Szerkesztő:Gubbubu

Lásd itt

Bábel szerkesztői információk
hu Ennek a szerkesztőnek magyar az anyanyelve.
en-3 This user has advanced knowledge of English.
la-1 Hic usor simplici lingua Latina conferre potest.
Felhasználók keresése nyelv szerint

html-2 Ez a felhasználó közepes szintű HTML tudással rendelkezik.

Aktuális

• Szerkesztő:Gubbubu/Linkgyűjtemény
• Szerkesztő/Gubbubu/Linkgyűjtemény - személyes
• Szerkesztő:Gubbubu/Icehouse Youtubeográfia
• Szerkesztő: Gubbubu/Fluke Youtubeográfia

• Szerkesztő:Gubbubu/MatTanterv
• Szerkesztő:Gubbubu/Elemi logika feladatgyűjtemény

Régi

Szépen halad:

• Halmazelmélet

előkészületben:

• Játékosszintű AI-szkriptek írása a Star Wars Galactic Battlegrounds c. valós idejű stratégiai videojátékhoz
• Lineáris algebra
• Csoportelmélet
• Számelmélet
• Differenciálegyenletek - néhány alapdolog a differenciálegyenletekről, 20-30 oldalas régi általam írt jegyzetet kell átwikisíteni, semmi komolytól nem kell tartani tehát (komplex analízistól, meg ilyesmiktől).
• Latin nyelvtan (alapfok) ha esetleg lesz időm.
• Halmazrendszerek geometriája
• User:Gubbubu/monobook.css
• User:Gubbubu/Arpadgabor
• User:Gubbubu/Könyvadatbázis

• User:Gubbubu/Miscmatek
• User:Gubbubu/Elemi geometria
• User:Gubbubu/Matematikai logika
• Szerkesztő:Gubbubu/Alairas
• User:KeFe/Vandál hasznos segédeszköz

A használata pedig: {{fejléc|tartalom=[[Lineáris algebra|Tartalomjegyzék]]|előző=[[Lineáris algebra - 1.|(Bevezetés)]]|következő=[[Lineáris algebra - 3.|(Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai)]]}}

• Sablon:Fv

Mi legyen a kimithisz cikksorozat címe?

• Bevezetés a vallások tanaiba
• Ki mit hisz? - bevezetés az összehasonlító vallástudományba
• vagy csak egyszerűen Ki mit hisz?

Még gondolkodok ... Gubbubu 2005. július 11., 08:08 (UTC)

Külső hivatkozások

Ϯ ϯ

• [1]

---

• 83.216.53.42
• 84.2.74.2
• [2]
• A legproblémásabb szerkesztő
• Torlendő full reklám (magyar várak)

Ez a Wikikönyvek egyik felhasználói lapja. Ha ezt a lapot nem a Wikikönyvekben olvasod, akkor egy tükrözést látsz. Légy tudatában annak, hogy a lap elavult lehet, és hogy ezen felhasználónak valószínűleg nincs kapcsolata a Wikikönyveken kívül semmilyen más, ezt a lapot tartalmazó weboldallal. Az eredeti felhasználói lapot a https://hu.wikibooks.org/wiki/Szerkeszt%C5%91:Gubbubu címen találod meg.

Bizonyítások

Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás

Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szemközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó m_c := m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,

${\overline {AT}}^{2}+{\overline {TC}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$ ${\overline {BT}}^{2}+{\overline {TC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}$

azaz

$x^{2}+m^{2}=b^{2}$

$(c-x)^{2}+m^{2}=a^{2}$

Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m² mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:

$m^{2}=b^{2}-x^{2}$     (*)

$(c-x)^{2}+\left(b^{2}-x^{2}\right)=a^{2}$

A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó nevezetes azonosságot, nevezetesen, hogy akármilyen A,B valós számokra $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$, ennélfogva az A := c és B := x háromszög-oldalhosszakra $(c-x)^{2}=c^{2}-2cx+x^{2}$;

$c^{2}-2cx+x^{2}+b^{2}-x^{2}=a^{2}$

Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:

$c^{2}-2cx+x^{2}+b^{2}-x^{2}=a^{2}$

Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,

$-a^{2}+b^{2}+c^{2}=2cx$

részint 2c-vel való osztás után:

$x={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$

Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:

$m^{2}$   $=$ $b^{2}-x^{2}$ $=$   $b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}$   $=$   $b^{2}-{\frac {\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$   $b^{2}-{\frac {\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4c^{2}}}$   $=$
$=$   ${\frac {4c^{2}\cdot b^{2}}{4c^{2}}}-{\frac {\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4c^{2}}}$   $=$   ${\frac {4b^{2}c^{2}-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4c^{2}}}$   $=$   ${\frac {\left(2bc\right)^{2}-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$  
$=$ ${\frac {\left(2bc\right)^{2}-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left(2c\right)^{2}}}$.

Alkalmazva az $A^{2}-B^{2}=\left(A+B\right)\left(A-B\right)$   „nevezetes azonosságot” az $A=2bc$ és $B=-a^{2}+b^{2}+c^{2}$ esetekre;

$m^{2}$   $=$   ${\frac {\left[\left(2bc\right)+\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right]\left[\left(2bc\right)-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right]}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$   ${\frac {\left(-a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2}\right)\left(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$
$=$   ${\frac {\left(-a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}\right)}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$ ${\frac {\left[-a^{2}+\left(b+c\right)^{2}\right]\left[a^{2}-\left(b^{2}-2bc+c^{2}\right)\right]}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$
$=$   ${\frac {\left[-a^{2}+\left(b+c\right)^{2}\right]\left[a^{2}-\left(b-c\right)^{2}\right]}{\left(2c\right)^{2}}}$   $=$   ${\frac {\left[\left(b+c\right)^{2}-a^{2}\right]\left[a^{2}-\left(b-c\right)^{2}\right]}{\left(2c\right)^{2}}}$ .

Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó $B^{2}+2BC+C^{2}\ =\ \left(B+C\right)^{2}$, szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest: $B^{2}-2BC+C^{2}\ =\ \left(B-C\right)^{2}$.

Megint csak a már említett $A^{2}-B^{2}\ =\ \left(A+B\right)\left(A-B\right)$ azonosságot alkalmazva a fentebbi kifejezés szögletes zárójelbe rakott részkifejezéseire (az első esetében az $A\ :=\ \left(b+c\right)$   és $B\ :=\ a$; míg a második esetében az $A\ :=\ a$ és $B\ :=\ \left(b-c\right)$ helyettesítésekkel):

$m^{2}$ $=$ ${\frac {\left[\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\right]\cdot \left[\left(a+(b-c)\right)\left(a-(b-c)\right)\right]}{\left(2c\right)^{2}}}$