Halmazelmélet/Direkt szorzat

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

E fejezetben megkezdjük az építkezést az eddig lerakott alapokból - bár még nincs minden alap lerakva.

Két osztály szorzata[szerkesztés]

Definíció: Legyen A,B két osztály. Ezek szorzatának, konkrétan direkt szorzatának, Descartes-szorzatának vagy keresztszorzatának azon <a,b> rendezett párok halmazát nevezzük, melyekre igaz a∈A és b∈B, vagyis melyek első tagja A-beli, a második pedig B-beli.
A×B := {x | (∃a∈A)(∃b∈B):(x=<a,b>)}

rövidebben (és nem annyira precízen):

A×B := {<a,b> | a∈A ∧ b∈B}

Hasonlóan definiálhatjuk három, négy stb. osztály direkt szorzatát is. [1].

Mivel (a,b) := {{a},{a,b}}, tetszőleges A×B-beli elem két halmazból áll, melyek mindegyike A∪B részhalmaza, azaz P(A∪B)-beli, tehát maga a rendezett pár mindig utóbbi halmaz két eleméből áll, azaz P(P(A∪B)) eleme. E ténynek kulcszsrepe van a Descartes-szorzatok létezésének bizonyításában.


A kis unióaxióma[szerkesztés]

(A9) A „kis” unióaxióma: Ha A és B tetszőleges osztályok, akkor létezik az A∪B osztály.

Ez egy erős axióma, nem vezethető le későbbi axiómáinkból.


Megjegyzések[szerkesztés]

A[szerkesztés]

Gyakorlatok[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Ezt nem tesszük. A definíciót kiterjeszhetnénk tetszőleges véges sok osztályra is, de teljesen felesleges (arról nem is beszélve, hogy még nem tudhatjuk, mit jelent a „véges” szó).