezzel hatékonyabban járhatunk el a határérték-kereséseknél az, hogy a függvényhatárértékek egy pontosan meghatározott körére már alkalmazható L'Hospital szabály. Ez a következő.

Tétel – L'Hospital-szabály – Legyen f,g: (a,b) \to R intervallumon értelmezett, differenciálható függvények, melyek olyanok, hogy g nem nulla az a egy környezetében továbbá
  1. \lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\,
  2. létezik az \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} határérték

Ekkor létezik a lima(f/g) határérték és

\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Mintapélda. Számítsuk ki az

a_n=n\cdot\mathrm{arc}\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)

általános tagú sorozat határértékét!

Megoldás. Mivel az (1/n) sorozat a 0-hoz tart és a arc sin függvényre vonatkozóan ismerünk a 0-ban vett nevezetes határértékeket (illetve nehézség nélkül meghatározhatjuk azokat), azért vegyük az

x_n=\frac{1}{n}\to 0

sorozatot és alakítsuk át (an)-et:

a_n=n\cdot\mathrm{arc}\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\mathrm{arc}\,\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=\frac{\mathrm{arc}\,\sin x_n}{x_n}

Az előbb kirajzolódó határértéket L'Hospital-szabállyal határozhatjuk meg:

\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{arc}\,\sin x}{x}\;\;\underset{\frac{0}{0}}{\overset{\mathrm{L'H}}{=}}\;\;\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1}=\frac{\cfrac{1}{\sqrt{1-0^2}}}{1}=1

tehát az átviteli elvet alkalmazva az (xn) sorozatra szintén azt kapjuk, hogy

\lim \limits_{n\to \infty}a_n=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\mathrm{arc}\,\sin x_n}{x_n}=1

[szerkesztés] Feladatok

Nuvola apps important square.svg

1. \lim\limits_{n\to \infty}n\cdot\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=?

(Útmutatás: számítsuk ki a limx->0 arc tg(x)/x határértéket és alkalmazzuk a megfelelő nullsorozatra )

Megoldás
n\cdot\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{1}{n}}=\cfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}}

azaz a következő határérték kell:

\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x}\;\;\underset{\frac{0}{0}}{\overset{\mathrm{L'H}}{=}}\;\;\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{\cfrac{1}{1+x^2}}{1}=\frac{\cfrac{1}{1+0^2}}{1}=1

Vagyis

\cfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}}

-ben a második tényező az 1-hez, az első a nullához, így az egész a 0-hoz tart.

Nuvola apps important square.svg

2. \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\mathrm{arc\,tg}(n^2)}=?

(Útmutatás: idézzük fel az arc tg függvény elemi tulajdonságait, határértékeit az értelmezési tartománya határpontjaiban )

Megoldás

Tudjuk,

\lim\limits_{x\to +\infty} \mathrm{arc\,tg}(x)=\frac{\pi}{2}\,

Ezért (bár az átviteli elvet csak végesben vett határértékre mondtuk ki), az

x_n=n^2\to +\infty

sorozatra is igaz, hogy a függvényértékeinek sorozata π/2 az arc tg-en, így ennek reciproka: \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\mathrm{arc\,tg}(n^2)}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}(x)}=\frac{2}{\pi}

A lap eredeti címe: „http://hu.wikibooks.org/wiki/Numerikus_sorozatok/%C3%81tviteli_elv”