52. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Az $A=\left\{a1,a2,a3,a4\right\}$ halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll. Az $a1+a2+a3+a4$ összeget jelöljük $s_{A}$ -val, és jelölje $n_{A}$ az olyan $(i,j)$ párok ( $1\leq i<j\leq 4$ ) számát, amelyekre $a_{i}+a_{j}$ osztója $s_{A}$ -nak. Határozzuk meg az összes olyan A halmazt, amelyre $n_{A}$ a lehetséges maximális értékét veszi fel.

2. feladat[szerkesztés]

Legyen S a sík pontjainak egy véges, legalább két elemű halmaza. Feltesszük, hogy az $S$ halmaz semelyik három pontja sincs egy egyenesen. Egy szélmalomnak nevezett folyamat során kiindulunk egy $l$ egyenesből, amely az $S$ halmaznak pontosan egy $P$ pontját tartalmazza. Az egyenes a $P$ forgástengely körül az óramutató járásával megegyező irányban forog addig, amíg először nem találkozik egy másik, $S$ halmazba tartozó ponttal. Ekkor ez a $Q$ pont lesz az új forgástengely, és az egyenes a $Q$ pont körül forog tovább az óramutató járásával megegyező irányban egészen addig, míg újra nem találkozik egy $S$ halmazba tartozó ponttal. Ez a folyamat vég nélkül folytatódik. Bizonyítsuk be, hogy megválaszthatjuk a $P\in S$ pontot és a P-n át menő $l$ egyenest úgy, hogy az $S$ halmaz minden pontja végtelen sokszor legyen a szélmalom forgástengelye.

3. feladat[szerkesztés]

Legyen f : R → R egy olyan függvény, amelyre teljesül az

f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x))

feltétel minden $x,y$ valós számra. Bizonyítsuk be, hogy minden $x\leq 0$ esetén teljesül $f(x)=0$ .

2. nap[szerkesztés]

4. feladat[szerkesztés]

Legyen $n>0$ egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és $n$ súlyunk, amelyek súlya $2^{0},2^{1},...,2^{n-1}$ . Ezt az $n$ súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy jobb oldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.

5. feladat[szerkesztés]

Jelölje Z az egész számok halmazát, N pedig a pozitív egész számok halmazát. Legyen f egy Z-t N-be képező függvény. Tegyük fel, hogy bármilyen két $m$ és $n$ egész szám esetén az $f(m)-f(n)$ különbség osztható $f(m-n)$ -nel. Bizonyítsuk be, hogyminden $m,n$ egész számra teljesül az, hogy ha $f(m)\leq f(n)$ ,akkor $f(n)$ osztható $f(m)$ -mel.

6. feladat[szerkesztés]

Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, Γ a háromszög körülírt köre és $l$ Γ egy érintő egyenese. Jelölje $l_{a},l_{b},l_{c}$ azokat az egyeneseket, amelyeket úgy kapunk, hogy $l$ -et a $BC,CA$ ill. $AB$ egyenesekre tükrözzük. Bizonyítsuk be, hogy az $l_{a},l_{b},l_{c}$ egyenesek által meghatározott háromszög körülírt köre érinti a Γ kört.