Numerikus sorozatok/Bevezetés

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Végtelen halmazok (valós számok, geometriai ponthalmazok, függvényhalmazok, egyéb végtelen sokaságok) vizsgálatánál gyakran adódik – mind az elméletben, mind az alkalmazások esetén –, hogy egy eredmény nem hull a kezünkbe egyszer s mindenkorra, mintha az a szorzótábla egy eleme lenne. Sokkal inkább jellemző, hogy egyre mélyebb és mélyebb vizsgálatok eredményezik a pontos értéket, mi több, az is előfordul, hogy a voltaképpeni eredemény csak egy végtelen hosszú eljárássorozat eredményként kerülhetne a kezünkbe – feltéve, hogy a végtelen hosszú eljárássorozatot végre tudnánk hajtani.

Ez a helyzet például a kör kerületének és átmérőjének viszonyszáma, azaz a π értékének kiszámításánál. Első közelítésként arra a következtetésre juthatunk, hogy ez az érték 3 és 4 közé esik, és ha 0,5-es hibán belül megelégszünk az értékével, a 3 jó közelítésnek vehető. További vizsgálatokkal, a körbe beírt és a kör körülírt sokszögei kerületének és átlóinak vizsgálatával ezt az eredményt akár 0,1-es hibahatár alá is szoríthatjuk, mondjuk 3,14-re. További – egyre hosszadalmasabb – számítások elvezethetnek a 3,1415±0,0001 értékhez is. Elméleti vizsgálatok kiderítették, hogy a π pontos értékét csak végtelen nemszakaszos tizedestört írja le, így arra esélyünk sincs, hogy az értékeket egyetlen papírlapon láthatjuk leírva. Ellenben, és pontosan ilyen vizsgálatokat jelent a numerikus sorozatok témaköre, igazolható, hogy vannak képletek, melyek segítségével akármilyen előre megadott hibahatár esetén a határon belül kiszámítható a közelítő értéke. Például ilyen képletet adott Leibniz, legalább is a π/4-re

Ekkor az újabb és újabb tagok hozzáadásával keletkező

számsorozatról, azt mondjuk, „tart a π-hez” vagy „konvergál a π-hez” vagy „konvergens és határértéke a π”. Ugyanígy találhatunk a -höz tartó sorozatot. Van olyan is, mely egy görbevonalú síkidom területének mérőszámához, például a parabolacikk területéhez tart.

Természetesen a feladatunk nem ilyen közelítő képletek készítése lesz. Annak a kérdésnek az általános elméletét tekintjük át, hogy egy akárhogyan megadott sorozat tart-e valamely számhoz, és ha igen, melyikhez.

Magán egy számsorozaton olyan hozzárendelést értünk, mely minden pozitív egész számhoz egy számot rendel. Ezek a számok lehetnek különbözők is, ekkor még felsorolásnak is nevezzük. Például egy jellemző végtelen sorozat:

mindazonáltal nem kell, hogy a sorozatnak képzési szabálya legyen.

Két példán illusztráljuk a témakört.

A négyzetgyök kettő közelítése intervallumfelezéssel[szerkesztés]

Ismert az a tény, hogy a kettő négyzetgyöke nem racionális szám (holott helye a számegyenesen körző és vonalzó használatával pontosan kijelölhető). Nincs véges vagy végtelen szakaszos tizedestört előállítása, a tizedestörtben kifejezett értékét csak bizonyos jegyre pontosan tudjuk megmondani. Tudjuk azt is, hogy a racionális számok a számegyenesen mindenhol sűrűn helyezkednek el, azaz bármely két valós szám között van racionális szám. Ez lehetőséget ad arra, hogy megadjunk olyan racionális számokat, melyek egy előre meghatározott távolságnál közelebb vannak a -höz. Tudjuk:

Most osszuk az [1,2] intervallumot két egyenlő részre, határozzuk meg a felezéspont négyzetét és hasonlítsuk össze 2-vel:

ismételjük az intervallumra:
ismételjük az -re:
ismételjük az -re:
majd az -re:

amivel 5 lépésben megkaptuk, hogy a értéke 1 tizedesjegyre (illetve ). Az intervallumok hosszai feleződtek (a arányú mértani sorozat szerint csökkennek), így az 5. lépésben a keresett érték az intervallum középpontjától már csak -del tér el. Az eljárásban a -t alulról és felülről becslő értékek sorozata egy-egy, a -t közelítő sorozat:

Aki nem jutott volna arra a szubjektív meggyőződésre, hogy az n = 0-ról induló

mértani sorozat egy tag után minden előre megadott kis pozitív számnál kisebb értékeket vesz fel, az gondoljon a

sorozatra (melynek tizedes alakja megegyezik az előző sorozat kettedes tört alakban megadott alakjával) és hogy ez tényleg minden pozitív szám alá megy.

A parabolaszelet területének meghatározása[szerkesztés]

Geometriai példát is hozhatunk a közelítés alkalmazására. Apollónioszhoz nyúlik vissza az a módszer, ahogy a parabolametszet területét számítjuk ki.

Tekintsük a koordinátasíkon az egyenletű parabolát! Határozzuk meg az y = 1 egyenes és a parabolaív által közbezárt terület nagyságát!
Parabola kozelitese haromszogekkel.png

Beírt háromszögek segítségével fogjuk megoldani a feladatot. Az első beírt háromszög a (-1,1), (0,0), (1,1) pontok alkotta háromszög, melynek területe 1. Jelöljük most ki a parabola 0,5 és -0,5 abszcisszájú pontjait és kössük össze rendre a (0,0), (1,1) és a (-1,1), (0,0) pontokkal. Ha a két így keletkezett háromszöget az x = 0,5 és x = -0,5 egyenletű egyenesekkel félbevágjuk, akkor 4 egyenlő területű háromszöget kapunk, hiszen az x = 0,5 és x = -0,5 egyenletű egyenesek a háromszögek súlyvonalai. Egy ilyen félháromszög területe:

,

négy ilyen van, tehát:

.

Ha felezéssel folytatjuk ezt az eljárást, akkor az n-edik lépésben a hozzáadott terület:

,

így a terület:

.
Egyketted kvociensu mertani sor osszege.png

Azt már Apollóniusz is tudta, hogy a kvóciensű mértani sorozat tagjainak összege, amikor az összes tagot adjuk össze, azaz az

összeg – akármilyen furcsa is – véges érték. (Hogy mit is kell értsünk végtelen tagú összegen, azzal nem is olyan sokára részletesen fogunk foglalkozni.) Az értéke az ábráról – amelyben rendre 1, , , ... területű téglalapok vannak úgy elrendezve, hogy az összterületük 2 területű téglalap legyen – leolvasható. Általános képletet is ismertek a mértani sorozat tagjainak végtelen összegére (ezt később mi magunk is be tudjuk majd bizonyítani):

,

így esetén a parabolaszelet területe:

.