45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Feladatok[szerkesztés]

Első nap[szerkesztés]

1. feladat[szerkesztés]

Legyen hegyesszögű háromszög, amiben . A átmérőjű kör az , ill. oldalakat az , ill. pontokban metszi. Jelölje a oldal középpontját. A ∠ és ∠ szögek szögfelezői az pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a és háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a oldalon fekszik.

2. feladat[szerkesztés]

Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós polinomot, amely kielégíti a

egyenlőséget, valahányszor olyan valós számok, amelyekre teljesül .

3. feladadt[szerkesztés]

Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan -es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy

  • a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,
  • semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

Második nap[szerkesztés]

4. feladat[szerkesztés]

Legyen ≥3 egész szám. Legyenek pozitív valós számok, amelyekre teljesül

Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalhosszai minden olyan esetén, amikre 1≤ teljesül.

5. feladat[szerkesztés]

Egy konvex négyszögben a átló nem szögfelezője sem az , sem a szögnek. A pont az négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá

és .

Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor húrnégyszög, ha .

6. feladat[szerkesztés]

Egy pozitív egész számot alternálónak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amire igaz az, hogy -nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.


Előző lap
(44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)
Következő lap
(46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)