Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az -es mátrix determinánsának definíciójában -es mátrixok determinánsa szerepel.
-es mátrix determinánsa önmaga:
Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje : az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a kifejezést meg kell szorozni -vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:
Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):
Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az -edik sor szerinti kifejtés
A -edik oszlop szerinti kifejtés
Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik.
Példa:
Legyen:
Ekkor det(A)=12, mivel:
, azaz:
, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:
Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:
, bármely és n×n mátrixra.
, ebből következik
, bármely n×n mátrixra és bármely skalárra.
Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:
Egy mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
Egy sor vagy oszlop -el való szorzása a determináns -el való szorzását okozza.
Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.