„Szerkesztő:Gubbubu” változatai közötti eltérés
97. sor: | 97. sor: | ||
:: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math> |
:: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math> |
||
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]], |
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]], nevezetesen, hogy akármilyen A,B valós számokra <math>(A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}</math>, ennélfogva az A := c és B := x háromszög-oldalhosszakra <math>(c-x)^{2} = c^{2} -2cx + x^{2} </math>; |
||
:: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math> |
:: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math> |
||
115. sor: | 115. sor: | ||
Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába: |
Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába: |
||
:: <math> m^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2}-x^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \left( \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} \right) ^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ 4c^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { 4c^{2} \cdot b^{2} } { 4c^{2} } - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { 4b^{2} c^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } |
:: <math> m^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2}-x^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \left( \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} \right) ^{2} </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ 4c^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { 4c^{2} \cdot b^{2} } { 4c^{2} } - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { 4b^{2} c^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } </math>. |
||
Alkalmazva az <math> A^{2} - B^{2} = \left( A+B \right) \left( A-B \right) </math> „nevezetes azonosságot” az <math> A = 2bc </math> és <math>B = -a^{2}+b^{2}+c^{2} </math> esetekre; |
Alkalmazva az <math> A^{2} - B^{2} = \left( A+B \right) \left( A-B \right) </math> „nevezetes azonosságot” az <math> A = 2bc </math> és <math>B = -a^{2}+b^{2}+c^{2} </math> esetekre; |
||
:: <math> |
:: <math> m^{2} </math> <math> = </math> <math> \frac { \left[ \left( 2bc \right) + \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] \left[ \left( 2bc \right) - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( 2bc + a^{2}-b^{2}-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b^{2} -2bc + c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <br> <math> = </math> <math> \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> <math> = </math> <math> \frac { \left[ \left( b+c \right)^{2} -a^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> . |
||
Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó <math> B^{2}+2BC+C^{2} \ = \ \left( B+C \right) ^{2} </math>, szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest: <math> B^{2}-2BC+C^{2} \ = \ \left( B-C \right) ^{2} </math>. |
Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó <math> B^{2}+2BC+C^{2} \ = \ \left( B+C \right) ^{2} </math>, szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest: <math> B^{2}-2BC+C^{2} \ = \ \left( B-C \right) ^{2} </math>. |
||
Megint csak a már említett <math> A^{2} - B^{2} \ = \ \left( A+B \right) \left( A-B \right) </math> azonosságot alkalmazva a fentebbi kifejezés szögletes zárójelbe rakott részkifejezéseire (az első esetében az <math> A \ := \ \left( b+c \right) </math> és <math> B \ := \ a </math>; míg a második esetében az <math>A \ := \ a </math> és <math> B \ := \ \left( b-c \right) </math> helyettesítésekkel): |
|||
:: <math> m^{2} </math> <math> = </math> <math> \frac { \left[ \left( b+c+a \right) \left( b+c-a \right) \right] \cdot \left[ \left( a+(b-c) \right) \left( a-(b-c) \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> |
A lap 2016. január 13., 14:21-kori változata
Bábel szerkesztői információk | ||
---|---|---|
| ||
| ||
Felhasználók keresése nyelv szerint |
Aktuális
- Szerkesztő:Gubbubu/Linkgyűjtemény
- Szerkesztő:Gubbubu/Icehouse Youtubeográfia
- Szerkesztő: Gubbubu/Fluke Youtubeográfia
Régi
Szépen halad:
előkészületben:
- Játékosszintű AI-szkriptek írása a Star Wars Galactic Battlegrounds c. valós idejű stratégiai videojátékhoz
- Lineáris algebra
- Csoportelmélet
- Számelmélet
- Differenciálegyenletek - néhány alapdolog a differenciálegyenletekről, 20-30 oldalas régi általam írt jegyzetet kell átwikisíteni, semmi komolytól nem kell tartani tehát (komplex analízistól, meg ilyesmiktől).
- Latin nyelvtan (alapfok) ha esetleg lesz időm.
- Készíts jó minőségű weblapot 3 óra alatt
- Halmazrendszerek geometriája
- User:Gubbubu/monobook.css
- User:Gubbubu/Arpadgabor
- User:Gubbubu/Nem könyvszerű tartalmak
- User:Gubbubu/Könyvadatbázis
- User:Gubbubu/Miscmatek
- User:Gubbubu/Elemi geometria
- User:Gubbubu/Matematikai szöveggyűjtemény
- User:Gubbubu/Matematikai logika
- Szerkesztő:Gubbubu/Alairas
- User:KeFe/Vandál hasznos segédeszköz
A használata pedig: {{fejléc|tartalom=[[Lineáris algebra|Tartalomjegyzék]]|előző=[[Lineáris algebra - 1.|(Bevezetés)]]|következő=[[Lineáris algebra - 3.|(Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai)]]}}
Mi legyen a kimithisz cikksorozat címe?
- Bevezetés a vallások tanaiba
- Ki mit hisz? - bevezetés az összehasonlító vallástudományba
- vagy csak egyszerűen Ki mit hisz?
Még gondolkodok ... Gubbubu 2005. július 11., 08:08 (UTC)
Külső hivatkozások
Ϯ ϯ
Különösen érdekes:
- Webliográfia, wikipedia, webxicon, wikibooks, invisible-web stb. részletes bemutatása, elemzése (Az internetes publikációk típusai, angol, német, orosz és magyar virtuális lexikonok, enciklopédiák, digitális dokumentumok. Keresőgépekkel közvetlenül nem elérhető, rejtett adatbázisok a weben, a történelem és segédtudományai köréből.)
Ez a Wikikönyvek egyik felhasználói lapja. Ha ezt a lapot nem a Wikikönyvekben olvasod, akkor egy tükrözést látsz. Légy tudatában annak, hogy a lap elavult lehet, és hogy ezen felhasználónak valószínűleg nincs kapcsolata a Wikikönyveken kívül semmilyen más, ezt a lapot tartalmazó weboldallal. Az eredeti felhasználói lapot a https://hu.wikibooks.org/wiki/Szerkeszt%C5%91:Gubbubu címen találod meg. |
Bizonyítások
Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás
Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szemközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó mc := m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,
azaz
Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m2 mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:
- (*)
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó nevezetes azonosságot, nevezetesen, hogy akármilyen A,B valós számokra , ennélfogva az A := c és B := x háromszög-oldalhosszakra ;
Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:
Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,
részint 2c-vel való osztás után:
Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:
-
.
-
Alkalmazva az „nevezetes azonosságot” az és esetekre;
-
.
-
Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó , szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest: .
Megint csak a már említett azonosságot alkalmazva a fentebbi kifejezés szögletes zárójelbe rakott részkifejezéseire (az első esetében az és ; míg a második esetében az és helyettesítésekkel):