Matematika/Mátrix/Műveletek

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Műveletek mátrixokkal[szerkesztés]

Összeadás[szerkesztés]

Legyen A és B két m-szer n méretű mátrix, A + B összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Például:

Skalárral való szorzás[szerkesztés]

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Például:

Mátrixszorzás[szerkesztés]

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha a baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

minden i-re és j-re.

Például:

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:

  • (AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m-szer n méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra ("asszociativitás").
  • (A + B)C = AC + BC minden m-szer n méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
  • C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy ABBA.