Matematika/Deriválás/L'Hopital

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A L’Hôpital-szabály egy jól használható módszere arra, hogy egy függvény határértékét kiszámítsuk, mikor a függvényműveletek alakú határértékhez vezetnek, vagy végtelen per végtelen.

Az egyszerű L’Hôpital-szabály[szerkesztés]

TételEgyszerű L’Hôpital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és


Ismételt „L’Hôpitálás”[szerkesztés]

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

Példa[szerkesztés]

esetén és . Alkalmazzuk a L’Hôpital-szabályt: