Komplex analízis/Néhány elemi függvény

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Elemi függvények[szerkesztés]

Hatványfüggvények[szerkesztés]

A

típusú függvények komplex hatványfüggvények. nZ esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

a) és a b)

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény[szerkesztés]

Ebből kiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

3. Feladat. Oldjuk meg az

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

így

4. Feladat. Oldjuk meg az

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja[szerkesztés]

Tekintsük a

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

azaz

és

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y1 = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy1 ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

ahol G1 az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G2 az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

Trigonometrikus függvények[szerkesztés]

Világos, hogy valós φ-re:

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

6. Feladat. Oldjuk meg az

egyenletet!

Hiperbolikus függvények[szerkesztés]

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

Mo.