Matematika/Mátrix/Definíciók

A mátrix vízszintes vonalban elhelyezkedő elemei sorokat, függőleges vonalban elhelyezkedő elemei oszlopokat alkotnak. Egy m sorból és n oszlopból álló mátrixot m-szer n mátrixnak nevezik (írva: m×n), az m és n a mátrix dimenziói. A mátrix dimenzióit mindig először a sorok számával majd azt követően az oszlopok számával adják meg. Az A mátrix jelölése:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}vagy{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

A mátrixnak az i-ik sorban és j-ik oszlopban lévő elemét a mátrix i,j-edik elemének nevezik, jelölése A_i,j vagy A[i,j]. Mindig először a sorszám, majd az oszlopszám szerepel.

Az m × n méretű mátrixot gyakran így jelölik: $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$, a mátrix minden A[i,j] elemét a_i,j-vel jelölik, ahol 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n. Konvenció, hogy a mátrixokat nagybetűvel, a mátrix elemeit pedig kisbetűvel jelölik. Szokás szerint a mátrix sorainak és oszlopainak számozása 1-gyel kezdődik, vannak számítógépes programok, melyek 0-val kezdenek.

Példa

Az A mátrix

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}$

egy 4×3-as mátrix. Az A[2,3] vagy a_2,3 elem 7.

Négyzetes mátrix

A négyzetes mátrix olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik.

A mátrix főátlója az $a_{i,i}$ alakú elemeket tartalmazza, tehát azokat, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint oszlopban.

Az I_n egységmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek elemei a főátlóban egységnyiek, összes többi eleme 0. Az egységmátrix kelégíti az alábbi egyenlőségeket: MI_n=M és I_nN=N minden m-szer n Mmátrixra és n-szer k N mátrixra. Például, ha n = 3:

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$