Komplex analízis/Topologikus fogalmak

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Komplex számkör és reprezentációi[szerkesztés]

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell[szerkesztés]

A komplex számok olyan

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük. Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i2=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a
λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással

kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.

Halmazelméleti modell[szerkesztés]

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X2) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

az összeadás az R2-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R2 topológiáját.

Geometriai modell[szerkesztés]

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R2 síkon:

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

C topológiája[szerkesztés]

R2 gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R2-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z0C számra:

az r sugarú z0 középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||2 euklideszi norma, elvileg R2 bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

Egy AC halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

Folytonosság[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az AC halmazon értelmezett f függvény folytonos a zA pontban, ha z-ben f folytonos mint R2A R2 függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:


Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z0 = x0 + iy0 ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

  1. f folytonos a z0-ban
  2. u és v függvények folytonosak az (x0,y0)-ban

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a pontban a limx u + i limy v szám adja. Ekkor


Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvény létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
Nuvola apps important square.svg

Feladat. Legyen wC. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

(Útmutatás: igazoljuk definíció szerint, vagy használjuk fel, hogy véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés folytonos.)

Nuvola apps important square.svg

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

(Útmutatás: írjuk át kétváltozós valós vektorfüggvénnyé és vizsgáljuk a komponensfüggvények folytonosságát a (0,0)-ban; használjuk a többváltozós függvények határértéke és folytonossága közötti összefüggést! )

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
  1. f + g
  2. f g
  3. g(z0) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z0-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

C kompaktifikálása[szerkesztés]

Kompakt egy K halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a K-t. Szimbolikusan:

K kompakt, ha minden (Ωi)i∈I halmazrendszerhez, melyre
  1. Ωi nyílt minden i∈I-re és
  2. K ⊆ U(Ωi)i∈I
létezik J ⊆ I véges indexhalmaz, hogy K ⊆ U(Ωi)i∈J

RN-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga C nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont C egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével C kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely R3-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.

A Riemann-gömb és a sztereografikus projekció

A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az R3-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az [xy] síkra, mint a C komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú P pólust és egy a + bi komplex szám esetén az (a,b,0) pontot kössük össze P-vel egy e egyenes által. Ekkor az e egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az a + bi-nek megfelelő pontot. Ha az a + bi-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:

Nuvola apps important square.svg

Feladat. Igazoljuk a fenti összefüggést!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy hasonló háromszögek megfelelő oldapárjainak aránya egyenlő.)

Ha tehát a C-hez hozzáveszünk egy ∞-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a P pólust, akkor a

halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell ∞ gömbi környezeteit. Ezek a következő alakú halmazok lesznek:

ahol r > 0.

Nuvola apps important blue.svg

Feladat. Igazoljuk, hogy CU{∞} kompakt és sorozatkompakt (ez utóbbi azt jelenti, hogy minden benne haladó sorozatból kiválasztható olyan határértékkel rendelkező részsorozat, melynek határértéke is a halmazban van)! Megjegyezzük, hogy valójában a két kijelentés közül bármelyik következik a másikból, mert a kompaktság és a sorozatkompaktság Haussdorf-féle topologikus terekben ekvivalens.

(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)

Határérték[szerkesztés]

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R2 esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az AC halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan aA, hogy a ∈ Br(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden zA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(z) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

Nuvola apps important square.svg

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

(Útmutatás: δ := ε.)

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
a * b = c
definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) Re(z) 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) 2 Re(z) 2 a z=0-ban.

DefinícióVégtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

DefinícióHatározatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
  1. ,
  2. ,
  3. ,

Ezek a definíciók, a definíció előtt említett elv értelmében jók, azaz

TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R2-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

Nuvola apps important square.svg

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni. (Útmutatás: használjuk fe, hogy limz 01/z = ∞.)


Nuvola apps important square.svg

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,

(Útmutatás: algebrai átalakítások után tekintsük a komponensfüggvények határértékét vagy vezessük vissza már ismert komplex határértékekre.)

Nuvola apps important square.svg

Feladat. Adjuk meg minden z0C számra az alábbi függvény határértékét!

  1. ,
  2. ,

(Útmutatás: írjuk fel az értelmezési tartományukat, vizsgáljuk azon belül a folytonosságot, a határon pedig a határértéket.)