Numerikus sorozatok/Átviteli elv

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A sorozat határérték meghatározásának témaköre nem független a függvény-határértéktől. A tárgyalás egy későbbi szakaszában, a függvényhatárértékek ismeretében meghatározhatjuk számos konvergens sorozat határértékét. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a felsőfokú oktatásban rendszerint addig nem ildomos alkalmazni az átviteli elvet sorozatokra, amíg a függvényhatárérték, de inkább a L'Hospital-szabály tárgyalásra nem kerül. Az ilyen megoldások nem rosszak, de módszerükben teljesen mások a sorozatoknál alkalmazottaktól. Fennáll annak a veszélye, hogy a számonkérés a sorozatok elemi tárgyalásánál alkalmazott módszerekre vonatkozik, így az értékelő nem a határértékre magára, hanem a számítás hogyanjára kíváncsi. Világos, hogy ezekben az esetekben az ilyen megoldás nem értékelhető. Másrészt azonban amikor a sorok összegének meghatározására már az integrálkritérium is alkalmazható, akkor az ilyen módszerek is javallottak.

Átviteli elv[szerkesztés]

A függvényhatárértékre vonatkozó átviteli elv a következő.

TételÁtviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A R függvény, ahol AR valós részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, vR. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
  1. létezik az f-nek határértéke az u pontban és
  2. minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (xn) konvergens sorozat esetén az (f(xn)) függvényérték-sorozat konvergens

A tétel bizonyítása a függvénytan feladata. Alkalmazása sorozatokra az 1. --> 2. irányba történik. Jellegzetesen a határozatlan alakú sorozathatárértékek, azaz a

alakú határértékeket vezetjük vissza ugyanilyen függvényhatárértékek vizsgálatára. Annak az indoka, hogy ezzel hatékonyabban járhatunk el a határérték-kereséseknél az, hogy a függvényhatárértékek egy pontosan meghatározott körére már alkalmazható L'Hospital szabály. Ez a következő.

TételL'Hospital-szabály – Legyen f,g: (a,b) R intervallumon értelmezett, differenciálható függvények, melyek olyanok, hogy g nem nulla az a egy környezetében továbbá
  1. létezik az határérték

Ekkor létezik a lima(f/g) határérték és

Mintapélda. Számítsuk ki az

általános tagú sorozat határértékét!

Megoldás. Mivel az (1/n) sorozat a 0-hoz tart és a arc sin függvényre vonatkozóan ismerünk a 0-ban vett nevezetes határértékeket (illetve nehézség nélkül meghatározhatjuk azokat), azért vegyük az

sorozatot és alakítsuk át (an)-et:

Az előbb kirajzolódó határértéket L'Hospital-szabállyal határozhatjuk meg:

tehát az átviteli elvet alkalmazva az (xn) sorozatra szintén azt kapjuk, hogy

Feladatok[szerkesztés]

Nuvola apps important square.svg

1.

(Útmutatás: számítsuk ki a limx->0 arc tg(x)/x határértéket és alkalmazzuk a megfelelő nullsorozatra )

Nuvola apps important square.svg

2.

(Útmutatás: idézzük fel az arc tg függvény elemi tulajdonságait, határértékeit az értelmezési tartománya határpontjaiban )