„Szerkesztő:Gubbubu” változatai közötti eltérés

A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
78. sor: 78. sor:
[[en:User:Gubbubu]]
[[en:User:Gubbubu]]


== Bizonyítás ==
== Bizonyítások ==

=== Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás ===


Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szenmközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,
Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szenmközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,
92. sor: 94. sor:
Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m<sup>2</sup> mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:
Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m<sup>2</sup> mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:


: <math> m^{2} = b^{2} - x^{2}</math>
:: <math> m^{2} = b^{2} - x^{2}</math> (*)
: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math>
:: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math>


A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]],
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]],


: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>
:: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>


Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:
Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:


: <math> c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>
:: <math> c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>


Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,
Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,


: <math> -a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2cx </math>
:: <math> -a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2cx </math>


részint 2c-vel való osztás után:
részint 2c-vel való osztás után:


: <math> x = \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math>
:: <math> x = \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math>

Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:

:: <math> m^{2} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> b^{2} - \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { 2c \cdot b^{2} } {2c} - \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math>

A lap 2016. január 12., 19:54-kori változata

Lásd itt


Bábel szerkesztői információk
hu Ennek a szerkesztőnek magyar az anyanyelve.
en-3 This user has advanced knowledge of English.
la-1 Hic usor simplici lingua Latina conferre potest.
Felhasználók keresése nyelv szerint
html-2 Ez a felhasználó közepes szintű HTML tudással rendelkezik.


Aktuális

Régi

Szépen halad:

előkészületben:

A használata pedig: {{fejléc|tartalom=[[Lineáris algebra|Tartalomjegyzék]]|előző=[[Lineáris algebra - 1.|(Bevezetés)]]|következő=[[Lineáris algebra - 3.|(Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai)]]}}

Mi legyen a kimithisz cikksorozat címe?

Még gondolkodok ... Gubbubu 2005. július 11., 08:08 (UTC)

Külső hivatkozások

Ϯ ϯ

Különösen érdekes:

  • Webliográfia, wikipedia, webxicon, wikibooks, invisible-web stb. részletes bemutatása, elemzése (Az internetes publikációk típusai, angol, német, orosz és magyar virtuális lexikonok, enciklopédiák, digitális dokumentumok. Keresőgépekkel közvetlenül nem elérhető, rejtett adatbázisok a weben, a történelem és segédtudományai köréből.)

Ez a Wikikönyvek egyik felhasználói lapja.
Ha ezt a lapot nem a Wikikönyvekben olvasod, akkor egy tükrözést látsz. Légy tudatában annak, hogy a lap elavult lehet, és hogy ezen felhasználónak valószínűleg nincs kapcsolata a Wikikönyveken kívül semmilyen más, ezt a lapot tartalmazó weboldallal. Az eredeti felhasználói lapot a https://hu.wikibooks.org/wiki/Szerkeszt%C5%91:Gubbubu címen találod meg.
Wikimédia Alapítvány

Bizonyítások

Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás

Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szenmközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,

azaz

Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m2 mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:

(*)

A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó nevezetes azonosságot,

Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:

Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,

részint 2c-vel való osztás után:

Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába: