Matematika/Mátrix/Műveletek

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Műveletek mátrixokkal

[szerkesztés] Összeadás

Legyen A és B két m-szer n méretű mátrix, A + B összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Például:

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}

[szerkesztés] Skalárral való szorzás

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Például:

2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}

[szerkesztés] Mátrixszorzás

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha az baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\

minden i-re és j-re.

Például:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ ((-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & ((-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix},

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

\begin{matrix} & \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix} \end{matrix},

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:

  • (AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m-szer n méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra ("asszociativitás").
  • (A + B)C = AC + BC minden m-szer n méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
  • C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy AB ≠ BA.

A lap eredeti címe: „http://hu.wikibooks.org/wiki/Matematika/M%C3%A1trix/M%C5%B1veletek”