A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Állandó függvény deriválása: ha f (x ) állandó, akkor
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0\,}
(
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
)
′
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
{\displaystyle (af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)\,}
f és g függvényre és bármely a és b valós számra.Speciális esetek:
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=a\,f'\,}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
függvények szorzat ának deriválása:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,}
f és g függvényre.függvények hányados ának deriválása:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}}
f és g függvényre, ahol g ≠ 0.összetett függvény deriválása:
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\,}
hatványok deriváltjai: ha
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}}
r valós számra, akkor
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
,
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}
Példa: ha r = 1/2, akkor f'(x) = (1/2)x −1/2 csak nem negatív x -szel értelmezett. Ha r = 0, az állandó függvény deriválási szabálya alkalmazható.
exponenciális és logaritmus függvények:
(
a
x
)
′
=
a
x
l
n
(
a
)
.
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}ln(a).}
(
e
x
)
′
=
e
x
.
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}
l
n
′
(
x
)
=
1
/
x
.
{\displaystyle ln'(x)=1/x.}
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
−
1
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
l
n
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=g(x)f(x)^{g(x)-1}f'(x)+f(x)^{g(x)}lnf(x)g'(x).}
trigonometriai függvények:
sin
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
.
{\displaystyle \sin '(x)=\cos(x).}
cos
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
.
{\displaystyle \cos '(x)=-\sin(x).}
tan
′
(
x
)
=
1
/
c
o
s
2
(
x
)
.
{\displaystyle \tan '(x)=1/cos^{2}(x).}
f
(
x
)
=
x
4
+
sin
(
x
2
)
−
ln
(
x
)
e
x
+
7
{\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\ }
deriváltja
f
′
(
x
)
=
4
x
(
4
−
1
)
+
(
x
2
)
′
cos
(
x
2
)
−
(
ln
x
)
′
e
x
−
ln
x
(
e
x
)
′
+
0
=
4
x
3
+
2
x
cos
(
x
2
)
−
1
x
e
x
−
ln
(
x
)
e
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+(x^{2})'\cos(x^{2})-(\ln {x})'e^{x}-\ln {x}(e^{x})'+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}
Itt a második tag deriváltját az összetett függvények deriválási szabályával számítottuk ki, a harmadik tagot pedig a függvények szorzatának deriválási szabályával: a következő elemi függvények ismert deriváltjait is felhasználtuk: x 2 , x 4 , sin(x ), ln(x ) és exp(x ) = e x
