Komplex analízis/Komplex differenciálhatóság

R-differenciálhatóság

Egy f : C $\to$ C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy R^N $\to$ R^M függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

$a_{w}:z\mapsto w+z\,$ akkor $\mathrm {d} _{\mathbf {R} }(a_{w})z=z$

A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:

$m_{w}:z\mapsto w\cdot z\,$ akkor $\mathrm {J} _{\mathbf {R} }^{a_{w}}(z)={\begin{pmatrix}w_{1}&-w_{2}\\w_{2}&w_{1}\end{pmatrix}}$

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z $\mapsto$ w$\cdot$ z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

$\mathrm {J} _{\mathbf {R} }^{a_{w}}(z)=w$

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

$\mathrm {J} _{\mathbf {R} }^{a_{w}}(z)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z² R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z² = x² - y² +i(2xy)

$\mathrm {J} _{\mathbf {R} }^{f}(x,y)={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}=2z$

Feladat. Számítsuk ki az $\scriptstyle {f(z)={\overline {z}}}$ R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor $\scriptstyle {{\overline {z}}=x-\mathrm {i} y}$, így:

$\mathrm {J} _{\mathbf {R} }^{\overline {z}}(z)={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\not \in \mathbf {C}$

És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:

Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R² $\to$ R² R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:

$\partial _{1}f_{1}=\partial _{2}f_{2}$ és $\partial _{1}f_{2}=-\partial _{2}f_{1}$

C-differenciálhatóság

A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z₀ pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a w ∈ C szám mátrixreprezentációja. Ekkor

$\lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})-w\cdot (z-z_{0})}{|z-z_{0}|}}=0$

Itt w$\cdot$(z-z₀) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:

$\lim \limits _{z\to z_{0}}\left({\frac {f(z)-f(z_{0})}{|z-z_{0}|}}-{\frac {w\cdot (z-z_{0})}{|z-z_{0}|}}\right)=0$

Ha h(z)=(z-z₀)/|z-z₀|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:

$\lim \limits _{z\to z_{0}}\left(h(z)\cdot \left({\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-w\right)\right)=0$

Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=w$

Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.

Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:

Tétel. A definícióbeli f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zⁿ függvényt!

Feladat. Komplex deriválható-e: $\scriptstyle {f(z)=z\cdot {\overline {z}}}$, vagy a $\scriptstyle {f(z)=z^{2}\cdot {\overline {z}}}$?

Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a D ⊆ C halmazon és lim_wg = 0, akkor lim_w fg = 0. (w ∈ int D).