Lineáris algebra

Bevezetés a lineáris algebrába

Isten hozott a Mátrixban!

Mi a lineáris algebra?

A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, elsősorban a geometria és a fizikai bizonyos eredményeire épült és utóbbi tudományágak szükségletei hívták életre. Viszonylag fiatal terület, első komolyabb eredményei a XIX. század közepén, végén születtek.

Első közelítésben úgy határozható meg, mint azon sokváltozós/sokismeretlenes algebrai egyenleteknek és az általuk leírt függvényeknek, geometriai alakzatoknak és más objektumoknak vizsgálata, mely egyenletekben minden ismeretlen, változó stb. legfeljebb az első hatványon szerepel.

Bővebben ld. a Bevezetőt.

A könyv didaktikai jellegéről

Jelen munka inkább bevezető tankönyv és összefoglaló jegyzet, mint kizárólag a gyors tájékozódást szolgáló, áttekintő kézikönyv.

Egészen elemi, általános iskolás szintről kiindulva kezdünk a téma kifejtésébe (noha a tárgyalásmódban, elsősorban a felépítés részletességében, precizitásában e szintet már a kezdet kezdetén jóval meghaladjuk). Igyekszünk bemutatni, amennyire lehetséges, először a szemléletes (pl. a geometriai), kevésbé absztrakt, és történetileg is korábban kialakult területeket, és fokozatosan jutunk el az egyre absztraktabb fogalmakhoz és formálisabb tárgyaláshoz.

A szövegstílust tekintve a bevezető fejezetekben megpróbáljuk Dohár Péter: Kis angol nyelvtan c. könyvének bizonyos, a hagyományos tankönyveknél kötetlenebb stíluselemeket hordozó jellegzetességeit követni.

A könyv tartalma

• Lineáris algebra - Bevezetés

Elemi lineáris algebra

• 1. Elsőfokú egyenletrendszerek
     1. Valós együtthatós lineáris egyenlet és egyenletrendszer
     2. Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai
     3. Egyenletrendszerek elemi megoldása
        1. I. – Kétismeretlenes egyenletrendszer elemi megoldása
        2. II. – Többismeretlenes egyenletrendszer elemi megoldása
  2. Valós vektorok és vektorműveletek
     1. Vektorok, sík- és térvektorok
     2. A sík transzformációi
     3. n-dimenziós vektorok
     4. Főtengely-transzformáció (síkban és térben)

Strukturális lineáris algebra

• 1. Vektorok gyűrű felett
  2. Mátrixok gyűrű felett (csak a definíció és az alkalmazások említve)
  3. Modulusok és Lineáris terek
  4. Lineáris összefüggőség és függetlenség
  5. Bázis, dimenzió
  6. Direkt összeg
  7. Homomorfizmus, lineáris leképezések
  8. Mátrixok összeadása és szorzása számmal
  9. Invariáns altér
  10. Affin kombináció, bázis és alterek
  11. Euklideszi terek
  12. Normált terek
  13. Topologikus vektorterek

Mátrixalgebra

„A táblák pedig Isten kezének csinálmányai valának, az írás is Isten írása vala, kimetszve a táblákra.” (Exod. 31.16).

• Lineáris mátrixműveletek
  • Mátrixok összeadása és skalárszorzása ?
• Mátrixszorzás
  • Mátrixok szorzása
• Speciális alakú mátrixok
  • Permutáló mátrixok:
    • Lineáris algebra/Permutáló mátrixok
    • Lineáris algebra/Permutáló mátrixok II.
  • Szimmetrikus mátrixok
  • Háromszögmátrixok
• Determináns
• Adjungált, inverz
• Mátrixok és egyenletrendszerek
  • Egyenletrendszer mátrixa
  • Gauss-eljárás
  • Cramer-szabály
  • Rang
• Speciális mátrixok és determinánsok
  • Vandermonde-determináns
  • Komplex mátrixok
• Numerikus és analitikus módszerek
  • Gram-Schmidt-eljárás
  • Diagonalizálás, felbontások, LU-felbontás
  • Mátrixegyenletek
  • Mátrixanalízis, mátrixtopológia
  • Sajátérték
  • Minimálpolinom

Alkalmazások

• 1. Transzformációk és tenzorok
  2. Analízis, n-változós differenciálszámítás, diffegyenletek
  3. Algebra: polinomok, rezultáns, véges testek (Fr-mátrix)
  4. Kombinatorika, Véges geometria, Matroidok
  5. Kódelmélet
  6. Valószínűségszámítás: Markov-folyamat mátrixa

Függelék

• 1. Jelölések

Hivatkozások

Irodalom

• Cser Andor – L. Ziermann Margit – Reményi Gusztáv : Matematikai Zsebkönyv. Tankönyvkiadó, Bp., 1967. RSz. 8009 - 66.2021.
• Freud Róbert: Lineáris Algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Bp. 1998. ISBN 963 463 080 4 .
• Hajnal Imre: Matematika I. Gimnáziumi tankönyv. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. ISBN 963 18 5861 8 .
• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Bolyai-könyvek. Műszaki Könyvkiadó, Bp. 6. kiad. 1998. ISBN 963 16 3005 6 .
• Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet. Tanárképző Főiskolai könyvek. Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest. ISBN 963 18 7433 8 .

Lásd még

• Matematikai könyvespolc