Lineáris algebra/Bevezetés

Témák jegyzéke Következő fejezet (Valós együtthatós lineáris egyenlet és egyenletrendszer)

Bemelegítésül: „Lineáris jellegű” problémák és megoldásuk

Két egyszerűbb feladat

Matematikai jellegű problémák megoldása során gyakran ütközünk olyan egyszerű helyzetbe, melynek során két vagy több egymástól függő ismeretlen mennyiség értékét kell kiszámolnunk. Néhány ilyen szituáció:

1. feladat

A fürdőszobámban két csap van. Az egyik kb. 4× annyi vizet ad 1 perc alatt, mint a másik (ezt onnan tudom, hogy az átmérője kétszer akkora). Ha a két csapot kinyitottam, 1 perc alatt töltöttek meg egy 50 literes kádat. A kérdés, külön-külön mennyi vizet adnak 1 perc alatt (megjegyzés: vízórám van, nagyon magas vízdíjjal, így nem mérek, hanem számolok!)?

2. feladat:

Még maradjunk a lakásomnál. A spájzot az öcsém egyedül festette ki egyenletesen pink (ronda rózsaszín) színűre három óra alatt. A nagyszobát együtt festettük ki szintén egyenletesen adagolva a (kék) festéket. Hat óra alatt végeztünk, és hatszor annyi doboz festéket használtunk el, mint az öcsém a spájz festésekor. Nem tetszik nekem a spájz színe, és át akarom festeni kékre.

Kb. mennyi idő alatt leszek kész?
Az az idióta öcsém átfestette a nagyszobát is pinkre, míg én fontos ügyeimet intéztem a sarki bisztróban. Meddig voltam elfoglalt?

E két feladat (egyelőre) tipikusan olyan, amit puszta gondolkodással, egyenletek és hasonló matematikai formalizmus nélkül meg lehet oldani.

Az első feladat megoldása egyszerű:
- 1 perc alatt mindkét csap egy bizonyos vízmennyiséggel járult hozzá az ötven literhez, az egyik csap négyszer annyival, mint a másik. Ha a kisebb vízhozamot egységnyinek gondoljuk (x liter/sec), akkor ez a vízhozam meg ennek a négyszerese (4x), összesen tehát ennek az ötszöröse (x+4x = 5x) az az ötven liter. A kisebb teljesítményű csap vízhozamának ötszöröse ötven liter, tehát maga a vízhozam ennek ötöde, tíz liter. Ennélfogva a nagyobbik csap vízhozama ennek négyszerese, tehát negyven liter. Ennyi vizet adtak 1 perc alatt.
- Matematikai formalizmus segítségével gondolkodva, ha a kisebbik csap hozama percenként x (liter víz), a nagyobbiké y (liter víz), akkor a következő összefüggésekkel rendelkezünk: y = 4x és x+y = 50 (lit.) . Mindkét összefüggés egy-egy többismeretlenes egyenlet. Önmagában egyik egyenlet sem oldható meg egyértelműen, csak két mennyiség közti (lineáris) kapcsolatot fejeznek ki, de nem ismert számokat. Természetesen úgy oldjuk meg ezt a problémát, hogy a második egyenletben (x+y = 50) beírjuk az y változó helyébe a 4x kifejezést, hiszen ekkor a második egyenlet egy egyértelműen megoldható elsőfokú egyismeretlenes egyenletre egyszerűsödik, amit meg tudunk már oldani.
A második feladatban háromféle mennyiség fordul elő. Szó van festékmennyiségről, illetve ezzel párhuzamosan szobanagyságról (mely festés esetében a szoba függőleges falainak felszíne, ami m²-ben mérhető) – élünk azzal az egyszerűsítő feltételezéssel, hogy a festékmennyiség additív vagy extenzív, azaz kétszeres, háromszoros ... stb. falfelülethez kétszer, háromszor ... stb. annyi festéket kell használni. Szó van aztán két ember által időegység alatt a festéshez használt festékmennyiségről, azaz „festési sebességről”. Ismét élünk egy egyszerűsítő feltételezéssel, ti. hogy ez a sebesség az adott emberre jellemző állandó (időtől vagy egyébtől független). Szó van aztán egy harmadik mennyiségről, a festéshez szükséges időről. Ezek közt keresünk kapcsolatokat.
- A spájzot, mely valahány, mondjuk S négyzetméternyi falfelszínű (kezdő matematikus számára nehézséget okozhat, hogy ennek értékét nem ismerjük; de nem lesz lényeges), az öcsém három óra alatt festi ki (egy óra alatt tehát S/3 négyzetméternyi felületet képes kifesterni). A hatszor akkora festékmennyiséget igénylő, tehát hatszor akkora – azaz 6S – felületű nagyszobát hat óra alatt festettük ki. Az öcsémről tudjuk, hogy egy óra alatt S/3 négyzetméternyi felületet fest le; tehát hat óra alatt hatszor ennyi, 2S négyzetméteert festett le a 6S-ből. A maradék 6S-2S = 4S felületet festettem hát én. Hat órát dolgoztam, egy óra alatt így kb. 4S/6 = 2S/3 négyzetmétert festek le. Így három óra alatt 2S négyzetmétert, szóval másfél óra alatt S négyzetmétert. Tehát kb. másfél órát fog igénybe venni, hogy átfessem a spájzot. A másik feladat hasonlóan oldható meg.
- Matematikailag például a következőképp kódolhatjuk a dolgot: az öcsém által három óra alatt lefestett négyzetméterek száma S. Az általa hat óra alatt lefestett négyzetméterek száma tehát 2S. Az általam hat óra alatt lefestett négyzetméterek száma legyen R. Ekkor 2S+R = 6S. A kérdés pedig, hogy S négyzetmétert mennyi idő alatt festek le, mondjuk t óra alatt. Ekkor S/t négyzetmétert festek le egy óra alatt, 6S/t négyzetmétert hat óra alatt, de mivel R-rel jelöltük, hány négyzetmétert festek le hat óra alatt, ezért 6S/t = R. Tehát a fenti problémát például egy három egyenletből álló, három ismeretlen mennyiség közti kapcsolatokat kifejező matematikai összefüggésrendszerré kódolhatjuk:

{\begin{cases}2S+R=6S;\\{\frac {6S}{t}}=R\ ;\end{cases}}

Két dolgot kell megjegyeznünk:

Formailag ez egy három ismeretlenes probléma, mely csak két egyenletet tartalmaz. Megszoktuk, hogy három ismeretlen esetén három egyenlet kell a megoldáshoz. Valójában azonban S nem ismeretlen abban az értelemben, hogy a feladat megoldása során kiesik, azaz nem szükséges kiszámolni.
A „lineáris” vagy „elsőfokú” kifejezés arra kíván utalni, hogy az egyenletekben egyik változó sem fordulhat elő egynél magasabb (vagy alacsonyabb, hacsak nem 0) fokú hatványon, vagyis a változók nem lehetnek négyzetre, köbre ... stb. emelve, nem szerepelhetnek gyökeik, köbgyökeik, abszolútértékük, logaritmusuk stb. Tehát a fenti összefüggésrendszer nem lineáris, mert a második egyenletben szerepel egy ismeretlen (t) reciproka, 1/t. Azonban a T = 1/t változót bevezetve már mindkét egyenlet „lineáris”. Lineáris jellegű egyenletről akkor beszélünk, ha nem feltétlenül lineáris, de hasonló módszerekkel (ekvivalens átalakításokkal) lineáris alakra hozható. A pontos definíciót a következő fejezetben adjuk meg.

Szükség van-e a lineáris algebrára?

Egyszóval mindkét feladat megoldható egyszerű logikai következtetésekkel, egyenletek és egyéb formalizmus felhasználása nélkül. Felmerül a kérdés: mi szükség van egyáltalán az egyenletekkel való pepecselésre, ha gondolkodni is lehet? Azaz:

Szükség van-e (lineáris) algebrára?

és ha szükség lenne,

Mi szükség lenne rá?

Amint az sejthető, az első kérdésre a válaszunk: Igen ... (különben aligha született volna meg ez a munka). Álljon példaként egy olyan feladat, melyet már meglehetősen nehéz matematikai formalizmus használata nélkül kezelni:

Egy gyárból öt fuvarozó szállítja a termékeket a forgalmazókhoz. Hat napon keresztül figyeltük a forgalmat.

Az első nap az első fuvarozó tízszer fordult (de ötször csak a teherszállító kapacitása 1/3-át tudta használni), a második háromszor, a harmadik ötször, a negyedik négyszer, de egyszer csak a kapacitás felét tudta használni, az ötödik pedig háromszor. E napon tíz tonna termék fogyott a raktárból.
A második nap az első fuvarozó kétszer fordult, a második is kétszer, a harmadik egyszer sem, a negyedik tízszer, az ötödik háromszor. E napon csak két és fél tonna árut szállítottak ki.
A harmadik nap az első fuvarozó tízszer fordult, a második egyszer, a harmadik ötször, a negyedik egyszer, az ötödik hatszor, de egyszer csak félkapacitással. Fogyott kilenc és egynegyed tonna termék.
A negyedik nap az első fuvarozó ötször fordult, a második kétszer, a harmadik kétszer, de egyszer csak feleannyi terhet vitt, mint szokott; a negyedik ötször, az ötödik egyszer. Fogyott hat tonna termék.
Az ötödik nap az első fuvarozó nem szállított, a második háromszor fordult, de egyszer csak egynegyed kapacitással, a harmadik is háromszor, a negyedik egyszer, az ötödik pedig háromszor. Fogyott két tonna termék.

A kérdés, hogy hány tonna árut bírnak el a fuvarozók külön-külön egyszeri forduláskor?

Ellenőrizhető, hogy a probléma a következő egyenletek formájában írható fel – az egyes fuvarozók által elbírt terhek tonnában mért menyiségét rendre $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {x} _{5}$ jelölje:

$6{\frac {1}{3}}x_{1}+3x_{2}+5x_{3}+3{\frac {1}{2}}x_{4}+3x_{5}=10$ ;
$2x_{1}+2x_{2}+10x_{4}+3x_{5}=2{\frac {1}{2}}$ ;
$10x_{1}+x_{2}+5x_{3}+x_{4}+5{\frac {1}{2}}x_{5}=9$ ;
$5x_{1}+2x_{2}+{\frac {3}{2}}x_{3}+5x_{4}+x_{5}=6$ ;
$2{\frac {1}{4}}x_{2}+3x_{3}+1x_{4}+3x_{5}=2$ ;

Összefüggések, egyenletek ilyen sokaságára a következő jelölés terjedt el:

{\begin{cases}\ \ 6{\frac {1}{3}}\ x_{1}+3x_{2}+5x_{3}+3{\frac {1}{2}}\ x_{4}+3x_{5}=10\ ;\\\ \ 2x_{1}+2x_{2}+10x_{4}+3x_{5}=2{\frac {1}{2}}\ ;\\\ \ 10x_{1}+x_{2}+5x_{3}+x_{4}+5{\frac {1}{2}}\ x_{5}=9{\frac {1}{4}}\ ;\\\ \ 5x_{1}+2x_{2}+{\frac {3}{2}}\ x_{3}+5x_{4}+x_{5}=6\ ;\\\ \ 2{\frac {1}{4}}\ x_{2}+3x_{3}+x_{4}+3x_{5}=2\ ;\end{cases}}

Vagyis kapcsos zárójel utal arra, hogy az egyenletek összetartoznak, egyszerre kell hogy teljesüljenek, azaz „egy rendszert” alkotnak.

Ajánlott feladat: próbáljuk meg a kérdést megoldani, azaz rájönni az egyes fuvarozó járművek teherbírásának számszerű értékére!

A lineáris algebra alkalmazásai

Visszatérve az eredeti kérdésre, az egyenletekre és kapcsolódó ismeretekre több okból is szükség lehet. Nézzük ezt a több okot:

Ha nagyon bonyolult a probléma, nagyon sok az ismeretlen és az összefüggés, akkor elvesznénk az adatok között, ha nem írnánk fel őket rendezettebb formában. A matematikai, egyenletek formájába történő átkódolás áttekinthetőbbé teszi a problémát, és esetleg ötleteket adhat a megoldáshoz. Vasúthálózatok tervezésekor, szállításütemezési és egyéb hasonló problémák megoldásakor gyakran harminc vagy akár háromszáz ismeretlenes összefüggések között kell kiismerni magunkat, s ezeket reménytelen dolog matematikai formalizmus nélkül átlátni.
A műszaki életben sokszor kell hasonló problémákat megoldanunk. Ilyenkor célszerű, és rendkívül sok időt-fáradtságot megtakarító eljárás, ha a problémamegoldást gépesítjük. A számítógépek pedig meglehetősen jól boldogulnak az egyenletekkel, viszont nem képesek az emberhez hasonlóan gondolkodni, egy rendezetlen formában adott összefüggéshalmazból kibogarászni valami megoldási eljárást. Ezt elvégezni a programozók feladata, és a lineáris algebra szemlélete, fogalmainak alkalmazása ebben is hasznos.
A lineáris algebra a „valódi”, fizikai tér és az abban végzett mozgás leírásának egyik elsődleges eszköze, bizonyos fogalmai (vektor, transzformáció) ezek leírására (is) szolgálnak. Így lévén, a lineáris algebra nyelve arra szolgál, hogy folytonos vagy annak gondolt mozgásokat diszkrét adatokká alakítsunk át (koordinátázzuk). Például ez teszi alkalmassá a „diszkrét gondolkodású” számítógépeket is, hogy a hagyományosan többnyire „folytonosnak” képzelt teret segítségükkel rekonstruáljuk, ami egyrészt igen hasznos, másrészt pedig igen szép és szórakoztató (ha például egy vektorgrafikusan készült képre, a fotóretusáló programok mátrixalapú filtereire, vagy az Unreal Tournament nevű FPS-játék grafikájára gondolunk ...)

A lineáris egyenletrendszerek nemcsak a köznapi életben fordulnak elő. Aligha túlzás azt mondani, hogy a tudományos vagy műszaki életben előforduló számítások legnagyobb része lineáris algebrai jellegű.

Minthogy fogalmai előkerülnek a differenciálegyenletek elméletében, ezért a lineáris algebra igen fontos a műszaki életben, és bármilyen fajta mérnöki elméleti tevékenység nagy valószínűséggel differenciálegyenletek kezelését jelenti.
Más okok miatt a lineáris algebra az elméleti fizika egyik alapvető eszköze lett (például a kvantummechanikában).
A vektorok, mátrixok, tenzorok és hasonló lineáris algebrai objektumok alapvetőek a mozgások és egyéb transzformációk leírásában. ezeknek nemcsak a fizika veszi hasznát, hanem a geometria bizonyos alkalmazásai (mint a számítógépes képfeldolgozás) vagy az információelmélet is.

Gyakori ellenvetés a lineáris algebra alkalmazásával szemben, hogy a való világ összefüggései általában nem lineáris jellegűek, ezért egy rendszer lineáris rendszerként való kezelése gyakran túlegyszerűsítés. Ebben sok igazság van. Azonban egyrészt néha hirtelen nem tudunk jobbat. Másrészt a következőkben leírtak a fentiekkel összhangban ennek ellenére is rengeteg fontos alkalmazást találnak! (Azt pedig már csak súgva merjük említeni ebben a gyakorlatias világban, hogy a matematikának ezzel az ágával rendkívüli szépsége miatt is érdemes foglalkozni ...)

A lineáris algebra fő területei

Elemi lineáris algebra: Lineáris algebra a valós/komplex számok teste felett; elsőfokú egyenletrendszerek, vektorok, mátrixok, geometriai transzformációk
Strukturális lineáris algebra: A lineáris algebrai fogalmak absztrakt algebrai szemlélteű tárgyalása; modulusok, vektorterek, vektortérhomomorfizmusok = lineáris transzformációk, struktúratételek (homomorfizmustétel, direktösszeg-tétel stb.)
Mátrixalgebra: A rengeteg alkalmazással bíró mátrix fogalmával külön kell foglalkoznunk; műveletek tulajdonságai: összeadás, lineáris kombináció, mátrixszorzás. Mivel a mátrixok gyűrűje nem test, a szorzás nem invertálható. Kapcsolat a determinánssal. Itt foglalkozunk a numerikus analízisbeli alkalmazásokkal.
Alkalmazások: algebra (Vandermonde-determináns és interpoláció; polinomok rezultánsa stb.), analízis (lineáris diffegyenletek, Wronski-determináns, többváltozós differenciálszámítás), numerikus analízis (felbontások, lineáris rekurzió, mátrixnormák)

Szükséges előismeretek

Az első rész, az elemi lineáris algebra megértéséhez lényegében csak az általános iskola 8. osztályáig megtanult matematikaanyagra igyekszünk szorítkozni, feltételezzük az elsőfokú valós változós egyismeretlenes egyenletek megoldásának ismeretét, és bizonyos fokú számolási készséget tizedes- és vegyestörtekkel.
A strukturális tárgyalásmód megértéséhez szükséges a halmazelmélet és az absztrakt algebra, elsősorban a csoportelmélet legalapvetőbb fogalmainak elemi szintű ismerete (a legfontosabb fogalmak: halmaz, részhalmaz, függvény, művelet, elemrendszer, véges és végtelen sorozat, csoport, kétváltozós művelet asszociativitása és invertálhatósága).

Speciális igények:

a fentin kívül bizonyos fejezetek (a „komplex mátrixokról” szólók) megértéséhez szükséges a komplex számok definíciójának ismerete, a fejezet megértéséhez szükséges teljes anyag a Magyar Wikipédia „komplex számok” c. szócikkében megtalálható.

Lásd még

Lineáris algebra (Wikipédia)

A lap tetejére Témák jegyzéke Következő fejezet (Valós együtthatós lineáris egyenlet és egyenletrendszer)