45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Feladatok

Első nap

1. feladat

Legyen $ABC$ hegyesszögű háromszög, amiben $AB$≠$AC$. A $BC$ átmérőjű kör az $AB$, ill. $AC$ oldalakat az $M$, ill. $N$ pontokban metszi. Jelölje $O$ a $BC$ oldal középpontját. A $BAC$∠ és $MON$∠ szögek szögfelezői az $R$ pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a $BMR$ és $CNR$ háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a $BC$ oldalon fekszik.

2. feladat

Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós $P(x)$ polinomot, amely kielégíti a

$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$

egyenlőséget, valahányszor $a,b,c$ olyan valós számok, amelyekre teljesül $ab+bc+ca=0$.

3. feladadt

Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan $mxn$-es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy

• a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,
• semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

Második nap

4. feladat

Legyen $n$≥3 egész szám. Legyenek $t_{1},t_{2},...,t_{n}$ pozitív valós számok, amelyekre teljesül

$n^{2}+1>(t_{1}+t_{2}+...+t_{n})\left({\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+...+{\frac {1}{t_{n}}}\right)$

Mutassuk meg, hogy $t_{i},t_{j},t_{k}$ egy háromszög oldalhosszai minden olyan $i,j,k$ esetén, amikre 1≤$i<j<k$≤$n$ teljesül.

5. feladat

Egy $ABCD$ konvex négyszögben a $BD$ átló nem szögfelezője sem az $ABC$, sem a $CDA$ szögnek. A $P$ pont az $ABCD$ négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá

$PBC\angle =DBA\angle$ és $PDC\angle =BDA\angle$.

Bizonyítsuk be, hogy $ABCD$ akkor és csak akkor húrnégyszög, ha $AP=CP$.

6. feladat

Egy pozitív egész számot alternálónak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

Határozzuk meg az összes olyan $n$ pozitív egész számot, amire igaz az, hogy $n$-nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.

Előző lap (44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)

–

Következő lap (46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)