Komplex analízis/Komplex függvény integrálja

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Görbék a komplex síkon[szerkesztés]

Ha [a,b] korlátos és zárt valós intervallum, és G: [a,b] C folytonos függvény, akkor G-t görbének nevezzük. A G görbe kezdőpontja a G(a), végpontja a G(b) komplex szám.

Példa. Origó középpontú körök és körívek.

Az alábbi függvény, intervallumon értelmezett és a komplex egységkörbe, U-ba képez folytonos és paraméterezi a komplex egységkör egy ívét:

ha [a,b]=[0,2π], akkor G a teljes egységkört paraméterezi. A folytonosság abból látható, hogy

mely intervallumon értelmezett és komponensenként folytonos függvény.

Origón áthaladó egyenes:

ahol φ az egyenes irányszöge.

Határozatlan integrál[szerkesztés]

Legyen az f komplex függvény a nyílt U halmazon értelmezve. Azt mondjuk, hogy f-nek primitív függvénye az F:U C függvény, ha F komplex deriválható (azaz reguláris) és F '= f.

A határozatlan inegrálra vonatkozóan a legfontosabb tétel a Newton-Leibniz-tétel:

Newton--Leibniz-tétel Legyen a D tartományon (nyílt és összefüggő halmaz) értelmezett f függvény olyan, hogy

  1. létezik f-nek primitív függvénye (azaz ∃ F ∈ DiffC(D) : F ' = f)
  2. f integrálható (azaz ∀ G ∈ C([a,b],D) : ∃ ∫G f )

Ekkor minden G ∈ C1([a,b],D)-re és f minden F primitív függvényére:

Megjegyzés. Míg az egyváltozós analízisben folytonos függvénynek volt primitívfüggvénye (espedig az integrálfüggvény ilyen volt), addig az C-ben koránt sincs így. Vegyük az

Reciprok lekéopezést! Ennekaz teljes Dom(f) = C\{0} tartományon nincs primitív függvénye, bár holott reguláris. Ám minden olyan D nyílt összefüggő halmazon van primitívfüggvénye, melyre igaz, hogy része egy C \ e halmaznak, ahol e egy origóból kiinduló félegynes. Ekkor F a Log hozzárendelés egy alkalmas olyan leszűkítése, mely diffeomorfizmus D-n.

Feladat. Legyen

Számoljuk ki az alábbi integrálokat!

a)
b)

Feladat. Igazoljuk, hogy az

függvény nem primitív függvénye az

függvénynek a C\{0} tartományon.

(Útmutatás: F mégcsak nem is folytonos a (0,+∞) ⊆ R halmazon, nemhogy differenciálható lenne.)

Cirkulációmentesség[szerkesztés]

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Legyen f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y). Ekkor f felfogható R2 R2 függvényként, melynek vonalintegrálja a

vonal mentén:

amiben az

és

vektorterek integráljai szerepelnek.

Vagy kétdimenziós felületi integrálként:

és

Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:


Gauss-tétel[szerkesztés]

Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂V határa kifelé irányított felület. Ha V a határával együtt Dom(v)-ben van, akkor

Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φi:Di R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tarományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha ij, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

, ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
, ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Egyszeresen összefüggő tartomány. A G1: [a,b] R3 és a G2: [a,b] R3 görbék homotópak, ha létezik olyan F: [0,1] × [a,b] R3 folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G1 és F(1,.) ≡ G2.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G1 a G2-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.

Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a v(r) = r/r3 vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.

Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

Stokes-tétel[szerkesztés]

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor

A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:

  1. rot v eltűnik D-n.
  2. minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
  3. létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D R3 függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor

Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel[szerkesztés]

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:


Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy mondott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla: