52. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Feladatok[szerkesztés]

1. nap[szerkesztés]

1. feladat[szerkesztés]

Az halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll. Az összeget jelöljük -val, és jelölje az olyan párok () számát, amelyekre osztója -nak. Határozzuk meg az összes olyan A halmazt, amelyre a lehetséges maximális értékét veszi fel.

2. feladat[szerkesztés]

Legyen S a sík pontjainak egy véges, legalább két elemű halmaza. Feltesszük, hogy az halmaz semelyik három pontja sincs egy egyenesen. Egy szélmalomnak nevezett folyamat során kiindulunk egy egyenesből, amely az halmaznak pontosan egy pontját tartalmazza. Az egyenes a forgástengely körül az óramutató járásával megegyező irányban forog addig, amíg először nem találkozik egy másik, halmazba tartozó ponttal. Ekkor ez a pont lesz az új forgástengely, és az egyenes a pont körül forog tovább az óramutató járásával megegyező irányban egészen addig, míg újra nem találkozik egy halmazba tartozó ponttal. Ez a folyamat vég nélkül folytatódik. Bizonyítsuk be, hogy megválaszthatjuk a pontot és a P-n át menő egyenest úgy, hogy az halmaz minden pontja végtelen sokszor legyen a szélmalom forgástengelye.

3. feladat[szerkesztés]

Legyen f : R → R egy olyan függvény, amelyre teljesül az

feltétel minden valós számra. Bizonyítsuk be, hogy minden esetén teljesül .

2. nap[szerkesztés]

4. feladat[szerkesztés]

Legyen egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és súlyunk, amelyek súlya . Ezt az súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy jobb oldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.

5. feladat[szerkesztés]

Jelölje Z az egész számok halmazát, N pedig a pozitív egész számok halmazát. Legyen f egy Z-t N-be képező függvény. Tegyük fel, hogy bármilyen két és egész szám esetén az különbség osztható -nel. Bizonyítsuk be, hogyminden egész számra teljesül az, hogy ha ,akkor osztható -mel.

6. feladat[szerkesztés]

Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, Γ a háromszög körülírt köre és Γ egy érintő egyenese. Jelölje azokat az egyeneseket, amelyeket úgy kapunk, hogy -et a ill. egyenesekre tükrözzük. Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek által meghatározott háromszög körülírt köre érinti a Γ kört.


Következő lap
(51. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)
Következő lap
(53. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)