„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazrendszerek geometriája/Hilbert-féle illeszkedési síkok” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
{{H-lap|könyv=Halmazrendszerek geometriája|előző=Halmazrendszerek geometriája|következő=?}}
 
== Nem-elfajuló hipergráf ==
 
<div style="border: solid 2px #ee0000; background: #ffc676; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
<h4>'''Definíció''': </h4><hr>
: Egy <big>(U,E)</big> hipergráfot '''nem-elfajuló'''nak mondunk, ha szerkezete nem üres, és az üres halmazt sem tartalmazza; ellenkező esetben (azaz ha üres, vagy tartalmazza élként az üres halmazt) '''elfajuló'''nak mondjuk.
 
: Egy elfajuló hipergráfot '''félig elfajuló'''nak mondunk, ha nem üres, és '''teljesen elfajuló'''nak, ha üres.
</div>
 
Az egyetlen érdekes kérdés ezzel kapcsolatban, hogy egy véges U halmaz felett hány hipergráf elfajuló, illetve nem-elfajuló.
 
Egy véges, n-elemű <big>U</big> halmaz felett <math>2^{2^{n}}</math> db. hipergráf értelmezhető, minthogy ennyi eleme van a <big>℘(U)</big> hatványhalmaz hatványhalmazának. Ha <big>℘(U)</big>-ból eltávolítjuk az üres halmazt, amely az eleme, akkor elemeinek száma eggyel csökken, és egy |<big>℘(U)</big>|-1 = 2<sup>n</sup>-1 -elemű <big>U</big>' halmazt kapunk. Az <big>U</big> feletti, üres halmazt elemként nem tartalmazó hipergráfok épp az <big>U</big>' részhalmazai. Ezek száma így <math>2^{2^{n}-1} = \frac{2^{2^{n}}}{2} = 0.5 \cdot 2^{2^{n}} = 0.5 \cdot 2^{2^{|U|}}</math>. Tehát ennyi ∅-t nem tartalmazó hipergráf van egy n-elemű halmaz felett.
 
Sajnos - ha mondhatjuk ezt - ezek közt még lehet elfajuló, és van is pontosan egy, amelyik üres. Hiszen <big>℘(U')</big> részhalmazai, azaz <big>℘(℘(U))</big> elemei csak elemként nem tartalmazhatják ∅-t, de lehet(nek) üres(ek), hiszen ∅∈<big>℘(℘(U))</big>. De csak ez az egy elem lehet üres, azaz <math>2^{2^{|U|}-1}-1 = \frac{2^{2^{|U|}}-2}{2} </math> az <big>U</big> feletti nem-elfajuló és 1 az <big>U</big> feletti teljesen elfajuló hipergráfok száma, a maradék félig elfajulóké pedig <math>2^{2^{|U|}-1} = 0.5 \cdot 2^{2^{|U|}}</math>.
 
 
== Illeszkedési sík ==
 
<div style="border: solid 2px #ee0000; background: #ffc676; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
<h4>'''Definíció''': </h4><hr>
: Egy nem-elfajuló hipergráfot '''illeszkedési sík'''nak nevezünk, ha
# Tartóhalmaza tartalmaz legalább három elemet;
# Bármely élének van legalább két pontja.
 
: Az illeszkedési síkok csúcsait '''pont'''oknak is szokás nevezni.
</div>
 
Az illeszkedési síkok természetesen nem-elfajuló hipergráfok.
 
== n-metszőrendszer ==

Navigációs menü