Minthogy C ≡ R2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. Szinte említenünk sem kell, hogy a sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:
Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
Állítás – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
- (an) konvergens és
- (bn) konvergens.
Ekkor lim(zn) = lim(an) + ilim(bn)
|
További jellegzetes tételek is következnek a C-beli sorozatokra vonatkozóan:
Tétel
- Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel – C-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
- Heine–Borel-tétel – C-beli korlátos és zárt halmaz kompakt.
- Cauchy-kritérium – C teljes topologikus tér, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.
|
Itt a kompaktság jelenthet topologikus kompaktságot (minden nyílt lefedéséről kiválasztható véges részlefedés) és sorozatkompaktságot is (minden a halmazban haladó sorozatból kiválasztható halmazbeli határértékű konvergens részsorozat), mely utóbbi a B.–W.-tétel egy átfogalmazása.
Továbbá (zn) Cauchy-sorozat, ha
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- abszolútérték: zn 0 akkor és csak akkor, ha |zn| 0
- eltolás: zn z akkor és csak akkor, ha (zn – z) 0
- "K 0": ha (wn) korlátos és zn 0, akkor (wn zn) 0
- majoráns: ha (δn) 0 valós és |zn| < δn, akkor zn 0
- hányadoskritérium: ha , akkor zn 0
- gyökkritérium: ha , akkor zn 0
|
Ezek közül a C-ben a legjellegzetesebb a "K 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
A (zn) komplex numerikus sorozatról akkor mondjuk, hogy a végtelenhez tart, ha
Tehát egy sorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha az abszolút értéke tart a végtelenhez.
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy
függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
Az átviteli elv változatlanul érvényes C-ben is (minthogy az ebből a szempontból nem különbözik R2-től).
Tétel – Átviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A C függvény, ahol A ⊆ C komplex részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, w ∈ C. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- létezik az f-nek határértéke az u pontban és
- minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (zn) konvergens sorozat esetén az (f(zn)) függvényérték-sorozat konvergens és
|
Ha
- ahol |z| < 1
akkor
Hiszen a gyökkritériummal adódik, hogy
azaz a nullához tart.
1.
(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)
Megoldás
2.
ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)
Megoldás
ugyanis
3.
(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)
Megoldás
azaz 0-hoz tart-
4.
(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó gyökkritériumot.)
Megoldás
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
5.
(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)
Megoldás
-
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat
részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a
szimbólummal jelöljük.
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.
- Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor konvergens és az összege:
- Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
- p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a valós sor konvergens.
- Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a valós sor divergens.
- Hányadoskritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
- Gyökkritérium: ha , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limimf" > 1, akkor divergens.
|
Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.